Đề Thi Toán Học 12:Các Sai Lầm Trong Cực Trị Đại Số

đề thi Toán học Toán học 12
  Đánh giá    Viết đánh giá
 0       0      0
Phí: Tải Miễn phí(FREE download)
Mã tài liệu
pc8zwq
Danh mục
đề thi
Thể loại
Ngày đăng
2011-05-10 10:17:19
Loại file
pdf
Dung lượng
0.25 M
Trang
25
Lần xem
0
Lần tải
0
File đã kiểm duyệt an toàn

<!DOCTYPE html<br>!--[if IE]> <![endif]--> SAI LꢀM TRONG CꢁC TRꢂ ꢃꢄI Sꢅ A1 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ NHꢇT Trong bꢀi lꢀm cã sö dông nhiÒu B§T, nh−ng khi t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cÇn t×m ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

Đây là đoạn mẫu , hãy download về để xem đầy đủ, hoàn toàn miễn phí 100%

!--[if IE]>
SAI LꢀM TRONG  
CꢁC TRꢂ ꢃꢄI Sꢅ  
A1 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ NHꢇT  
Trong bꢀi lꢀm cã sö dông nhiÒu B§T, nh−ng khi t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cÇn t×m ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt  
(hoÆc lín nhÊt) th× c¸c dÊu b»ng kh«ng ®ång thêi x¶y ra ®ꢁ kÕt luËn kÕt luËn biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ nhá  
nhÊt (hoÆc lín nhÊt) hoÆc biÓu thøc kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (hoÆc lín nhÊt)  
1
Bꢀi 1: Cho x, y lꢀ hai sè d−¬ng tho¶ mꢁn x + ≤1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
y
x
y
M = 32. + 2007. .  
y
x
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
x
y
y
x
Tõ x, y > 0 ta cã  
+
≥ 2  
.
2
1

1   
1
y
x
Tõ x, y > 0 vꢀ x + ≤1 ta cã 1≥ x +  
≥ 4x.  

≥ 4.  


y
y
y


x
y
 x y   
y
+1975. ≥ 32.2 +1975.4 = 7964.  

x x  

Do vËy M = 32. + 2007. = 32.  
+

y
x
y

DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = y  
.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ 7964, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = y  
Bình luꢇn  
Nh−ng!... x = y th× M = 2039. VËy sai lÇm ë ®©u?  
Giꢄi ñáp  
.
x
y
y
x
Lêi gi¶i sai ë chç víi x, y > 0 th×  
+
≥ 2 .  
y
DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = y, cßn ≥ 4, DÊu “=” x¶y ra ⇔ y = 4x.  
x
1
MÆt kh¸c cã thÓ thÊy x = y th× m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x + ≤1.  
y
Nh− vËy nguyªn nh©n cña sai lÇm trong lêi gi¶i trªn lꢀ trong mét bꢀi to¸n mꢀ sö dông nhiÒu bÊt ®¼ng  
thøc ®Ó t×m cùc trÞ nh−ng c¸c dÊu “=” kh«ng ®ång thêi x¶y ra .  
Lꢃi giꢄi ñúng  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2

1   
1
y
x
Tõ gi¶ thiÕt ta cã 1≥ x +  
≥ 4x.  

≥ 4.  


y
y


¸
p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã  
x
y

x
y   
x
y
x
y
M = 32. + 2007. = 32. + 2. + 2005. ≥ 2. 32. .2. + 2005.4 = 8036  
.



y
x
y
x
y
x

1
DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = ; y = 2  
.
2
1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ 8036, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = ; y = 2  
.
2
2
2
Bꢀi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x + 3y biÕt 2x +3y ≤ 5  
.
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
Gäi B = 2x + 3y , ta cã B ≤ 5.  
2
2
2
2
2
2


1
2



1
2

5
5
4
XÐt A+ B = 2x + 3y + 2x + 3y = 2 x + x + 3 y + y = 2 x +  
+ 3 y +  
− ≥ −  
4
(1)  
(
)
(
)






Ta l¹i cã B ≤ 5 nªn −B ≥ −5  
Céng (1) víi (2) ta ®−îc A ≥ −  
(2)  
2
5
.
4
2
5
1
Min A = − ⇔ x = y = − .  
4
2
Bình luꢇn  
1
5
Nh−ng víi x = y = − ⇒ A = − , vËy sai lÇm ë ®©u?  
2
2
Giꢄi ñáp  
1
Sai lÇm ë chç víi x = y = − , chØ x¶y ra dÊu “=” ë (1), cßn dÊu “=” ë (2) kh«ng x¶y ra.  
2
1
5
ThËt vËy víi x = y = − th× B = ≠ 5. Do ®ã −B ≠ −5  
.
2
4
Lꢃi giꢄi ñúng  
¸
p dông B§T Bunhiacèpxki ta cã:  
2
2
2
2
)
A = 2. 2x + 3. 3x ≤ 2 + 3 2x +3y ≤ 5.5 = 25  
(
)
(
)
(
x 2 y 3  
⇔ x = y  
3
2
A = 25 ⇔  
=
2
2
Do A ≤ 25 nªn −5 ≤ A ≤ 5  
.
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  







x = y  
x +3y = −5  
Min A = −5 ⇔  
Max A = 5 ⇔  
⇔ x = y = −1.  
2



x = y  
x +3y = 5  
⇔ x = y =1.  
2
2
2
2
Bꢀi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
F
(
x, y  
)
=
(
x + y  
)
+
(
x +1  
)
+
(
)
y − x  
> 0.  
)
.
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
y − x kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn  
Ta thÊy  
(
x + y  
)
;
(
x +1  
)
;
(
)
F
(
x, y  
2
2
2
®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá  
F
(
x, y  
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vꢀ chØ khi  
a
=
(
x
+
1
)
vꢀ  

=
(
x
+
y
)
+
(
y

x
)
nhÊt.  
2
a
=
(
x
+
1
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0 khi x = ꢂ1.  
2
2
= 2y + 2, nªn b ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi y = 0.  
2
Khi ®ã b =  
(
x + y  
)
+
(
y − x  
)



x = −1  
.
y = 0  
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  
F
(
x, y  
)
lꢀ 2 khi  
Bình luꢇn  
Ph¶i ch¨ng lêi gi¶i trªn lꢀ ®óng?  
Giꢄi ñáp  
2
Lêi gi¶i m¾c sai lÇm ë b−íc lËp luËn:  
F
(
x, y  
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vꢀ chØ khi a =  
(
x +1  
)
vꢀ  
2
2
®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. LËp luËn nꢀy chØ ®óng khi c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã  
b =  
¹t ®−îc t¹i cïng mét gi¸ trÞ cña c¸c biÕn. Râ rꢀng ë ®©y a ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x = ꢂ1, cßn b ®¹t gi¸  
trÞ nhá nhÊt khi x + y = x – y = 0, tøc lꢀ khi x = y = 0.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
(
x + y  
)
+
(
y − x  
)
®
2
2
2


1   
3  
2 2  
2
+ + 2y ≥ .  
3 3  
BiÕn ®æi  
F
(
x, y  
)
= 3x + 2x +1+ 2y = 3 x +  


1
§
¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = − , y = 0.  
3
2 1  
( )  
F x, y lꢀ , gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = − , y = 0.  
3 3  
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  
2
2
Bꢀi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D = −5x − 2xy − 2y +14x +10y −1  
.
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
2
2
2
Ta cã D = −5x − 2xy − 2y +14x +10y −1 = − x + 2xy + y − 4x −14x − y −10y −1  
) (
 )
 (  
(
)
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
2


7   
2   
2
( )  
− y −5 +  
145  
4
=

(
x + y  
)
− 2x −  



x + y = 0  
x = −y  



1
45  
4
7


7
4
Suy ra D ≤  
. DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi 2x − = 0 ⇔  
x =  

2



y −5 = 0  
y = 5  


HÖ trªn v« nghiÖm nªn D kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ lín nhÊt  
Bình luꢇn  
B¹n cã ®ång ý víi kÕt luËn trªn cña bꢀi to¸n kh«ng? Lêi gi¶i ®ꢁ thuyÕt phôc ch−a?  
Giꢄi ñáp  
2
2


7   
2   
2
145  
4
145  
4
Tõ biÕn ®æi ®Õn D = −  
(
x + y  
)
− 2x −  

(
y −5  
)
+
th× míi chØ suy ra D ≤  
, cßn viÖc kÕt luËn  


gi¸ trÞ lín nhÊt cña D kh«ng tån t¹i lꢀ ch−a chÝnh x¸c, kh«ng cã c¨n cø x¸c ®¸ng.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
C¸ch 1:  
2
2
2
2
Ta cã D = − x + y − 6x − 6y + 2xy + 9 − 4x −8x + 4 − y − 4y + 4 +16  
(
) (  
) (  
)
2
2
2
y − 2  
=

(
x + y −3  
)
− 4  
(
x −1  
)

(
)
+16  


x + y −3 = 0  
x =1  
Suy ra D ≤16 . DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x −1= 0  



y = 2  


y − 2 = 0  

VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = 1 vꢀ y = 2.  
Lêi gi¶i trªn tuy ®óng song cã vÎ thiÕu “tù nhiªn”, c¸ch 2 sau ®©y sÏ mang tÝnh thuyÕt phôc h¬n.  
C¸ch 2:  
2
2
BiÓu thøc tæng qu¸t d¹ng P(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + h (a,b,c ≠ 0)  
C¸ch gi¶i: BiÕn ®æi P(x, y) vÒ mét trong hai d¹ng sau:  
2
2
D¹ng 1: P(x, y)  
D¹ng 2: P(x, y)  
=
=
m.F (x, y)  
+
+
n.H (x)  
+
+
g
g
(1)  
2
2
m.F (x, y)  
n.K (y)  
(2)  
Trong ®ã H(x), K(y) lꢀ biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi biÕn cña chóng, cßn F(x, y) lꢀ biÓu thøc bËc nhÊt  
èi víi c¶ hai biÕn x vꢀ y.  
NÕu m > 0, n > 0 th× ta cã max P(x, y) = g  
®

.



F(x, y)  
=
0



F(x, y)  
= 0  
.
Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi  
hoÆc  
H(x)  
=
0
K(y)  
=
0
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  





NÕu m  0, n  0 th× ta cã min P(x, y) = g  
.



F(x, y) = 0  
H(x) = 0  
F(x, y) = 0  
Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi  
hoÆc  
.

K(y) = 0  

§
Ó biÕn ®æi ®−îc nh− vËy, ta coi mét biÕn lꢀ biÕn chÝnh råi t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ò ¸p dông c¸c h»ng ®¼ng  
2
2
2
2
2
2
thøc a + 2ab + b =  
(
a + b  
)
, a − 2ab + b =  
(
a − b  
)
ë ®©y ta chän biÕn y lꢀ biÕn chÝnh  
Cô thÓ:  
2
2
Ta cã  
D
= −5x  

2xy  

2y  
+
14x +10y −1  
2
2


(
x −5  
)
(
x −5  
)
2
−5x +14x −1  
2
=
=
−2.y +  
(
x −5  
)
y +  
 +  
4
2




2
2
( )  
9 x −1  
− +16 ≤16  
2


x −5   
2   
−2 y +  





x −5  
= 0  
y +  
x =1  
Suy ra D ≤16 . DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
2


y = 2  



x −1= 0  
VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = 1 vꢀ y = 2.  
A2 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ HAI  
Kh«ng x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu b»ng trong B§T f ≥ m (hay f ≤ m ), hoÆc ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu  
b»ng kh«ng tho¶ mꢁn gi¶ thiÕt.  
2
2
2
Bꢀi 5: Cho x, y, z tho¶ mꢁn x + y + z ≤ 27. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = x + y + z + xy + yz + zx.  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
x ≥  
Víi mäi x, y, z ta cã:  
(
x

y
)

0;  
(
y

+
z
)

0;  
(
z

)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
Suy ra  
x
+
y

2xy; y  
+
z

2yz; z  
x

2zx ⇒ 2 x + y + z ≥ 2  
(
xy + yz + zx  
)
⇒ 27 ≥ xy + yz + zx. (1)  
(
2
2
2
z −1 ≥ 0  
MÆt kh¸c  
(
x −1  
)
≥ 0;  
(
y −1  
)
≥ 0;  
(
)
2
2
2
Suy ra x +1≥ 2x; y +1≥ 2y; z +1≥ 2z  
2
2
2

(
x + y + z +3 ≥ 2  
)
(
x + y + z  
)

15 ≥ x + y + z  
P ≤ 42  
(2)  
Céng theo tõng vÕ cña (1) vꢀ (2) suy ra  
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lꢀ 42  
.
Bình luꢇn  
Bꢀi lꢀm kh¸ “®Ñp”, nh−ng kÕt qu¶ l¹i sai? Theo b¹n lêi gi¶i sai ë ®©u? Kh¾c phôc nh− thÕ nꢀo?  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




Giꢄi ñáp  
Lêi gi¶i nꢀy ®ꢁ quªn mét b−íc v« cïng quan träng cña mét bꢀi to¸n cùc trÞ khi sö dông B§T, ®ã lꢀ x¸c  
®
Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra ®¼ng thøc.  

x = y = z = 3  


2
2
2
Ta thÊy P = 42 ⇔ (1) vꢀ (2) ®ång thêi trë thꢀnh ®¼ng thøc ⇔  
x + y + z = 27  
x = y = z =1  


HÖ trªn v« nghiÖm nªn B§T P ≤ 42 kh«ng thÓ trë thꢀnh ®¼ng thøc.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
2
2
2
2
2
2
XÐt hiÖu  
3
(
x + y + z  
)

(
x + y + z  
)
= 2  
(
x + y + z − 2  
)
( )  
xy + yz + zx  
2
2
2
=
(
x − y  
)
+
(
y − z  
)
+
(
z − x  
)
≥ 0 (*)  
.
Tõ (*) suy ra:  
2
2
2
2
(
x + y + z  
)
≤ 3  
(
x + y + z  
)
≤ 3.27 ⇒ x + y + z ≤ 9  
(1)  
(®¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 3).  
2
2
2
2
2
2
Còng tõ (*) suy ra 2(xy + yz + zx) ≤ 2(x + y + z ) ⇒ xy + yz + zx ≤ x + y + z ≤ 27  
(2)  
Tõ (1) vꢀ (2) suy ra: x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36  
§
¼ng thøc x¶y ra ⇔ x = y = z = 3.  
VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lꢀ 36, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc ⇔ x = y = z = 3.  
Bꢀi 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x + x.  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2


1  1   
4  4   
1   
2   
1
1
1
4
Ta cã A = x + x = x + x + − = x +  
− ≥ − . VËy min A= −  
.




4
4
Bình luꢇn  
Lêi gi¶i rÊt “hån nhiªn” vꢀ “ng¾n gän” nh−ng lËp luËn ®ꢁ chÆt chÏ ch−a? KÕt qu¶ cã chÝnh x¸c kh«ng?  
Theo b¹n “kÏ hë” ë chç nꢀo?  
Giꢄi ñáp  
1
1
1
2
Sau khi chøng minh A ≥ − , ch−a chØ ra tr−êng hîp x¶y ra A ≥ − , . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  

x
= −  
,
4
4
v« lÝ.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
§
Ó tån t¹i  
x
ph¶i cã x ≥ 0 . Do ®ã  
A
=
x
+
x

0
.
Min A  
=
0

x
=
0.  
lꢀ c¸c h»ng sè d−¬ng cho tr−íc.  
(
x + a)(
x +b  
)
Bꢀi 7: T×m GTNN cña biÓu thøc A =  
GIA SƯ  
, víi x > 0  
,
a
vꢀ  

x
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
Ta cã x + a ≥ 2 ax  
x + b ≥ 2 bx  
(1)  
(2)  
)
(
x + a)(
x + b  
2 ax.2 bx  
Do ®ã A =  

= 4 ab  
x
x
Min A = 4 ab ⇔ x = a = b.  
Bình luꢇn  
Lêi gi¶i “thuyÕt phôc” ®Êy chø, cã cÇn ph¶i gi¶i l¹i kh«ng?  
Giꢄi ñáp  
ChØ x¶y ra A = 4 ab khi ë (1) vꢀ (2) x¶y ra dÊu ®¼ng thøc, tøc lꢀ x = a vꢀ x = b. Nh− vËy ®ßi hái ph¶i  
cã a = b. NÕu a  

b th× kh«ng cã ®−îc  
A
=
4 ab  
.
Lꢃi giꢄi ñúng  
Ta thùc hiÖn phÐp nh©n vꢀ t¸ch ra c¸c h»ng sè:  
2
(
x + a)(
x +b  
)
x + ax +bx + ab   
ab   
x   
A =  
=
= x +  
+
(
a +b  
)
.


x
x

2
ab  
Ta cã x +  
≥ 2 ab (B§T C«si) nªn A ≥ 2 ab + a + b = a + b  
(
)
x



ab  
2
x =  
Min A = a + b  

x ⇔ x = ab.  
x > 0  
(
)



a   
b   
c   
Bꢀi 8: Cho a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng, hꢁy t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1+  
1+  
1+  
.

  
  


Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
5b  5c  5a   
Do a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:  
a
a


c
c
1
+
≥ 2  
(1);  
1+ ≥ 2  
5c  
(2);  
1+  
≥ 2  
(3)  
5b  
5b  
5c  
5a  
5a  
a

c
8 5  
25  
Nh©n tõng vÕ cña ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu vꢀ c¸c vÕ ®Òu d−¬ng ta ®−îc P ≥ 8  
. . =  
b 5c 5a  
.
5
8
5
.
Do ®ã P nhá nhÊt b»ng  
2
5
Bình luꢇn  
Giꢄi ñáp  
C¸c b¹n cã ®ång t×nh víi c¸ch gi¶i nꢀy kh«ng?  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




8
5
. §©y lꢀ sai lÇm th−êng m¾c khi dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m gi¸ trÞ  
5
§
Ó ý kh«ng tån t¹i a, b, c ®Ó P =  
2
lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Mét nguyªn nh©n s©u xa h¬n nhiÒu lꢀ b¹n ®äc kh«ng hiÓu  
óng nghÜa cña dÊu “≥” vꢀ dÊu “≤”. Kh«ng ph¶i khi nꢀo viÕt “≥” còng cã thÓ x¶y ra dÊu “=”. VÝ dô ta  
viÕt 10 ≥ 2 lꢀ ®óng nh−ng kh«ng thÓ cã 10 = 2.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
1  a b c  1  a b c   
®


a   
b   
c   
1
+
BiÕn ®æi P = 1+  
1+  
1+  
=1+  
+ + + +  
+
(1)  

  
  





5b  5c  5a   
5  b  
c
a  25  c a b  125  
Do a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã :  
a b c  
+ ≥ 3 . . = 3  
b c a  
a b c  
a b c  
a b c  
+ + ≥ 3 . . = 3 (3)  
a b c a b  
+
(2)  
1
b c  
a
c
1
1
216  
=
Tõ (1), (2), (3) ta cã P ≥1+ .3+ .3+  
.
5
25  
125 125  
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi c¸c dÊu ®¼ng thøc ë (2) vꢀ (3) ®ång thêi x¶y ra, tøc lꢀ a = b = c.  
2
16  
VËy Min P =  
, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi a = b = c > 0.  
125  
Bꢀi 9: Cho a, b lꢀ hai sè d−¬ng vꢀ x, y, z lꢀ c¸c sè d−¬ng tuú ý. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
2
2
2
z
x
y
M =  
+
+
.
ay + bz)(az +by) (az +bx)(ax +bz) (ax +by)(ay +bx  
)
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
DÔ thÊy  
VËy  
(
ay + bz  
)
≤ a + b y + z vꢀ  
)(  
(
az + by  
)
≤ a + b z + y  
(
)
(
)(  
)
2
2
x
x

2
2
2
2
(
ay +bz)(az + by  
)
(
a +b )( y + z  
)
2
2
y
x
T−¬ng tù ta cã  

2
2
2
2
(
az + bx)(ax + bz  
)
(
a + b )(z + x  
)
2
2
z
z

.
2
2
2
2
(
ax + by)(ay +bx  
)
(
a + b )(x + y  
)
2
2
2
1


x
y
z

Do ®ã M ≥  
+
+
.
2
2
2
2
2
2
2
2


a + b y + z  
z + x  
x + y  

2
2
2
z
x
y
3
2
MÆt kh¸c chøng minh ®−îc  
+
+

2
x + y  
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
3
Suy ra M ≥  
GIA SƯ  
.
DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z.  
2
2
)
2
(
a + b  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ  
, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = y = z.  
2
)
Bình luꢇn  
2
2
(
a + b  
C¸ch gi¶i trªn ph¶i ch¨ng lꢀ … ®óng! B¹n gi¶i bꢀi to¸n nꢀy nh− thÕ nꢀo?  
Giꢄi ñáp  
Lêi gi¶i ®ꢁ sö dông kh¸ nhiÒu bÊt ®¼ng thøc nh−ng b¹n häc sinh nꢀy chØ xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë bÊt  
2
2
2
z
x
y
3
2
®
¼ng thøc  
+
+

2
x + y  
mꢀ kh«ng xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i.  
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
3
Theo ®ã ®¼ng thøc M =  
x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z vꢀ a = b. Nh−ng theo gi¶ thiÕt a, b lꢀ  
2
2
)
2
a + b  
(
3
hai sè d−¬ng tuú ý, nªn víi a ≠ b th× M >  
.
2
)
2
2
(
a +b  
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
2
2
2
2
2
a + b y + z  
)
(
)
(
ay + bz + az + by  
)
(
a + b y + z  
) (  
)
(
Ta cã  
(
ay + bz)(az +by  
)

=

4
4
2
2
2
x
2x  
Suy ra  

.
2
2
2
(
ay + bz)(az + by  
)
a + b y + z  
(
)
(
)
2
2
2y  
2
2
(
y
T−¬ng tù ta còng cã  


2
(
az + bx)(ax + bz  
)
a + b x + z  
(
(
)
)
)
2
2
z
2z  
2
.
2
2
(
ax + by)(ay + bx  
)
a + b y + x  
)
(
2
2
2
z
2

x
y



Do ®ã M ≥  
+
+
.
2

2
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
x + y  
(
a + b  
)

2
2
2
z
x
y
3

,
MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc Naꢂs¬ꢂbit th×  
+
+
2
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
x + y  
2
3
suy ra M ≥  
.
§¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z .  
2
(
a +b  
)
3
VËy min M =  
khi vꢀ chØ khi x = y = z .  
2
(
a + b  
)
2
2
Bꢀi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 2x + 5y + 4xy − 4x −8y + 6  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
2
Ta cã P = x + 4y +1+ 4xy − 2x − 4y + x − 2x +1 + y − 4y + 4  
) (
 )
 (  
(
)
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
2
2
P =  
x + 2y −1  
P = x + 2y −1  
(
x + 2y −1  
)
+
(
x −1  
)
+
(
(
y − 2  
)
2
2
2
≥ 0 nªn  
Do  
(
)
≥ 0,  
(
x −1  
)
≥ 0,  
(
y − 2  
)
2
2
2
y − 2 ≥ 0  
(
)
+
(
x −1  
)
+
)
.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng  
0
.
Bình luꢇn  
Giꢄi ñáp  
Lêi gi¶i “qu¸ gän”, b¹n cã ý kiÕn g× kh«ng?  
Kh¼ng ®Þnh P ≥ 0 lꢀ ®óng nh−ng … ch¼ng ®−îc g×, bëi v× kh«ng cã gi¸ trÞ nꢀo cña x, y ®Ó dÊu “=” x¶y  
ra.  
Sai lÇm ë lêi gi¶i trªn xuÊt ph¸t tõ viÖc ng−êi gi¶i ®ꢁ kh«ng thùc hiÖn b−íc 2 khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt  
(hoÆc nhá nhÊt) cña biÓu thøc ta ph¶i tr¶ lêi c©u hái “dÊu b»ng x¶y ra khi nꢀo?”  
Lꢃi giꢄi ñúng  
Coi  
x
lꢀ biÕn chÝnh ®Ó biÕn ®æi nh− sau:  
2
2
+ 5y −8y + 6  
2
2
2
2


− 2  

P = 2x + 5y + 4xy − 4x −8y + 6 = 2 x + 2x  
(
y −1  
)
+
(
y −1  
)
(
y −1  
)

2
2
2


2 4  4  
2
2
P =  
P =  
(
(
x + y −1  
)
+ 3y − 4y + 4 =  
(
x + y −1  
)
+ 3 y − 2y. + − + 4  


3 9  3  
2

2   
3   
8
3
x + y −1  
)
+ 3 y −  
+



2
2


2   
3   
NhËn thÊy  
(
x + y −1  
)
≥ 0, 3 y −  
≥ 0 nªn  


2
2

2   
3   
8
+ ≥  
3
8
3
P
=
(
x
+
y
−1  
)
+ 3  
y

víi mäi x, y  
.



2

1
3
2
3

(
x + y −1  
)
= 0  
= 0  
x + y −1= 0  
x =  
y =  









2
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi  


2
y − = 0  
3



2   
3 y −  





3   


8
3
 1 2   
,
   
VËy Min P = . Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi  
(
x, y  
)
=
 3 3   
A3 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ BA  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




( )  
BÊt ®¼ng thøc f x ≥ a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng víi mét gi¸ trÞ x = x0 nꢀo ®ã (x tho¶ mꢁn ®iÒu  
0
kiÖn cña bꢀi to¸n) ®ꢁ kÕt luËn biÓu thøc  
¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
( )
 
(
 )  
f x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f x kh«ng  
®
2
2
.
Bꢀi 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa lꢀ  
P
=
28  
+
3
x

x
+
5
+
4
x

x
§
2


28+ 3x − x ≥ 0  

(
4+ x)(
7 − x  
)
≥ 0  
−4 ≤ x ≤ 7  
−1≤ x ≤ 5  



⇔ −1≤ x ≤ 5.  



2
5+ 4x − x ≥ 0  
 1+ x 5− x ≥ 0  
(
)(  
)



NhËn xÐt: Víi −1≤ x ≤ 5 ta cã  
2
2
5
2
+ 4x − x =  
(
1+ x)(
5− x  
)
≥ 0, suy ra 5+ 4x − x ≥ 0.  
2
2
8+3  
x

x
=
(
4 +  
x
)(
7 −  
x
)
> 0 , suy ra 28+3  
x

x
> 0.  
2
2
Do ®ã, víi −1≤ x ≤ 5 th× P = 28+ 3x − x + 5+ 4x − x > 0, nªn P kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt  
.
Bình luꢇn  
KÕt luËn cña lêi gi¶i sai vÒ mÆt l«gic, t−¬ng tù nh− tr−êng hîp  
2
Q = x +  
1

0
víi mäi x nh−ng Q vÉn ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1 khi x = 0.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
§
iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa lꢀ −1≤ x ≤ 5 . Khi ®ã ta cã  
P = 23− x + 1+ x)(5− x 1+ x)(5− x ≥ 23− x ≥ 23−5 = 3 2 .  
(
)
+
(
)
§
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 5.  
VËy min P = 3 2 khi vꢀ chØ khi x = 5.  
2
Bꢀi 12: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x +  
(
m +1  
)
x +1= 0 cã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t GTNN.  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
m ≥1  
2

§
iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lꢀ: ∆ ≥ 0 ⇔  
(
m +1  
)
− 4 ≥ 0 ⇔  
(
m + 3)(m −1  
)
≥ 0 ⇔  
(*).  
m ≤ −3  


2
2
− 2 (Theo ®Þnh lÝ ViÐt).  
2
1
2
2
Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lꢀ: x + x =  
(
x1 + x2  
)
− 2x x =  
(
m +1  
)
1 2  
2
( )  
Ta cã m +1 − 2 ≥ −2 nªn tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lꢀ ꢂ2 khi vꢀ chØ khi  
m +1 = 0 ⇔ m = −1.  
Gi¸ trÞ m = ꢂ1 kh«ng tho¶ mꢁn ®iÒu kiÖn (*) nªn kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña m ®Ó tæng b×nh ph−¬ng c¸c  
nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




Bình luꢇn  
MÊu chèt cña sai lÇm trong lêi gi¶i nꢀy ë chç em häc sinh ch−a n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ nhá nhÊt  
cña mét biÓu thøc. Chóng ta cÇn l−u ý r»ng: NÕu bÊt ®¼ng thøc  
f
(
x
)
≥ a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng  
víi mét gi¸ trÞ x = x0 nꢀo ®ã (x tho¶ mꢁn ®iÒu kiÖn cña bꢀi to¸n) th× kh«ng thÓ kÕt luËn ®−îc biÓu thøc  
0
f
( )
 (
 )  
x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f x kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
m
m
≥1  
2

§
iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lꢀ: ∆ ≥ 0 ⇔  
(
m
+1  
)
− 4 ≥ 0 ⇔  
(
m
+ 3)(  
m
−1  
)
≥ 0 ⇔  
(*).  
≤ −3  


2
2
2
2
1
2
2


Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lꢀ : x + x =  
(
x1 + x2  
)
− 2x x =  
(
m +1  
)
− 2 =  
(
m +1  
)
− 4 + 2 ≥ 2.  
1 2  


m =1  
2

§
¼ng thøc x¶y ra  

(
m +1  
)
− 4 = 0 ⇔  
(tho¶ mꢁn (*).  
m = −3  


VËy tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi vꢀ chØ khi m =  
1
hoÆc m = ꢂ3  
.
1
Bꢀi 13: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A =  
.
2
x − 6x +10  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
1
Ph©n thøc  
cã tö kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉunhá nhÊt.  
2
x − 6x +10  
2
2
Ta cã: x − 6x +10 =  
(
x −3  
)
+1≥1.  
2
Min x − 6x +10 =1⇔ x = 3.  
(
)
VËy max A =1⇔ x = 3.  
Bình luꢇn  
Lêi gi¶i cã vÎ kh¸ “tr¬n”, nh−ng nÕu ®i thi mꢀ lꢀm vËy th× “tr−ît”. T¹i sao vËy?  
Giꢄi ñáp  
Tuy ®¸p sè kh«ng sai nh−ng lËp luËn l¹i sai khi kh¼ng ®Þnh “A cã tö sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín  
nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” mꢀ ch−a ®−a ra nhËn xÐt tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c sè d−¬ng.  
1
1
2
VÝ dô nh−: XÐt biÓu thøc B =  
. Víi lËp luËn nh− trªn “Ph©n thøc  
cã tö kh«ng ®æi nªn cã  
x −10  
2
x −10  
gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt”, do mÉu nhá nhÊt b»ng ꢂ10 khi x = 0, ta sÏ ®i ®Õn kÕt luËn  

1
−1  
max B =  
⇔ x = 0. §iÒu nꢀy kh«ng ®óng v×  
−1  
kh«ng ph¶i lꢀ gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ch¼ng h¹n víi x =  
1
0
10  
1
5
th× B =  

.
1
5
10  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




M¾c sai lÇm trªn lꢀ do ng−êi lꢀm kh«ng n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, ®ꢁ m¸y mãc ¸p dông  
quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cã tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c sè tù nhiªn sang hai ph©n sè cã tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c bÊt k×.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
1
2
Bæ xung thªm nhËn xÐt x − 6x +10 =  
(
x −3  
)
+1> 0 nªn ph©n thøc  
cã tö vꢀ mÉu ®Òu lꢀ sè  
x − 6x +10  
2
1
2
d−¬ng, do ®ã A lín nhÊt khi vꢀ chØ khi  
nhá nhÊt  

x −6x +10 nhá nhÊt. Lꢀm tiÕp nh− trªn ra kÕt  
A
qu¶.  
1
Bꢀi 14: T×m x ®Ó biÓu thøc P =  
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt  
2
x + 2x −3  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
§
iÒu kiÖn x ≠1  
;
x ≠ −3  
.
1
Ta cã P =  
.
2
(
x +1  
)
− 4  
2
2
= 0  
§
Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th×  
(
x +1  
)
− 4 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. §iÒu nꢀy x¶y ra khi  
(
x +1  
)
1
4
hay x = −1. Khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña  
P
= −  
Bình luꢇn  
1
1
Nh−ng cã thÓ thÊy khi x = 2 th×  
P
=
, do ®ã  

kh«ng ph¶i lꢀ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. VËy sai lÇm cña  
5
4
lêi gi¶i ë ®©u? Kh¾c phôc sai lÇm ®ã nh− thÕ nꢀo?  
Giꢄi ñáp  
Sai lÇm cña lêi gi¶i mꢀ b¹n häc sinh nꢀy ®−a ra chÝnh lꢀ ë b−íc lËp luËn “®Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín  
2
nhÊt th×  
(
x
+
1
)

4
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt”. §iÒu nꢀy chØ ®óng khi tö vꢀ mÉu cña P cïng d−¬ng mꢀ tö ph¶i  
lꢀ h»ng sè. ë ®©y mÉu ch−a biÕt d−¬ng hay ©m nªn kh«ng thÓ lËp luËn nh− vËy ®−îc.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
§
x ≠ −3  
iÒu kiÖn x ≠1; .  
DÔ dꢀng chØ ra víi x  −3 hoÆc x >1 th× P > 0 , cßn víi −3  x 1 th× P  0  
.
1
Ta thÊy khi x =1+ a víi a > 0 th×  
P
=
nªn a cꢀng nhá th× P cꢀng lín vꢀ lín bao nhiªu còng ®−îc, do  
2
a
+
4a  
kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt.  
−3  
1
®ã biÓu thøc  
P =  
2
x
+
2x  
A4 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ Tꢈ  
GIA SƯ ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




NhÇm t−ëng vai trß cña c¸c biÕn trong bꢀi nh− nhau nªn s¾p thø tù c¸c Èn.  
x
y
z
Bꢀi 15: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = + + víi x, y, z > 0.  
y
z
x
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x → y → z → x th× biÓu thøc A kh«ng ®æi nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö  
2
x ≥ y ≥ z >  
0
, suy ra x − z ≥ 0 ⇒ y  
(
x − z  
)
≥ z  
(
x − z  
)
⇒ xy − yz + z ≥ xz.  
(1)  
y
z
y
z
Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho sè d−¬ng xz ta ®−îc  
− + ≥1.  
(2)  
x
x
x
y
y
x
MÆt kh¸c ta cã  
+
≥ 2 (3).  
x
y
z
Céng vÕ víi vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu (2) vꢀ (3) ta ®−îc + + ≥ 3.  
y
z
x
Tõ ®ã suy ra min A =  
3 ⇔ x = y = z.  
Bình luꢇn  
Tuy kÕt qu¶ ®óng, nh−ng xem ra lêi gi¶i bÊt æn. T¹i sao vËy?  
Giꢄi ñáp  
y
z
x
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x → y → z → x th× biÓu thøc A trë thꢀnh + + , tøc lꢀ biÓu thøc kh«ng ®æi.  
z
x
y
§iÒu ®ã cho phÐp ta ®−îc gi¶ sö mét trong ba sè x; y; z lꢀ sè lín nhÊt (hoÆc sè nhá nhÊt), nh−ng kh«ng  
cho phÐp gi¶ sö x ≥ y ≥ z råi sö dông nã lꢀm gi¶ thiÕt bꢀi to¸n khi ®i chøng minh mꢀ kh«ng xÐt c¸c  
tr−êng hîp cßn l¹i.  
ThËt vËy sau khi chän x lꢀ sè lín nhÊt ( x ≥ y, x ≥ z) th× vai trß cña y vꢀ z l¹i kh«ng b×nh ®¼ng:  
x
z
y
gi÷ nguyªn x, thay y bëi z vꢀ ng−îc l¹i ta ®−îc + + , biÓu thøc nꢀy kh«ng b»ng biÓu thøc A.  
z
y
x
Kh¾c phôc sai lÇm  
Víi lêi gi¶i ®ꢁ ®−a ra, thay cho viÖc s¾p thø tù x ≥ y ≥ z , ta chØ cÇn gi¶ sö z lꢀ sè nhá nhÊt trong ba sè  
x; y; z kÕt hîp víi phÇn cßn l¹i cña lêi gi¶i ®ꢁ tr×nh bꢀy ®ã ta ®−îc lêi gi¶i ®óng.  
Ngoꢀi ra ta cßn cã thÓ gi¶i bꢀi to¸n nꢀy theo c¸c c¸ch sau:  
Lꢃi giꢄi ñúng  
C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta cã  
x
y
z
x y z  
A = + + ≥ 3  
3
. . = 3. (Ph¶i chøng minh B§T C«si cho ba sè kh«ng ©m)  
y
z
y
y z y  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  





x
y
y
z   
x
y
y
z
z
Do ®ã min  
+ +  
= 3 khi vꢀ chØ khi  
=
=
, tøc lꢀ x = y = z.  



z
x
x

C¸ch 2: Gi¶ sö z lꢀ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z.  
x
y
z

x
y
y
x
   
y
z
z
y
x

Ta cã + + =  
+
+
+ −  
.


   


y
z
x

x

x
y x y z  
≥ 2 (do x, y > 0) nªn ®Ó chøng minh + + ≥ 3 chØ cÇn chøng minh  
x y z x  
Ta ®ꢁ cã  
+
y
y
z
z
y
x
+

≥1  
(1).  
x
2
ThËt vËy (1) ⇔ xy + z − yz ≥ xz (do x, z ≥ 0)  
BiÕn ®æi ®Õn ≥ 0 (2)  
x − z)(
y − z  
(
)
.
Do z lꢀ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z nªn (2) lu«n ®óng. Tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
A = 3 khi x = y = z.  
Bꢀi 16: Cho x, y, z lꢀ c¸c sè thùc lín h¬n ꢂ1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
2
2
2
1+ z  
1
+ x  
1+ y  
P =  
+
+
.
2
2
2
1
+ y + z 1+ z + x 1+ x + y  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
NÕu x  0 , ta thay x bëi (ꢂx) th× hai h¹ng tö ®Çu cña P kh«ng ®æi cßn h¹ng tö cßn l¹i gi¶m xuèng. Tõ ®ã  
kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ 0  
.
2
2 2  
)
( )
 (
 )  
x −1 ≥ 0 , suy ra 3 x +1 ≥ 2 x + x +1 .  
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 1.  
Tõ  
(
§
2
2
1
+ x  
1+ x  
2
Do ®ã  

≥ .  
2
2
1
+ y + z  
1+ x + x  
3
2
2
1
+ y  
2
1+ z 2  
≥ .  
2
3 1+ x + y 3  
T−¬ng tù ta còng cã  
≥ ;  
2
1
+ z + x  
Tõ ®ã suy ra P ≥ 2 . DÊu “=’ x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z =1  
Bình luꢇn  
.
Theo c¸c b¹n lêi gi¶i trªn ®ꢁ chuÈn ch−a? Lêi gi¶i cña b¹n nh− thÕ nꢀo?  
Giꢄi ñáp  
C¸c biÕn x, y, z trong biÓu thøc P cã d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh mꢀ kh«ng cã vai trß nh− nhau nªn chØ  
®
−îc xem biÕn bÊt k× nꢀo lꢀ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt mꢀ th«i. Do ®ã ®o¹n lËp luËn:  
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ 0  
.
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
2 2  
)
( )
 (
 )  
x −1 ≥ 0 , suy ra 3 x +1 ≥ 2 x + x +1 .  
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 1.  
Tõ  
(
§
2
2
1
+ x  
1+ x  
2
3
Do ®ã  


2
(1)  
2
1
+ y + z  
1+ x + x  
2
1
+ y  
2
T−¬ng tù ta còng cã  
≥ ; (2)  
2
1
+ z + x  
3
2
1
+ z  
2

(3)  
2
1
+ x + y  
3
lꢀ kh«ng ®óng. Kh«ng thÓ tõ (1) suy ra (2) vꢀ (3) b»ng phÐp t−¬ng tù v× vai trß cña c¸c biÕn x, y, z  
trong P kh«ng nh− nhau.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
2
2
2
2
2
1+ z  
2
(
1+ x  
2
)
2 1+ y  
(
)
2 1+ z  
(
)
1
+ x  
1+ y  
Ta cã P =  
+
+

+
+
= M  
2
2
2
2
2
2
2
2
1
+ y + z 1+ z + x 1+ x + y  
) (  
2 1+ z + 1+ y  
2 1+ x + 1+ z  
2 1+ y + 1+ x  
(
)
(
) (  
)
(
) (  
)
2
2
2
§
Æt 1+ x = a; 1+ y = b; 1+ z = c(a, b, c > 0)  
.
2
a
2b  
2c  
+ .  
Lóc ®ã M =  
+
2
c + b 2a + c 2b + a  
c
a

§
Æt N =  
H =  
+
+
.
2
2
c + b 2a + c 2b + a  

c
a
+
+
c + b 2a + c 2b + a  
Khi ®ã 2N + H = 3  
.
2
a + c 2b + a 2c + b  
+ +  
≥ 3, suy ra 2M + 2N ≥ 6  
¸
p dông bÊt ®¼ng thøc C«ꢂsi ta cã M + N =  
(4)  
2
c + b 2a + c 2b + a  
M
2b + a 2c +b 2a + c  
M
3
2
L¹i cã 2H +  
=
+
+
≥ 3, suy ra H +  

(5)  
2
2c + b 2a + c 2b + a  
4
9
M
15  
)

. Mꢀ 2N + H = 3 nªn  
Céng vÕ theo vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc (4) vꢀ (5) ta cã:  
+
(
2N + H  
M

2
.
4
2
Tõ ®ã suy ra  
A6 - MꢉT Sꢅ DꢄNG SAI LꢀM KHÁC  
Bꢀi 17: Cho a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng  
GIA SƯ ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  
P ≥ 2  
. DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z =1.  




4
4
4
2
2
2
2
2
2
a +b + c  2  
(
a b +b c + c a .  
)
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
V× a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn  
b −c a  
2
2
2


b − 2bc + c  a  
2
2
2
b + c − a  2bc  
2
2
2
2
2



(
b + c − a  
)

(
2
2bc  
)
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b + c + a + 2b c − 2b a − 2c a  4b c  
4
4
4
2
2
2
2
2
2
a +b + c  2 a b +b c + c a  
)
(
Bình luꢇn  
Lêi gi¶i trªn ®ꢁ ®óng ch−a? NÕu ch−a, gi¶i thÕ nꢀo th× ®óng?  
Giꢄi ñáp  
N©ng lªn luü thõa bËc ch½n ë hai vÕ cña B§T mꢀ kh«ng cã ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng kh«ng ©m  
2
2
Lêi gi¶i ch−a ®óng v× tõ b + c − a  2bc ⇒ b + c − a  
)
2
( )  
2bc  
lꢀ sai, ch¼ng h¹n  
2
2
2
2
2
(
2
2
−2 1  

(
−2  
)
1 (sai). L−u ý chØ ®−îc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña B§T khi c¶ hai vÕ ®Òu kh«ng ©m.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
V× a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn  
b −c a b + c  
2
2
2



(
b − c  
2
)
 a 
(
b + c  
2
)
2
2
2
b − 2bc + c  a  b + 2bc + c  
2
2
2
−2bc  a −b − c  2bc  
2
2
2


a −b − c  2bc  
2
2
2
2
2
(
a −b − c  
)

(
2bc  
)
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2


a +b + c − 2a b − 2c a + 2b c  4b c  
4
4
4
2
2
2
2
2 2  
a +b + c  2  
(
a b + c a +b c  
)
2
2
x + y  
Bꢀi 18: Cho hai sè x; y tho¶ mꢁn x > y vꢀ xy =1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =  
.
x − y  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
2
2
x + y  
x − 2xy + y + 2xy  
(
x − y  
=
x − y  
)
x − y  
+ 2xy  
Ta cã A =  
GIA SƯ  
=
x − y  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




Do x > y vꢀ xy =1 nªn  
2
(
x − y  
)
2xy  
2
A =  
+
= x − y +  
x − y  
x − y  
x − y  
1
BiÕt r»ng nÕu a > 0 th× a + ≥ 2 (B§T C«si)  
a
x − y  
2
x − y  
x − y  
Do ®ã A =  
+
+
≥ 2 +  
.
2
x − y  
2
2
x − y  
2
VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt khi  
+
= 2  
x − y  
2
2
2

(
x − y  
)
+ 4 = 4  
(
x − y  
)

(
x − y  
)
− 4  
(
x − y  
)
+ 4 = 0  
.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh nꢀy ®−îc nghiÖm x – y = 2.  



x − y = 2  
xy =1  
Do ®ã ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh sau  
, nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lꢀ  
(
x; y  
)
=
1+ 2;−1+ 2  
(
)
;
(
x; y  
)
=
1− 2;−1− 2  
(
)
(Tho¶ mꢁn ®iÒu kiÖn bꢀi ra).  
x − y  
2
+ 2 = + 2 = 3.  
2
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lꢀ A =  
2
Bình luꢇn  
6
+ 2  
6 − 2  
6 − 2  
Nh−ng víi x =  
; y =  
th× cã x > y; xy =  
=1 vꢀ A = 2 2  3.T¹i sao l¹i nh− thÕ?  
2
2
4
Giꢄi ñáp  
Chøng minh f ≥ m (hay f ≤ m ), kh¼ng ®Þnh gi¸ trÞ nhá nhÊt (hay lín nhÊt) cña f b»ng m mꢀ kh«ng chØ  
ra m lꢀ h»ng sè  
x − y  
x − y  
Râ rꢀng lêi gi¶i sai . V× A ≥ 2 +  
mꢀ  
ch−a lꢀ h»ng sè. Sai lÇm ë ®©y lꢀ sai lÇm ë b−íc 1, ®¸nh  
2
2
gi¸ f ≥ m nh−ng m kh«ng lꢀ h»ng sè.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
2
2
2
2
x + y  
x − 2xy + y + 2xy  
x − y  
(
x − y  
)
+ 2xy  
A =  
=
=
x − y  
x − y  
2
2
=
(x − y) +  
≥ 2 (x − y).  
= 2 2  
x − y  
x − y  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
(¸p dông B§T C«si cho hai sè d−¬ng x – y vꢀ  
).  
x − y  



2
x − y =  
xy =1  
6 + 2  
6 − 2  
DÊu “=” x¶y ra  

x − y . Gi¶i hÖ nꢀy t×m ra x =  
; y =  
tho¶ mꢁn ®Ò bꢀi.  
2
2


2
2
Bꢀi 19: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x − x + 3 + x − x − 2 .  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
1
 1  11  
1
 1   
 2   
9

2
2
2
2
Ta cã A = x − x + 3 + x − x − 2 = x − 2. x +  
+
+ x − 2. x +  


   
2
 2   
4
2
4
2
2

1  11  


1   
2   
9
4
=
x −  
+
+ x −  

.





2   
4
1
1
9
11 9  
Suy ra A ≥  
+ −  
=
+ = 5.  
4
4
4
4
2

1   
2   
1
1
§
¼ng thøc x¶y ra  

x −  
= 0 ⇔ x − = 0 ⇔ x = .  



2
2
1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lꢀ 5 khi x = .  
2
Bình luꢇn  
Trong líp cã hai nhãm ®−a ra c¸c nhËn xÐt kh¸c nhau, nhãm thø nhÊt cho lꢀ lêi gi¶i cña b¹n häc sinh  
trªn “cã vÊn ®Ò”, nhãm thø hai hoꢀn toꢀn nhÊt trÝ víi lêi gi¶i trªn. Cßn b¹n, b¹n sÏ ®øng ë nhãm nꢀo?  
T¹i sao?  
Giꢄi ñáp  
2
HiÓu sai nhiÒu lo¹i B§T nh− A + m ≥ m  
2
2

1
2

11  
4


1
2

9
4
11  
4
9
+ − = 5  
.
4
B−íc gi¶i sai lÇm x −  
+
+ x −  









2
2

1
2

9
9

1
2

9
4
9
4
Ta thÊy x −  
− ≥ − víi mäi x, nh−ng kh«ng thÓ suy ra x −  

≥ −  








4
4
2
2

1   
2   
9
4


1   
2   
9
4
1 9  
9
4
Ch¼ng h¹n nÕu x = 0 th× x −  

= 0 −  

=

= −2  −  





4 4  
L−u ý tõ a ≥ b chØ suy ra ®−îc a ≥ b khi a ≥ b ≥ 0  
Lꢃi giꢄi ñúng  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  
.
GIA SƯ  




2
2
2
2

1  11  


1   
2   
9
4


1  11 9   
1   
2   
A = x −  
+
+ x −  

= x −  
+
+
− x −  









2   
4
2   
4
4   
2
2

1  11 9   
1   
2   
11 9  

x −  
+
+ − x −  
=
+
= 5.  





2   
4
4   
4
4
Do ®ã A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lꢀ 5 khi vꢀ chØ khi  
2
2
2
2


   


1  11 9   
1   
9   
− x −  
1   
2   


1  11  
x −  
+
. − x −  
 ≥ 0 ⇔  
≥ 0 (v× x −  
+
≥ 0víi mäi x)  
4






4   



2   
4  4   
2    
2   


   

Tõ ®ã t×m ®−îc −1≤ x ≤ 2  
Bꢀi 20: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x −1 x +1 .  
2
2
(
)(  
)
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
Ta cã x ≥ 0 víi mäi x, suy ra x −1≥ −1 vꢀ x +1≥1  
2
2
Suy ra P =  
(
x −1)(
x +1  
)

(
−1  
)
.1= −1⇒ P ≥ −1.  
2


x −1= −1  
DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
⇔ x = 0.  
2
x +1=1  



VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lꢀ ꢂ1 khi x = 0.  
Bình luꢇn  
Sai lÇm ë ®©u?  
Giꢄi ñáp  
VËn dông sai c¸c tÝnh chÊt cña B§T nh− nh©n hai B§T cïng chiÒu mꢀ kh«ng cã ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng  
kh«ng ©m.  
Ph©n tÝch sai lÇm: Chç sai cña lêi gi¶i trªn lꢀ ®ꢁ nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trong khi cã  
nh÷ng vÕ nhËn gi¸ trÞ ©m, ch¼ng h¹n 5 > 3 vꢀ ꢂ2 > ꢂ3 nh−ng 5.(ꢂ2)
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
2
4
Lêi gi¶i ®óng kh¸ ®¬n gi¶n: P = x −1 x +1 = x −1≥ −1⇒ P ≥ −1.  
)(  
(
)
4
DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 0 ⇔ x = 0.  
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lꢀ ꢂ1, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = 0.  
Bài 21: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x − 2 xy +3y − 2 x +1  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
§
iÒu kiÖn x ≥ 0; y ≥ 0.  
GIA SƯ ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
Ta cã P = x − 2 xy + 3y − 2 x +1  
=
x − y +1− 2 x − y − 2 y + 2y  
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
1
2
=
x − y −1 + 2y − 2 y + −  
=
x − y −1 + 2 y −1 −  
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
9
Tõ ®ã ®¸nh gi¸ ®−îc min P = − ⇔ y = ; x = .  
2
4
4
Bình luꢇn  
Lêi gi¶i rÊt ‘logic”, liÖu c¸c b¹n cã chÊp nhËn kh«ng?  
Giꢄi ñáp  
X¸c ®Þnh sai ®iÒu kiÖn cña biÕn nªn tËp x¸c ®Þnh bÞ më réng dÉn ®Õn kÕt qu¶ sai.  
Ph©n tÝch sai lÇm, söa ch÷a: Bꢀi to¸n sai ngay tõ ®iÒu kiÖn, ®iÒu kiÖn ®óng lꢀ x ≥ 0; xy ≥ 0. ThËt vËy,  
nÕu x = 0 th× y tïy ý, khi ®ã P = 3y + 1 kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt v× y nhá tïy ý nªn P nhá tïy ý.  
Do sai ngay tõ ®iÒu kiÖn nªn lêi gi¶i trªn ®ꢁ bꢀi to¸n thiÕu 1 tr−êng hîp.  
Lꢃi giꢄi ñúng  
§
iÒu kiÖn x ≥ 0; xy ≥ 0.  
XÐt hai tr−êng hîp:  

TH 1: x > 0; y ≥ 0.  
§
iÒu kiÖn x ≥ 0; y ≥ 0.  
2
Ta cã P = x − 2 xy + 3y − 2 x +1 = x − y +1− 2 x − y − 2 y + 2y  
(
)
(
)
2
2
2
1
1
2
1
1
2
=
x − y −1 + 2y − 2 y + −  
=
x − y −1 + 2 y −1 −  
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
9
Tõ ®ã ®¸nh gi¸ ®−îc min P = − ⇔ y = ; x = .  
2
4
4

TH 2: x = 0; y tïy ý khi ®ã P = 3y + 1 kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt v× y nhá tïy ý nªn P nhá tïy ý.  
KL chung: BiÓu thøc P kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  



x + y = m  
Bꢀi 22: Cho  
(
x, y  
)
lꢀ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh  
(I) . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vꢀ gi¸ trÞ  
x + y = −m + 6  
2
2
2
nhá nhÊt cña biÓu thøc F = xy + 2  
(
x + y  
)
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
x + y = m  



x + y = m  
Tõ hÖ (I) ta cã  

2

2
xy = m −3  
2
(
x + y  
)
− 2xy = −m + 6  


2
2
Khi ®ã F = m −3+ 2m =  
(
m +1  
)
− 4  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
Ta thÊy  
(
m +1  
)
− 4 ≥ −4, dÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi m = −1nªn min F = −4 khi vꢀ chØ khi m = −1.  
2
MÆt kh¸c dÔ thÊy m cꢀng lín th× F =  
(
m +1  
)
− 4 cꢀng lín, do ®ã biÓu thøc F kh«ng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.  
Bình luꢇn  
Bꢀi to¸n cã lç hæng kh«ng? NÕu cã th× nã n»m ë ®©u?  
Giꢄi ñáp  



x + y = S  
xy = P  
2
cã nghiÖm lꢀ S ≥ 4P , do vËy ®ꢁ  
Ng−êi lꢀm to¸n ®ꢁ kh«ng ®Ó ý ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh  
kh«ng x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ cã nghiÖm. T×nh huèng min F = −4 khi vꢀ chØ khi m = −1 chØ lꢀ  
may m¾n nh−ng còng kh«ng ®−îc chÊp nhËn, cßn kÕt luËn biÓu thøc F kh«ng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lꢀ sai  
lÇm.  
Lꢃi giꢄi ñúng  



x + y = m  
Tr−íc hÕt ta t×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm(I)⇔  
,
2
xy = m −3  
2 2 2  
iÒu kiÖn ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm lꢀ m ≥ 4 m −3 ⇔ −3m +12 ≥ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2  
( )  
§
2
( )  
ꢂ Khi ®ã F = m −3+ 2m = m +1 − 4  
2
2
Ta thÊy  
(
m +1  
)
− 4 ≥ −4, dÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi m = −1 (Tho¶ mꢁn −2 ≤ m ≤ 2 ) nªn min F = −4  
khi vꢀ chØ khi m = −1  
.
2
MÆt kh¸c, ®Æt = m + 2m −3  
( )  
f m  
+
+
ChØ ra m∈  
ChØ ra m∈  
[
[
−2;−1  
]
th× hꢀm sè nghÞch biÕn nªn max F = f (−2)= −3 (1)  
f
(
m
)
−1;2  
]
th× hꢀm sè f m ®ång biÕn nªn max F = f (2) = 5 (2)  
( )  
Tõ (1) vꢀ (2) suy ra max F = f (2) = 5  
KÕt luËn chung.  
2 2  
( )  
f x  
= x − x +1 + x − 3x +1 víi x ∈ R  
Bꢀi 23: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hꢀm sè:  
Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
2
2
2





1   
2   
3
3
 1   
+
   
 2   
§
−a hꢀm sè trªn vÒ d¹ng  
f
(
x
)
=
x −  
+
+
x −  











2
2








1
2
3
3 1  
,
Trong hÖ trôc täa ®é Oxy, xÐt c¸c ®iÓm  
Khi ®ã  
GIA SƯ  
A
,
, B  
vꢀ  
C
(
x,0  
)
.








2
2
2




f
(
x
)
= CA+CB. V× CA+ CB ≥ AB  
,
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




2
2
2
3 −1  




(
)
3
1
2
1
2
3

Trong ®ã AB =  

(
+
=
,








2
2
2




2
3 −1  
)
Suy ra min f  
(
x
)
=
.
2
Bình luꢇn  
Bꢀi to¸n nꢀy gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p ®¹i sè rÊt khã kh¨n nh−ng nÕu gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p h×nh häc  
nh− thÕ nꢀy th× “kh¸ ®¬n gi¶n” ph¶i kh«ng c¸c b¹n? Cßn b¹n sÏ gi¶i bꢀi to¸n nꢀy nh− thÕ nꢀo?  
Giꢄi ñáp  
Sö dông mÆt ph¼ng to¹ ®é nh−ng viÖc chän ®iÓm ch−a phï hîp.  
Tr−íc hÕt ta nhí l¹i mét kÕt qu¶ ®óng sau: Trong mÆt ph¼ng cho hai ®iÓm A, B vꢀ ®−êng th¼ng (d) ®i  
qua ®iÓm C. Khi ®ã:  
a) NÕu A, B cïng phÝa so víi (d) th× CA + CB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) khi C lꢀ giao  
®
iÓm cña AB’ víi (d) (trong ®ã B’ lꢀ ®iÓm ®èi xøng cña B qua (d)), lóc ®ã CA + CB = AB’.  
b) NÕu NÕu A, B kh¸c phÝa so víi (d) th× CA + CB ®¹t GTNN khi C lꢀ giao ®iÓm cña AB víi  
(d), lóc ®ã CA + CB = AB.  




1
2
3
3 1  
,
Trong lêi gi¶i trªn ®ꢁ chän  
A
,
, B  
lꢀ hai ®iÓm cïng phÝa so víi trôc hoꢀnh. §o¹n AB  








2
2
2




kh«ng c¾t trôc Ox, do ®ã dÊu “=” ë bÊt ®¼ng thøc  
CA+ CB ≥ AB kh«ng x¶y ra (kh«ng tån t¹i ®iÓm C’ trªn Ox sao cho C’A + C’B = AB), nghÜa lꢀ  
2
3 −1  
(
)
CA+ CB > AB nªn viÖc kÕt luËn min f  
(
x
)
=
lꢀ sai lÇm.  
2
Lꢃi giꢄi ñúng  




1
3
3
1
2
XÐt hÖ trôc täa Oxy, trªn ®ã chän  
A
,
, B'  
,−  
vꢀ  
( )  
C x,0 .  








2
2
2




2
2




3
1
1
3
Ta cã  
f
(
x
)
= CA+CB' ≥ AB' (trong ®ã AB' =  

+ − −  
( )
 (
 )  
= 2 ) nªn f x ≥ 2 ∀ x∈ R .  








2
2
2
2




§
2
¼ng thøc x¶y ra khi x = 3 −1. Do ®ã GTNN cña hꢀm sè ®ꢁ cho lꢀ , gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ  
khi x = 3 −1  
Bꢀi 24: Cho a lꢀ sè cè ®Þnh, cßn x, y lꢀ nh÷ng sè biÕn thiªn. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
.
2 2  
( ) ( )  
P = x − 2y +1 + 2x + ay + 5  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




Lꢃi giꢄi ‘‘có vꢅn ñꢆ’’  
2
≥ 0 nªn P ≥ 0  
2
Do  
(
x − 2y +1  
)
≥ 0,  
(
2x + ay + 5  
)
.



x − 2y +1= 0  
Do ®ã min P = 0. Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi hÖ  
(I) cã nghiÖm.  
2
x + ay +5 = 0  
 x = 2y −1  
 x = 2y −1  



x − 2y +1= 0  
Ta cã  




2
x + ay +5 = 0  
2
(
2y −1  
)
+ ay + 5 = 0  
  
(
a + 4  
)
y = −3 (*)  
  
HÖ (I) cã nghiÖm khi vꢀ chØ khi ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. §iÒu nꢀy x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
a + 4 ≠ 0hay a ≠ - 4  
VËy Min P = 0 khi a ≠ −4  
Bình luꢇn  
Nh−ng ®Çu bꢀi cã cho a ≠ −4 kh«ng?  
Giꢄi ñáp  
Kh«ng xÐt hÕt c¸c tr−êng hîp trong mçi bꢀi to¸n mꢀ ®ꢁ kÕt luËn  
Ph©n tÝch sai lÇm: Bꢀi to¸n cÇn xÐt hai tr−êng hîp, lêi gi¶i trªn chØ ®óng trong tr−êng hîp a ≠ −4 , ta cÇn  
xÐt thªm tr−êng hîp a = −4  
.
Lꢃi giꢄi ñúng  
2
≥ 0 nªn P ≥ 0  
2
Do  
(
x − 2y +1  
)
≥ 0,  
(
2x + ay + 5  
)
.



x − 2y +1= 0  
a) M in P = 0 khi vꢀ chØ khi hÖ  
(I) cã nghiÖm.  
2
x + ay +5 = 0  
 x = 2y −1  
 x = 2y −1  
a + 4 y = −3 (*)  
( )  



x − 2y +1= 0  
Ta cã  


+ ay + 5 = 0  


  
2
x + ay + 5 = 0  
2
(
2y −1  
)
  
HÖ (I) cã nghiÖm khi vꢀ chØ khi ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. §iÒu nꢀy x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
a + 4 ≠ 0hay a ≠ - 4  
2
2
.
b) Víi a = −4 , khi ®ã P =  
(
x − 2y +1  
)
+
(
2x − 4y + 5  
)
§
Æt t = x − 2y +1  
.
2
2


6   
5   
9
+ ≥  
5
9
5
2
2
Ta cã P = t +  
(
2t + 3  
)
= 5t +12t + 9 = 5 t +  


9
6
11  
5
Suy ra min  
VËy:  
P
=
khi  
t
= − hay  
x
− 2  
y
= −  
.
5
5
+
NÕu a ≠ −4 th× M in P = 0  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  




9
5
+
NÕu a = −4 th× M in P =  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHꢁM NGꢂC THꢁCH – TP. QUY NHƠN  



Nguồn:trên mạng

 
 
HƯỚNG DẪN DOWNLOAD


Để tải về đề thi các sai lầm trong cực trị đại số
Bước 1:Tại trang tài liệu chi tiết nslide bạn muốn tải, click vào nút Download màu xanh lá cây ở phía trên.
Bước 2: Tại liên kết tải về, bạn chọn liên kết để tải File về máy tính. Tại đây sẽ có lựa chọn tải File được lưu trên nslide.com
Bước 3: Một thông báo xuất hiện ở phía cuối trình duyệt, hỏi bạn muốn lưu . - Nếu click vào Save, file sẽ được lưu về máy (Quá trình tải file nhanh hay chậm phụ thuộc vào đường truyền internet, dung lượng file bạn muốn tải)
Có nhiều phần mềm hỗ trợ việc download file về máy tính với tốc độ tải file nhanh như: Internet Download Manager (IDM), Free Download Manager, ... Tùy vào sở thích của từng người mà người dùng chọn lựa phần mềm hỗ trợ download cho máy tính của mình

LINK DOWNLOAD

pdf.pngToanHocTHPTSaiLamTrongCucTriDaiSo.pdf[0.25 M]

File đã kiểm duyệt
     Báo vi phạm bản quyền
Pass giải nén (Nếu có):
nslide.com
DOWNLOAD
(Miễn phí)

Bạn phải gởi bình luận/ đánh giá để thấy được link tải

Nếu bạn chưa đăng nhập xin hãy chọn ĐĂNG KÝ hoặc ĐĂNG NHẬP

BÌNH LUẬN


Nội dung bậy bạ, spam tài khoản sẽ bị khóa vĩnh viễn, IP sẽ bị khóa.
Đánh giá(nếu muốn)
 BÌNH LUẬN

ĐÁNH GIÁ


ĐIỂM TRUNG BÌNH

0
0 Đánh giá
Tài liệu rất tốt (0)
Tài liệu tốt (0)
Tài liệu rất hay (0)
Tài liệu hay (0)
Bình thường (0)

đề thi tương tự

đề thi TIẾP THEO

đề thi MỚI ĐĂNG

đề thi XEM NHIỀU