các sai lầm trong cực trị đại số

Đăng ngày 5/10/2011 10:17:19 AM | Thể loại: Toán học 12 | Chia sẽ bởi: Sơn Nguyễn Trường | Lần tải: 0 | Lần xem: 1 | Page: 25 | Kích thước: 0.25 M | Loại file: pdf
SAI LꢀM TRONG  
CꢁC TRꢂ ꢃꢄI Sꢅ  
A1 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ NHꢇT  
Trong bꢀi lꢀm cã sö dông nhiÒu B§T, nh−ng khi t×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cÇn t×m ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt  
(hoÆc lín nhÊt) th× c¸c dÊu b»ng kh«ng ®ång thêi x¶y ra ®ꢁ kÕt luËn kÕt luËn biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ nhá  
nhÊt (hoÆc lín nhÊt) hoÆc biÓu thøc kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (hoÆc lín nhÊt)  
1
Bꢀi 1: Cho x, y lꢀ hai  d−¬ng tho mꢁn x + ≤1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
y
x
y
M = 32. + 2007. .  
y
x
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
x
y
y
x
x, y > 0 ta cã  
+
2  
.
2
1
1   
1
y
x
 x, y > 0 vꢀ x + ≤1 ta cã 1 x +  
4x.  
4.  
y
y
y
x
y
 x y   
y
+1975.  32.2 +1975.4 = 7964.  
x x  
Do vËy M = 32. + 2007. = 32.  
+
y
x
y
DÊu “=” x¶y ra  x = y  
.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ 7964, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = y  
Bình lun  
Nh−ng!... x = y th× M = 2039. VËy sai lÇm ë ®©u?  
Gii ñáp  
.
x
y
y
x
Lêi gi¶i sai ë chç víi x, y > 0 th×  
+
2 .  
y
DÊu “=” x¶y ra  x = y, cßn  4, DÊu “=” x¶y ra  y = 4x.  
x
1
MÆt kh¸c cã thÓ thÊy x = y th× m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt x + ≤1.  
y
Nh− vËy nguyªn nh©n cña sai lÇm trong lêi gi¶i trªn lꢀ trong mét bꢀi to¸n mꢀ sö dông nhiÒu bÊt ®¼ng  
thøc ®Ó t×m cùc trÞ nh−ng c¸c dÊu “=” kh«ng ®ång thêi x¶y ra .  
Li gii ñúng  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
2
1   
1
y
x
Tõ gi thiÕt ta cã 1 x +  
4x.  
4.  
y
y
¸
p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè kh«ng ©m ta cã  
x
y
x
y   
x
y
x
y
M = 32. + 2007. = 32. + 2. + 2005.  2. 32. .2. + 2005.4 = 8036  
.
y
x
y
x
y
x
1
DÊu “=” x¶y ra  x = ; y = 2  
.
2
1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ 8036, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = ; y = 2  
.
2
2
2
Bꢀi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x + 3y biÕt 2x +3y  5  
.
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
Gäi B = 2x + 3y , ta cã B  5.  
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
5
5
4
XÐt A+ B = 2x + 3y + 2x + 3y = 2 x + x + 3 y + y = 2 x +  
+ 3 y +  
− ≥ −  
4
(1)  
(
)
(
)
Ta l¹i cã B  5 nªn B  −5  
Céng (1) víi (2) ta ®−îc A  −  
(2)  
2
5
.
4
2
5
1
Min A = − ⇔ x = y = − .  
4
2
Bình lun  
1
5
Nh−ng víi x = y = −  A = − , vËy sai lÇm ë ®©u?  
2
2
Gii ñáp  
1
Sai lÇm ë chç víi x = y = − , chØ x¶y ra dÊu “=” ë (1), cßn dÊu “=” ë (2) kh«ng x¶y ra.  
2
1
5
ThËt vËy víi x = y = − th× B = ≠ 5. Do ®ã B  −5  
.
2
4
Li gii ñúng  
¸
p dông B§T Bunhiacèpxki ta cã:  
2
2
2
2
)
A = 2. 2x + 3. 3x  2 + 3 2x +3y  5.5 = 25  
(
)
(
)
(
x 2 y 3  
 x = y  
3
2
A = 25 ⇔  
=
2
2
Do A  25 nªn 5  A  5  
.
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
x = y  
x +3y = −5  
Min A = −5 ⇔  
Max A = 5 ⇔  
 x = y = −1.  
2
x = y  
x +3y = 5  
 x = y =1.  
2
2
2
2
Bꢀi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
F
(
x, y  
)
=
(
x + y  
)
+
(
x +1  
)
+
(
)
y x  
> 0.  
)
.
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
2
y  x kh«ng ®ång thêi b»ng 0 nªn  
Ta thÊy  
(
x + y  
)
;
(
x +1  
)
;
(
)
F
(
x, y  
2
2
2
®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá  
F
(
x, y  
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vꢀ chØ khi  
a
=
(
x
+
1
)
vꢀ  
b
=
(
x
+
y
)
+
(
y
x
)
nhÊt.  
2
a
=
(
x
+
1
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0 khi x = ꢂ1.  
2
2
= 2y + 2, nªn b ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi y = 0.  
2
Khi ®ã b =  
(
x + y  
)
+
(
y x  
)
x = −1  
.
y = 0  
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  
F
(
x, y  
)
lꢀ 2 khi  
Bình lun  
Ph¶i ch¨ng lêi gi¶i trªn lꢀ ®óng?  
Gii ñáp  
2
Lêi gi¶i m¾c sai lÇm ë b−íc lËp luËn:  
F
(
x, y  
)
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vꢀ chØ khi a =  
(
x +1  
)
vꢀ  
2
2
®ång thêi ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. LËp luËn nꢀy chØ ®óng khi c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã  
b =  
¹t ®−îc t¹i cïng mét gi¸ trÞ cña c¸c biÕn. Râ rꢀng ë ®©y a ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi x = ꢂ1, cßn b ®¹t gi¸  
trÞ nhá nhÊt khi x + y = x – y = 0, tøc lꢀ khi x = y = 0.  
Li gii ñúng  
(
x + y  
)
+
(
y x  
)
®
2
2
2
1   
3  
2 2  
2
+ + 2y  .  
3 3  
BiÕn ®æi  
F
(
x, y  
)
= 3x + 2x +1+ 2y = 3 x +  
1
§
¼ng thøc x¶y ra  x = − , y = 0.  
3
2 1  
( )  
F x, y lꢀ , gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi x = − , y = 0.  
3 3  
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña  
2
2
Bꢀi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc D = −5x  2xy  2y +14x +10y 1  
.
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
2
2
2
2
Ta cã D = −5x  2xy  2y +14x +10y 1 = − x + 2xy + y  4x 14x  y 10y 1  
) (
 )
 (  
(
)
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
2
2
7   
2   
2
( )  
 y 5 +  
145  
4
=
(
x + y  
)
 2x −  
x + y = 0  
x = −y  
1
45  
4
7
7
4
Suy ra D ≤  
. DÊu “= x¶y ra khi vꢀ chØ khi 2x  = 0 ⇔  
x =  
2
y 5 = 0  
y = 5  
HÖ trªn v« nghiÖm nªn D kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ lín nhÊt  
Bình lun  
B¹n cã ®ång ý víi kÕt luËn trªn cña bꢀi to¸n kh«ng? Lêi gi¶i ®ꢁ thuyÕt phôc ch−a?  
Gii ñáp  
2
2
7   
2   
2
145  
4
145  
4
Tõ biÕn ®æi ®Õn D = −  
(
x + y  
)
 2x −  
(
y 5  
)
+
th× míi chØ suy ra D ≤  
, cßn viÖc kÕt luËn  
gi¸ trÞ lín nhÊt cña D kh«ng tån t¹i lꢀ ch−a chÝnh x¸c, kh«ng cã c¨n cø x¸c ®¸ng.  
Li gii ñúng  
C¸ch 1:  
2
2
2
2
Ta cã D = − x + y  6x  6y + 2xy + 9  4x 8x + 4  y  4y + 4 +16  
(
) (  
) (  
)
2
2
2
y 2  
=
(
x + y 3  
)
4  
(
x 1  
)
(
)
+16  
x + y 3 = 0  
x =1  
Suy ra D 16 . DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x 1= 0  
y = 2  
y 2 = 0  
VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = 1 vꢀ y = 2.  
Lêi gi¶i trªn tuy ®óng song cã vÎ thiÕu “tù nhiªn”, c¸ch 2 sau ®©y sÏ mang tÝnh thuyÕt phôc h¬n.  
C¸ch 2:  
2
2
BiÓu thøc tæng qu¸t d¹ng P(x, y) = ax + bxy + cy + dx + ey + h (a,b,c  0)  
C¸ch gi¶i: BiÕn ®æi P(x, y)  mét trong hai d¹ng sau:  
2
2
D¹ng 1: P(x, y)  
D¹ng 2: P(x, y)  
=
=
m.F (x, y)  
+
+
n.H (x)  
+
+
g
g
(1)  
2
2
m.F (x, y)  
n.K (y)  
(2)  
Trong ®ã H(x), K(y) lꢀ biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi biÕn cña chóng, cßn F(x, y) lꢀ biÓu thøc bËc nhÊt  
èi víi c¶ hai biÕn x vꢀ y.  
NÕu m > 0, n > 0 th× ta cã max P(x, y) = g  
®
.
F(x, y)  
=
0
F(x, y)  
= 0  
.
Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi  
hoÆc  
H(x)  
=
0
K(y)  
=
0
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
NÕu m < 0, n < 0 th× ta cã min P(x, y) = g  
.
F(x, y) = 0  
H(x) = 0  
F(x, y) = 0  
Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi  
hoÆc  
.
K(y) = 0  
§
Ó biÕn ®æi ®−îc nh− vËy, ta coi mét biÕn lꢀ biÕn chÝnh råi t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ò ¸p dông c¸c h»ng ®¼ng  
2
2
2
2
2
2
thøc a + 2ab + b =  
(
a + b  
)
, a  2ab + b =  
(
a b  
)
ë ®©y ta chän biÕn y lꢀ biÕn chÝnh  
Cô thÓ:  
2
2
Ta cã  
D
= −5x  
2xy  
2y  
+
14x +10y 1  
2
2
(
x 5  
)
(
x 5  
)
2
5x +14x 1  
2
=
=
2.y +  
(
x 5  
)
y +  
+  
4
2
2
2
( )  
9 x 1  
− +16 16  
2
x 5   
2   
2 y +  
x 5  
= 0  
y +  
x =1  
Suy ra D 16 . DÊu “= x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
2
y = 2  
x 1= 0  
VËy Max D = 16, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = 1 vꢀ y = 2.  
A2 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ HAI  
Kh«ng x¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu b»ng trong B§T f  m (hay f  m ), hoÆc ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu  
b»ng kh«ng tho¶ mꢁn gi¶ thiÕt.  
2
2
2
Bꢀi 5: Cho x, y, z tho mꢁn x + y + z  27. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = x + y + z + xy + yz + zx.  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
2
x ≥  
Víi mäi x, y, z ta cã:  
(
x
y
)
0;  
(
y
+
z
)
0;  
(
z
)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
Suy ra  
x
+
y
2xy; y  
+
z
2yz; z  
x
2zx  2 x + y + z  2  
(
xy + yz + zx  
)
 27  xy + yz + zx. (1)  
(
2
2
2
z 1  0  
MÆt kh¸c  
(
x 1  
)
0;  
(
y 1  
)
0;  
(
)
2
2
2
Suy ra x +1 2x; y +1 2y; z +1 2z  
2
2
2
(
x + y + z +3  2  
)
(
x + y + z  
)
15  x + y + z  
P 42  
(2)  
Céng theo tõng vÕ cña (1) vꢀ (2) suy ra  
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lꢀ 42  
.
Bình lun  
Bꢀi lꢀm kh¸ “®Ñp”, nh−ng kÕt qu¶ l¹i sai? Theo b¹n lêi gi¶i sai ë ®©u? Kh¾c phôc nh− thÕ nꢀo?  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
Gii ñáp  
Lêi gi¶i nꢀy ®ꢁ quªn mét b−íc v« cïng quan träng cña mét bꢀi to¸n cùc trÞ khi sö dông B§T, ®ã lꢀ x¸c  
®
Þnh ®iÒu kiÖn x¶y ra ®¼ng thøc.  
x = y = z = 3  
2
2
2
Ta thÊy P = 42  (1) vꢀ (2) ®ång thêi trë thꢀnh ®¼ng thøc ⇔  
x + y + z = 27  
x = y = z =1  
HÖ trªn v« nghiÖm nªn B§T P 42 kh«ng thÓ trë thꢀnh ®¼ng thøc.  
Li gii ñúng  
2
2
2
2
2
2
2
XÐt hiÖu  
3
(
x + y + z  
)
(
x + y + z  
)
= 2  
(
x + y + z  2  
)
( )  
xy + yz + zx  
2
2
2
=
(
x y  
)
+
(
y z  
)
+
(
z x  
)
 0 (*)  
.
Tõ (*) suy ra:  
2
2
2
2
(
x + y + z  
)
3  
(
x + y + z  
)
 3.27  x + y + z  9  
(1)  
(®¼ng thøc x¶y ra  x = y = z = 3).  
2
2
2
2
2
2
Còng tõ (*) suy ra 2(xy + yz + zx)  2(x + y + z )  xy + yz + zx  x + y + z  27  
(2)  
Tõ (1) vꢀ (2) suy ra: x + y + z + xy + yz + zx  36  
§
¼ng thøc x¶y ra  x = y = z = 3.  
VËy P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lꢀ 36, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc  x = y = z = 3.  
Bꢀi 6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x + x.  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
1  1   
4  4   
1   
2   
1
1
1
4
Ta cã A = x + x = x + x + − = x +  
− ≥ − . VËy min A= −  
.
4
4
Bình lun  
Lêi gi¶i rÊt “hån nhiªn” vꢀ “ng¾n gän” nh−ng lËp luËn ®ꢁ chÆt chÏ ch−a? KÕt qu¶ cã chÝnh x¸c kh«ng?  
Theo b¹n “kÏ hë” ë chç nꢀo?  
Gii ñáp  
1
1
1
2
Sau khi chøng minh A  − , ch−a chØ ra tr−êng hîp x¶y ra A  − , . X¶y ra dÊu ®¼ng thøc  
x
= −  
,
4
4
v« lÝ.  
Li gii ñúng  
§
Ó tån t¹i  
x
ph¶i cã x  0 . Do ®ã  
A
=
x
+
x
0
.
Min A  
=
0
x
=
0.  
lꢀ c¸c h»ng sè d−¬ng cho tr−íc.  
(
x + a
)(
x +b  
)
Bꢀi 7: T×m GTNN cña biÓu thøc A =  
GIA SƯ  
, víi x > 0  
,
a
vꢀ  
b
x
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
Ta cã x + a  2 ax  
x + b  2 bx  
(1)  
(2)  
)
(
x + a
)(
x + b  
2 ax.2 bx  
Do ®ã A =  
= 4 ab  
x
x
Min A = 4 ab  x = a = b.  
Bình lun  
Lêi gi¶i “thuyÕt phôc” ®Êy chø, cã cÇn ph¶i gi¶i l¹i kh«ng?  
Gii ñáp  
ChØ x¶y ra A = 4 ab khi ë (1) vꢀ (2) x¶y ra dÊu ®¼ng thøc, tøc lꢀ x = a vꢀ x = b. Nh− vËy ®ßi hái ph¶i  
cã a = b. NÕu a  
b th× kh«ng cã ®−îc  
A
=
4 ab  
.
Li gii ñúng  
Ta thùc hiÖn phÐp nh©n vꢀ t¸ch ra c¸c h»ng sè:  
2
(
x + a
)(
x +b  
)
x + ax +bx + ab   
ab   
x   
A =  
=
= x +  
+
(
a +b  
)
.
x
x
2
ab  
Ta cã x +  
 2 ab (B§T C«si) nªn A  2 ab + a + b = a + b  
(
)
x
ab  
2
x =  
Min A = a + b  
x  x = ab.  
x > 0  
(
)
a   
b   
c   
Bꢀi 8: Cho a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng, hꢁy t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1+  
1+  
1+  
.
  
  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
5b  5c  5a   
Do a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:  
a
a
b
b
c
c
1
+
2  
(1);  
1+ ≥ 2  
5c  
(2);  
1+  
2  
(3)  
5b  
5b  
5c  
5a  
5a  
a
b
c
8 5  
25  
Nh©n tõng vÕ cña ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu vꢀ c¸c vÕ ®Òu d−¬ng ta ®−îc P  8  
. . =  
b 5c 5a  
.
5
8
5
.
Do ®ã P nhá nhÊt b»ng  
2
5
Bình lun  
Gii ñáp  
C¸c b¹n cã ®ång t×nh víi c¸ch gi¶i nꢀy kh«ng?  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
8
5
. §©y lꢀ sai lÇm th−êng m¾c khi dïng bÊt ®¼ng thøc ®Ó t×m gi¸ trÞ  
5
§
Ó ý kh«ng tån t¹i a, b, c ®Ó P =  
2
lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc. Mét nguyªn nh©n s©u xa h¬n nhiÒu lꢀ b¹n ®äc kh«ng hiÓu  
óng nghÜa cña dÊu “ vꢀ dÊu “”. Kh«ng ph¶i khi nꢀo viÕt “ còng cã thÓ x¶y ra dÊu “=”. VÝ dô ta  
viÕt 10 2 lꢀ ®óng nh−ng kh«ng thÓ cã 10 = 2.  
Li gii ñúng  
1  a b c  1  a b c   
®
a   
b   
c   
1
+
BiÕn ®æi P = 1+  
1+  
1+  
=1+  
+ + + +  
+
(1)  
  
  
5b  5c  5a   
5 b  
c
a  25  c a b  125  
Do a, b, c lꢀ c¸c sè d−¬ng nªn ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã :  
a b c  
+ ≥ 3 . . = 3  
b c a  
a b c  
a b c  
a b c  
+ + ≥ 3 . . = 3 (3)  
a b c a b  
+
(2)  
1
b c  
a
c
1
1
216  
=
Tõ (1), (2), (3) ta cã P 1+ .3+ .3+  
.
5
25  
125 125  
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi c¸c dÊu ®¼ng thøc ë (2) vꢀ (3) ®ång thêi x¶y ra, tøc lꢀ a = b = c.  
2
16  
VËy Min P =  
, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi a = b = c > 0.  
125  
Bꢀi 9: Cho a, b lꢀ hai sè d−¬ng vꢀ x, y, z lꢀ c¸c sè d−¬ng tuú ý. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
2
2
2
z
x
y
M =  
+
+
.
ay + bz)(az +by) (az +bx)(ax +bz) (ax +by)(ay +bx  
)
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
DÔ thÊy  
VËy  
(
ay + bz  
)
 a + b y + z vꢀ  
)(  
(
az + by  
)
 a + b z + y  
(
)
(
)(  
)
2
2
x
x
2
2
2
2
(
ay +bz)(az + by  
)
(
a +b )( y + z  
)
2
2
y
x
T−¬ng tù ta cã  
2
2
2
2
(
az + bx)(ax + bz  
)
(
a + b )(z + x  
)
2
2
z
z
.
2
2
2
2
(
ax + by)(ay +bx  
)
(
a + b )(x + y  
)
2
2
2
1
x
y
z
Do ®ã M ≥  
+
+
.
2
2
2
2
2
2
2
2
a + b y + z  
z + x  
x + y  
2
2
2
z
x
y
3
2
MÆt kh¸c chøng minh ®−îc  
+
+
2
x + y  
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
3
Suy ra M ≥  
GIA SƯ  
.
DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z.  
2
2
)
2
(
a + b  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M lꢀ  
, gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi vꢀ chØ khi x = y = z.  
2
)
Bình lun  
2
2
(
a + b  
C¸ch gi¶i trªn ph¶i ch¨ng lꢀ ®óng! B¹n gi¶i bꢀi to¸n nꢀy nh− thÕ nꢀo?  
Gii ñáp  
Lêi gi¶i ®ꢁ sö dông kh¸ nhiÒu bÊt ®¼ng thøc nh−ng b¹n häc sinh nꢀy chØ xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë bÊt  
2
2
2
z
x
y
3
2
®
¼ng thøc  
+
+
2
x + y  
mꢀ kh«ng xÐt dÊu ®¼ng thøc x¶y ra ë c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i.  
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
3
Theo ®ã ®¼ng thøc M =  
x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z vꢀ a = b. Nh−ng theo gi¶ thiÕt a, b lꢀ  
2
2
)
2
a + b  
(
3
hai sè d−¬ng tuú ý, nªn víi a  b th× M >  
.
2
)
2
2
(
a +b  
Li gii ñúng  
2
2
2
2
2
2
a + b y + z  
)
(
)
(
ay + bz + az + by  
)
(
a + b y + z  
) (  
)
(
Ta cã  
(
ay + bz)(az +by  
)
=
4
4
2
2
2
x
2x  
Suy ra  
.
2
2
2
(
ay + bz)(az + by  
)
a + b y + z  
(
)
(
)
2
2
2y  
2
2
(
y
T−¬ng tù ta còng cã  
2
(
az + bx)(ax + bz  
)
a + b x + z  
(
(
)
)
)
2
2
z
2z  
2
.
2
2
(
ax + by)(ay + bx  
)
a + b y + x  
)
(
2
2
2
z
2
x
y
Do ®ã M ≥  
+
+
.
2
2
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
x + y  
(
a + b  
)
2
2
2
z
x
y
3
,
MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc Naꢂs¬ꢂbit th×  
+
+
2
2
2
2
2
2
y + z  
z + x  
x + y  
2
3
suy ra M ≥  
.
§¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z .  
2
(
a +b  
)
3
VËy min M =  
khi vꢀ chØ khi x = y = z .  
2
(
a + b  
)
2
2
Bꢀi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 2x + 5y + 4xy  4x 8y + 6  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
2
2
Ta cã P = x + 4y +1+ 4xy  2x  4y + x  2x +1 + y  4y + 4  
) (
 )
 (  
(
)
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
2
2
2
P =  
x + 2y 1  
P = x + 2y 1  
(
x + 2y 1  
)
+
(
x 1  
)
+
(
(
y 2  
)
2
2
2
 0 nªn  
Do  
(
)
0,  
(
x 1  
)
0,  
(
y 2  
)
2
2
2
y  2  0  
(
)
+
(
x 1  
)
+
)
.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng  
0
.
Bình lun  
Gii ñáp  
Lêi gi¶i “qu¸ gän”, b¹n cã ý kiÕn g× kh«ng?  
Kh¼ng ®Þnh P  0 lꢀ ®óng nh−ng  ch¼ng ®−îc g×, bëi v× kh«ng cã gi¸ trÞ nꢀo cña x, y ®Ó dÊu “=” x¶y  
ra.  
Sai lÇm ë lêi gi¶i trªn xuÊt ph¸t tõ viÖc ng−êi gi¶i ®ꢁ kh«ng thùc hiÖn b−íc 2 khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt  
(hoÆc nhá nhÊt) cña biÓu thøc ta ph¶i tr¶ lêi c©u hái “dÊu b»ng x¶y ra khi nꢀo?”  
Li gii ñúng  
Coi  
x
lꢀ biÕn chÝnh ®Ó biÕn ®æi nh− sau:  
2
2
+ 5y 8y + 6  
2
2
2
2
2  
P = 2x + 5y + 4xy  4x 8y + 6 = 2 x + 2x  
(
y 1  
)
+
(
y 1  
)
(
y 1  
)
2
2
2
2 4  4  
2
2
P =  
P =  
(
(
x + y 1  
)
+ 3y  4y + 4 =  
(
x + y 1  
)
+ 3 y  2y. + − + 4  
3 9  3  
2
2   
3   
8
3
x + y 1  
)
+ 3 y −  
+
2
2
2   
3   
NhËn thÊy  
(
x + y 1  
)
 0, 3 y −  
 0 nªn  
2
2
2   
3   
8
+ ≥  
3
8
3
P
=
(
x
+
y
1  
)
+ 3  
y
víi mäi x, y  
.
2
1
3
2
3
(
x + y 1  
)
= 0  
= 0  
x + y 1= 0  
x =  
y =  
2
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi  
2
y  = 0  
3
2   
3 y −  
3   
8
3
 1 2   
,
   
VËy Min P = . Gi¸ trÞ nꢀy ®¹t ®−îc khi  
(
x, y  
)
=
 3 3   
A3 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ BA  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
( )  
BÊt ®¼ng thøc f x  a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng víi mét gi¸ trÞ x = x0 nꢀo ®ã (x tho¶ mꢁn ®iÒu  
0
kiÖn cña bꢀi to¸n) ®ꢁ kÕt luËn biÓu thøc  
¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
( )
 
(
 )  
f x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f x kh«ng  
®
2
2
.
Bꢀi 11: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa lꢀ  
P
=
28  
+
3
x
x
+
5
+
4
x
x
§
2
28+ 3x  x  0  
(
4+ x
)(
7 x  
)
0  
4  x  7  
1x 5  
⇔ −1 x  5.  
2
5+ 4x  x  0  
 1+ x 5 x  0  
(
)(  
)
NhËn xÐt: Víi 1 x  5 ta cã  
2
2
5
2
+ 4x  x =  
(
1+ x
)(
5x  
)
 0, suy ra 5+ 4x  x  0.  
2
2
8+3  
x
x
=
(
4 +  
x
)(
7 −  
x
)
> 0 , suy ra 28+3  
x
x
> 0.  
2
2
Do ®ã, víi 1 x  5 th× P = 28+ 3x  x + 5+ 4x  x > 0, nªn P kh«ng cã gi¸ trÞ nhá nhÊt  
.
Bình lun  
KÕt luËn cña lêi gi¶i sai vÒ mÆt l«gic, t−¬ng tù nh− tr−êng hîp  
2
Q = x +  
1
>
0
víi mäi x nh−ng Q vÉn ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1 khi x = 0.  
Li gii ñúng  
§
iÒu kiÖn cña x ®Ó P cã nghÜa lꢀ 1 x  5 . Khi ®ã ta cã  
P = 23 x + 1+ x)(5 x 1+ x)(5 x  23 x  235 = 3 2 .  
(
)
+
(
)
§
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 5.  
VËy min P = 3 2 khi vꢀ chØ khi x = 5.  
2
Bꢀi 12: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x +  
(
m +1  
)
x +1= 0  tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t GTNN.  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
m 1  
2
§
iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lꢀ:  ≥ 0 ⇔  
(
m +1  
)
4 0 ⇔  
(
m + 3)(m 1  
)
0 ⇔  
(*).  
m ≤ −3  
2
2
 2 (Theo ®Þnh lÝ ViÐt).  
2
1
2
2
Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lꢀ: x + x =  
(
x1 + x2  
)
 2x x =  
(
m +1  
)
1 2  
2
( )  
Ta cã m +1  2  −2 nªn tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lꢀ ꢂ2 khi vꢀ chØ khi  
m +1 = 0  m = −1.  
Gi¸ trÞ m = ꢂ1 kh«ng tho¶ mꢁn ®iÒu kiÖn (*) nªn kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ cña m ®Ó tæng b×nh ph−¬ng c¸c  
nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
Bình lun  
MÊu chèt cña sai lÇm trong lêi gi¶i nꢀy ë chç em häc sinh ch−a n¾m v÷ng kh¸i niÖm gi¸ trÞ nhá nhÊt  
cña mét biÓu thøc. Chóng ta cÇn l−u ý r»ng: NÕu bÊt ®¼ng thøc  
f
(
x
)
 a kh«ng x¶y ra ®¼ng thøc øng  
víi mét gi¸ trÞ x = x0 nꢀo ®ã (x tho¶ mꢁn ®iÒu kiÖn cña bꢀi to¸n) th× kh«ng thÓ kÕt luËn ®−îc biÓu thøc  
0
f
( )
 (
 )  
x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng a hoÆc biÓu thøc f x kh«ng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.  
Li gii ñúng  
m
m
1  
2
§
iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lꢀ:  ≥ 0 ⇔  
(
m
+1  
)
4 0 ⇔  
(
m
+ 3)(  
m
1  
)
0 ⇔  
(*).  
≤ −3  
2
2
2
2
1
2
2
Khi ®ã tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm lꢀ : x + x =  
(
x1 + x2  
)
 2x x =  
(
m +1  
)
2 =  
(
m +1  
)
 4 + 2  2.  
1 2  
m =1  
2
§
¼ng thøc x¶y ra  
(
m +1  
)
4 = 0 ⇔  
(tho¶ mꢁn (*).  
m = −3  
VËy tæng b×nh ph−¬ng c¸c nghiÖm ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi vꢀ chØ khi m =  
1
hoÆc m = ꢂ3  
.
1
Bꢀi 13: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A =  
.
2
x  6x +10  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
1
Ph©n thøc  
cã tö kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉunhá nhÊt.  
2
x  6x +10  
2
2
Ta cã: x  6x +10 =  
(
x 3  
)
+11.  
2
Min x  6x +10 =1 x = 3.  
(
)
VËy max A =1 x = 3.  
Bình lun  
Lêi gi¶i cã vÎ kh¸ “tr¬n”, nh−ng nÕu ®i thi mꢀ lꢀm vËy th× “tr−ît”. T¹i sao vËy?  
Gii ñáp  
Tuy ®¸p sè kh«ng sai nh−ng lËp luËn l¹i sai khi kh¼ng ®Þnh “A cã tö sè kh«ng ®æi nªn A cã gi¸ trÞ lín  
nhÊt khi mÉu nhá nhÊt” mꢀ ch−a ®−a ra nhËn xÐt tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c sè d−¬ng.  
1
1
2
VÝ dô nh−: XÐt biÓu thøc B =  
. Víi lËp luËn nh− trªn “Ph©n thøc  
cã tö kh«ng ®æi nªn cã  
x 10  
2
x 10  
gi¸ trÞ lín nhÊt khi mÉu nhá nhÊt”, do mÉu nhá nhÊt b»ng ꢂ10 khi x = 0, ta sÏ ®i ®Õn kÕt luËn  
1
1  
max B =  
 x = 0. §iÒu nꢀy kh«ng ®óng v×  
1  
kh«ng ph¶i lꢀ gi¸ trÞ lín nhÊt cña B, ch¼ng h¹n víi x =  
1
0
10  
1
5
th× B =  
>
.
1
5
10  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
M¾c sai lÇm trªn lꢀ do ng−êi lꢀm kh«ng n¾m v÷ng tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, ®ꢁ m¸y mãc ¸p dông  
quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cã tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c sè tù nhiªn sang hai ph©n sè cã tö vꢀ mÉu lꢀ c¸c bÊt k×.  
Li gii ñúng  
2
1
2
Bæ xung thªm nhËn xÐt x  6x +10 =  
(
x 3  
)
+1> 0 nªn ph©n thøc  
cã tö vꢀ mÉu ®Òu lꢀ sè  
x  6x +10  
2
1
2
d−¬ng, do ®ã A lín nhÊt khi vꢀ chØ khi  
nhá nhÊt  
x 6x +10 nhá nhÊt. Lꢀm tiÕp nh− trªn ra kÕt  
A
qu¶.  
1
Bꢀi 14: T×m x ®Ó biÓu thøc P =  
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt  
2
x + 2x 3  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
§
iÒu kiÖn x 1  
;
x  −3  
.
1
Ta cã P =  
.
2
(
x +1  
)
4  
2
2
= 0  
§
Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt th×  
(
x +1  
)
 4 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. §iÒu nꢀy x¶y ra khi  
(
x +1  
)
1
4
hay x = −1. Khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña  
P
= −  
Bình lun  
1
1
Nh−ng cã thÓ thÊy khi x = 2 th×  
P
=
, do ®ã  
kh«ng ph¶i lꢀ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. VËy sai lÇm cña  
5
4
lêi gi¶i ë ®©u? Kh¾c phôc sai lÇm ®ã nh− thÕ nꢀo?  
Gii ñáp  
Sai lÇm cña lêi gi¶i mꢀ b¹n häc sinh nꢀy ®−a ra chÝnh lꢀ ë b−íc lËp luËn “®Ó biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ lín  
2
nhÊt th×  
(
x
+
1
)
4
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt”. §iÒu nꢀy chØ ®óng khi tö vꢀ mÉu cña P cïng d−¬ng mꢀ tö ph¶i  
lꢀ h»ng sè. ë ®©y mÉu ch−a biÕt d−¬ng hay ©m nªn kh«ng thÓ lËp luËn nh− vËy ®−îc.  
Li gii ñúng  
§
x  −3  
iÒu kiÖn x 1; .  
DÔ dꢀng chØ ra víi x < −3 hoÆc x >1 th× P > 0 , cßn víi 3 < x <1 th× P < 0  
.
1
Ta thÊy khi x =1+ a víi a > 0 th×  
P
=
nªn a cꢀng nhá th× P cꢀng lín vꢀ lín bao nhiªu còng ®−îc, do  
2
a
+
4a  
kh«ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt.  
3  
1
®ã biÓu thøc  
P =  
2
x
+
2x  
A4 - DꢄNG SAI LꢀM THꢆ Tꢈ  
GIA SƯ ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
NhÇm t−ëng vai trß cña c¸c biÕn trong bꢀi nh− nhau nªn s¾p thø tù c¸c Èn.  
x
y
z
Bꢀi 15: T×m g trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = + + víi x, y, z > 0.  
y
z
x
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x  y  z  x th× biÓu thøc A kh«ng ®æi nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö  
2
x  y  z >  
0
, suy ra x  z  0  y  
(
x z  
)
z  
(
x z  
)
 xy  yz + z  xz.  
(1)  
y
z
y
z
Chia c¶ hai vÕ cña (1) cho sè d−¬ng xz ta ®−îc  
− + ≥1.  
(2)  
x
x
x
y
y
x
MÆt kh¸c ta cã  
+
 2 (3).  
x
y
z
Céng vÕ víi vÕ cña hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu (2) vꢀ (3) ta ®−îc + + ≥ 3.  
y
z
x
Tõ ®ã suy ra min A =  
3  x = y = z.  
Bình lun  
Tuy kÕt qu¶ ®óng, nh−ng xem ra lêi gi¶i bÊt æn. T¹i sao vËy?  
Gii ñáp  
y
z
x
Khi ho¸n vÞ vßng quanh x  y  z  x th× biÓu thøc A trë thꢀnh + + , tøc lꢀ biÓu thøc kh«ng ®æi.  
z
x
y
§iÒu ®ã cho phÐp ta ®−îc gi¶ sö mét trong ba sè x; y; z lꢀ sè lín nhÊt (hoÆc sè nhá nhÊt), nh−ng kh«ng  
cho phÐp gi¶ sö x  y  z råi sö dông nã lꢀm gi¶ thiÕt bꢀi to¸n khi ®i chøng minh mꢀ kh«ng xÐt c¸c  
tr−êng hîp cßn l¹i.  
ThËt vËy sau khi chän x lꢀ sè lín nhÊt ( x y, x z) th× vai trß cña y vꢀ z l¹i kh«ng b×nh ®¼ng:  
x
z
y
gi÷ nguyªn x, thay y bëi z v ng−îc l¹i ta ®−îc + + , biÓu thøc nꢀy kh«ng b»ng biÓu thøc A.  
z
y
x
Kh¾c phôc sai lÇm  
Víi lêi gi¶i ®ꢁ ®−a ra, thay cho viÖc s¾p thø tù x  y  z , ta chØ cÇn gi¶ sö z lꢀ sè nhá nhÊt trong ba sè  
x; y; z kÕt hîp víi phÇn cßn l¹i cña lêi gi¶i ®ꢁ tr×nh bꢀy ®ã ta ®−îc lêi gi¶i ®óng.  
Ngoꢀi ra ta cßn cã thÓ gi¶i bꢀi to¸n nꢀy theo c¸c c¸ch sau:  
Li gii ñúng  
C¸ch 1: Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d−¬ng ta cã  
x
y
z
x y z  
A = + + ≥ 3  
3
. . = 3. (Ph¶i chøng minh B§T C«si cho ba sè kh«ng ©m)  
y
z
y
y z y  
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
x
y
y
z   
x
y
y
z
z
Do ®ã min  
+ +  
= 3 khi vꢀ chØ khi  
=
=
, tøc lꢀ x = y = z.  
z
x
x
C¸ch 2: Gi¶ sö z lꢀ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z.  
x
y
z
x
y
y
x
   
y
z
z
y
x
Ta cã + + =  
+
+
+ −  
.
   
y
z
x
x
x
y x y z  
 2 (do x, y > 0) nªn ®Ó chøng minh + + ≥ 3 chØ cÇn chøng minh  
x y z x  
Ta ®ꢁ cã  
+
y
y
z
z
y
x
+
1  
(1).  
x
2
ThËt vËy (1)  xy + z  yz  xz (do x, z  0)  
BiÕn ®æi ®Õn  0 (2)  
x z
)(
y z  
(
)
.
Do z lꢀ sè nhá nhÊt trong 3 sè x, y, z nªn (2) lu«n ®óng. Tõ ®ã t×m ®−îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
A = 3 khi x = y = z.  
Bꢀi 16: Cho x, y, z l c¸c sè thùc lín h¬n ꢂ1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc  
2
2
2
1+ z  
1
+ x  
1+ y  
P =  
+
+
.
2
2
2
1
+ y + z 1+ z + x 1+ x + y  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
NÕu x < 0 , ta thay x bëi (ꢂx) th× hai h¹ng tö ®Çu cña P kh«ng ®æi cßn h¹ng tö cßn l¹i gi¶m xuèng. Tõ ®ã  
kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x  y  z  0  
.
2
2 2  
)
( )
 (
 )  
x 1  0 , suy ra 3 x +1  2 x + x +1 .  
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 1.  
Tõ  
(
§
2
2
1
+ x  
1+ x  
2
Do ®ã  
.  
2
2
1
+ y + z  
1+ x + x  
3
2
2
1
+ y  
2
1+ z 2  
.  
2
3 1+ x + y 3  
T−¬ng tù ta còng cã  
;  
2
1
+ z + x  
Tõ ®ã suy ra P  2 . DÊu “= x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z =1  
Bình lun  
.
Theo c¸c b¹n lêi gi¶i trªn ®ꢁ chuÈn ch−a? Lêi gi¶i cña b¹n nh− thÕ nꢀo?  
Gii ñáp  
C¸c biÕn x, y, z trong biÓu thøc P cã d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh mꢀ kh«ng cã vai trß nh− nhau nªn chØ  
®
−îc xem biÕn bÊt k× nꢀo lꢀ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt mꢀ th«i. Do ®ã ®o¹n lËp luËn:  
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö x  y  z  0  
.
GIA SƯ  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
2
2 2  
)
( )
 (
 )  
x 1  0 , suy ra 3 x +1  2 x + x +1 .  
¼ng thøc x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = 1.  
Tõ  
(
§
2
2
1
+ x  
1+ x  
2
3
Do ®ã  
2
(1)  
2
1
+ y + z  
1+ x + x  
2
1
+ y  
2
T−¬ng tù ta còng cã  
 ; (2)  
2
1
+ z + x  
3
2
1
+ z  
2
(3)  
2
1
+ x + y  
3
lꢀ kh«ng ®óng. Kh«ng thÓ tõ (1) suy ra (2) vꢀ (3) b»ng phÐp t−¬ng tù v× vai trß cña c¸c biÕn x, y, z  
trong P kh«ng nh− nhau.  
Li gii ñúng  
2
2
2
2
2
2
1+ z  
2
(
1+ x  
2
)
2 1+ y  
(
)
2 1+ z  
(
)
1
+ x  
1+ y  
Ta cã P =  
+
+
+
+
= M  
2
2
2
2
2
2
2
2
1
+ y + z 1+ z + x 1+ x + y  
) (  
2 1+ z + 1+ y  
2 1+ x + 1+ z  
2 1+ y + 1+ x  
(
)
(
) (  
)
(
) (  
)
2
2
2
§
Æt 1+ x = a; 1+ y = b; 1+ z = c(a, b, c > 0)  
.
2
a
2b  
2c  
+ .  
Lóc ®ã M =  
+
2
c + b 2a + c 2b + a  
c
a
b
§
Æt N =  
H =  
+
+
.
2
2
c + b 2a + c 2b + a  
b
c
a
+
+
c + b 2a + c 2b + a  
Khi ®ã 2N + H = 3  
.
2
a + c 2b + a 2c + b  
+ +  
 3, suy ra 2M + 2N  6  
¸
p dông bÊt ®¼ng thøc C«ꢂsi ta cã M + N =  
(4)  
2
c + b 2a + c 2b + a  
M
2b + a 2c +b 2a + c  
M
3
2
L¹i cã 2H +  
=
+
+
 3, suy ra H +  
(5)  
2
2c + b 2a + c 2b + a  
4
9
M
15  
)
. Mꢀ 2N + H = 3 nªn  
Céng vÕ theo vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc (4) vꢀ (5) ta cã:  
+
(
2N + H  
M
2
.
4
2
Tõ ®ã suy ra  
A6 - MꢉT Sꢅ DꢄNG SAI LꢀM KHÁC  
Bꢀi 17: Cho a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng  
GIA SƯ ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
P 2  
. DÊu “=” x¶y ra khi vꢀ chØ khi x = y = z =1.  
4
4
4
2
2
2
2
2
2
a +b + c < 2  
(
a b +b c + c a .  
)
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
V× a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn  
b c < a  
2
2
2
b  2bc + c < a  
2
2
2
b + c  a < 2bc  
2
2
2
2
2
(
b + c  a  
)
<
(
2
2bc  
)
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
b + c + a + 2b c  2b a  2c a < 4b c  
4
4
4
2
2
2
2
2
2
a +b + c < 2 a b +b c + c a  
)
(
Bình lun  
Lêi gi¶i trªn ®ꢁ ®óng ch−a? NÕu ch−a, gi¶i thÕ nꢀo th× ®óng?  
Gii ñáp  
N©ng lªn luü thõa bËc ch½n ë hai vÕ cña B§T mꢀ kh«ng cã ®iÒu kiÖn hai vÕ cïng kh«ng ©m  
2
2
Lêi gi¶i ch−a ®óng v× tõ b + c  a < 2bc  b + c  a  
)
2
( )  
< 2bc  
lꢀ sai, ch¼ng h¹n  
2
2
2
2
2
(
2
2
2 <1  
(
2  
)
<1 (sai). L−u ý chØ ®−îc b×nh ph−¬ng hai vÕ cña B§T khi c¶ hai vÕ ®Òu kh«ng ©m.  
Li gii ñúng  
V× a, b, c lꢀ ®é dꢀi ba c¹nh cña mét tam gi¸c nªn  
b c < a < b + c  
2
2
2
(
b c  
2
)
< a <  
(
b + c  
2
)
2
2
2
b  2bc + c < a < b + 2bc + c  
2
2
2
2bc < a b  c < 2bc  
2
2
2
a b  c < 2bc  
2
2
2
2
2
(
a b  c  
)
<
(
2bc  
)
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
a +b + c  2a b  2c a + 2b c < 4b c  
4
4
4
2
2
2
2
2 2  
a +b + c < 2  
(
a b + c a +b c  
)
2
2
x + y  
Bꢀi 18: Cho hai sè x; y tho¶ mꢁn x > y v xy =1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =  
.
x y  
Li gii ‘‘có vn ñꢆ’’  
2
2
2
2
2
x + y  
x  2xy + y + 2xy  
(
x y  
=
x y  
)
x y  
+ 2xy  
Ta cã A =  
GIA SƯ  
=
x y  
ðꢀC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHM NGC THCH – TP. QUY NHƠN  
Do x > y vꢀ xy =1 nªn  
2
(
x y  
)
2xy  
2
A =  
+
= x y +  
x y  
x y  
x y  
1
BiÕt r»ng nÕu a > 0 th× a + ≥ 2 (B§T C«si)  
a
x