Chú ý:Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .pdf
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11  
CHƯƠNG IV  
0
943.303.007 – 0981.730.796  
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
MỤC LỤC  
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV ........................................................................................... 1  
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN....................................................................................................................... 3  
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ....................................................................................................... 3  
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ................................................................. 4  
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số ................................................................... 5  
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn........................................................................ 5  
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy....... 6  
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một  
số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số........................................................................................... 8  
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa ...................................................... 10  
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực ...... 11  
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ...................................................................... 12  
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ.............................................................................................................. 21  
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn.................................................................................... 24  
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức....................................................................... 27  
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên....................................................................... 28  
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên ....................................................... 28  
Dạng 5. Tính giới hạn vô cực....................................................................................................... 30  
0
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ............................................................ 30  
0
Dạng 7. Dạng vô định ............................................................................................................. 33  
Dạng 8. Dạng vô định   ;0. ................................................................................................ 34  
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} ...................................................................... 35  
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC.............................................................................................................. 39  
   
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f x  
tại điểm x .............................................................. 39  
0
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm....................................................................... 42  
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K............................................................. 44  
   
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f x  
.......................................................................... 46  
Dạng 5. Chứng minh phương trình f  0  nghiệm............................................................ 47  
   
x
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo}............................................................................. 52  
ÔN TẬP CHƯƠNG 4......................................................................................................................... 55  
0
943.303.007 – 0981.730.796  
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN  
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  
. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0  
Dãy có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của  
un  
1
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, u đều có thể nhỏ hơn một số dương đó.  
n
Ký hiệu: lim  
un  
 0 hay limu  0 hoặc u  0  
n
n
limu  0    0,n ,n  n  u    
n
0
0
n
   
(Ký hiệu “limu  0 ” còn được viết “limu  0 ”, đọc dãy số có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực)  
un  
n n  
n  
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng  
un  
   
un  
a) Dãy số có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số có giới hạn 0  
b) Dãy số không đổi 
 
n , với u  0 có giới hạn 0  
u
n
2
. Các định lí  
 
   
Định lí 1: Cho hai dãy số 
 
n và  
vn . Nếu u  v với mọi n  limv  0 thì limu  0  
n n  
n n  
n
*
u
*
Định lí 2: Nếu q 1 thì limq  0  
. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn  
Định nghĩa 1: Ta nói dãy  
   
vn  giới hạn là số L (hay v dần tới L) nếu nlim vn  L  0.  
3
*
n
Ký hiệu: limv  L hay v  L  
n
n
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):  
limv  L    0,n ,n  n  v  L    
n
0
0
n
4
. Một số định lí  
*
Định lí 1: Giả sử limu  L . Khi đó  
n
3
3
lim u  L  lim u  L  
n n  
Nếu u  0 với mọi n thì L  0  lim u  L  
n
n
*
Định lí 2: Giả sử limu  L  limv  M  0, c  một hằng số. Ta có:  
n
n
un limun  
a
lim  
un  vn  
 a b ; lim  
cun  
cL ;  
limu .v  limu .limv ;  
lim  
;  
n
n
n
n
vn limvn  
b
5
. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân  hạn và có công bội q thỏa mãn q 1  
u1  
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u  u ... u ...   
1
2
n
1
q  
  
6
. Dãy có giới hạn  
Định nghĩa: Ta nói dãy số 
 
n  giới hạn , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,  
u
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.  
Ký hiệu: limu   hay u    
n
n
0
943.303.007 – 0981.730.796  
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):  
limu    M  0,n ,n  n  u  M  
n
0
0
n
7
. Dãy có giới hạn  
Định nghĩa: Ta nói dãy số 
 
n  giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể  
u
từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.  
Ký hiệu: limu   hoặc u    
n
n
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):  
limu    M  0,n ,n  n  u  M  
n
0
0
n
Chú ý: Các dãy số có giới hạn    được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực  
. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực  
8
un  
a) Nếu limu  a  limv   thì lim  0  
n
n
vn  
un  
b) Nếu limu  a  0 và limv  0 và v  0 với mọi n thì lim    
n
n
n
vn  
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại  
c) Nếu limu    limv  a  0 thì limu v    
n
n
n n  
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại  
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP  
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số  
Phương pháp: limu  0 khi và chỉ khi u  thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.  
n
n
n 1  
n
Ví dụ 1. Biết dãy số 
 
n  
u
thỏa mãn u   
với mọi n. Chứng minh rằng limu  0  
n
2
n
Giải  
n 1  
n
Đặt v   
n
2
n 1  
n
Ta có limv  lim  
 0 . Do đó, v  thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)  
n
n
2
Mặt khác, theo giả thiết ta có u  v  v (2)  
n
n
n
Từ (1) và (2) suy ra u  thể nhỏ hơn một s dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limu  0  
n
n
Ví dụ 2. Biết rằng dãy số 
 
n  
u
có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số  
vn  
với v  u cũng có giới hạn là 0.  
n
n
Chiều ngược lại có đúng không?  
Hướng dẫn  
Vì  
   
un  giới hạn là 0 nên u  thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.  
n
Mặt khác, v  u  u . Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở  
n
n
n
n
 
 
   
đi. Vậy có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy cũng có giới hạn  
un vn  
là 0.  
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
n
Ví dụ 3.  sao dãy 
 
n  
u
với u   
1  
không có thể giới hạn là 0 khi n   ?  
n
sin n  
Ví dụ 4. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim  
0  
n
Hướng dẫn  
sin n  
1
1
Ta có u  0   
   n  ,n  . Khi đó:  
n
0
n
n
  0,n  :n  n  u  0   . Vậy: limu  0 .  
0 0 n  
n
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số  
Phương pháp: Ta dùng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp  
1 A  
lim  0 (hay lim  0 )  
n n  
1
1
lim  
 0;lim  0 với k nguyên dương  
k
n
n
n
limq  0 nếu q 1  
Ví dụ 1.  
a) Cho hai dãy số 
 
n  
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:  
u
và  
vn  
. Chứng minh rằng nếu limv  0 và u  v với mọi n thì limu  0  
n
n
n
n
n
1
1  
   
2 n 1  
c) u   
2
12n  
a) u   
b) u   
n
n
n
n!  
2n 1  
n
e) u  5  cos n  
n
d) u   
0,99  
cosn  
n
n
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau:  
n
n1  
n1  
n
n
n1  
n
3
2  
2  
5 1  
4.3  7  
2  
3  
3  
a) lim  
;
b) lim  
;
c) lim  
;
d) lim  
n
3
n
n
n
n
n1  
n1  
5 1  
2.5  7  
2  
n
Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức limq  0, q 1  
a) 3 b) 1 c) 7  
1
3
d)  
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn  
Phương pháp: lim v  a  lim vn  a  0  
n  
n
n  
3
n 2  
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim  
3  
n 1  
Hướng dẫn  
1
1 1 1  
   n  ; chọn n  ,n  . Khi đó:  
0 0  
n 1 n    
un 3   
  0,n  :n  n  u 3   . Vậy limu  3  
0
0
n
n
n
1  
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim1  
 1  
n
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
3
n 2  
Ví dụ 3. Cho dãy  
un  
xác định bởi: u   
n
n 1  
1
a) Tìm số n sao cho u 3   
n
1
000  
 
 
   
b) Chứng minh rằng với mọi n  999 thì các số hạng của dãy đều nằm trong khoảng .  
un 2,999;3,001  
Hướng dẫn  
1
1
a) u 3   
n 999  
n
n 1 1000  
1
1
1
b) Khi n  999  u 3   
3  
 u  3  
 2,999  u  3,001  
n
n
n
1
000  
1000  
1000  
2
n 1  
BTTT: Cho dãy  
un  
xác định bởi: u   
n
n 2  
1
a) Tìm số n sao cho u  2   
n
1
00  
b) Chứng minh rằng với mọi n  2007 thì các số hạng của dãy  
 
   
đều nằm trong khoảng  
un 1,998;2,001  
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy  
Phương pháp  
A A  
Ta thường sử dụng: lim  0  lim v  ;lim    lim v  0  
n n  
n n  
vn vn  
.
.
k
Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia tử và mẫu cho n với k là  
mũ cao nhất bậc ở mẫu  
.
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.  
A B  
A B  
lượng liên hiệp là: A B  
lượng liên hiệp là: A  B  
lượng liên hiệp là: A  B  
A  B  
A B  
3
3
3
2
3
A  B A  B  
2
2
lượng liên hiệp là:  
3
2
3
A  B A  B  
A B  
lượng liên hiệp là:  
3
2
3
3
n 5n 1  
n  6n  4n  5  
Ví dụ 1. Tính lim  
2
2
Giải  
5
1
3
3
2
3   
3
n 5n 1  
3
n n  
5
3
lim  
lim  
3
2
n  
6
4
2
2
n  6n  4n  5  
2
2
   
n n  
n
2
2
n 1 5n  
Ví dụ 2. Tính lim  
2
1
3n  
Giải  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
1
1
5
2
2
2
2
n 1  5n  
0
n
n
n
lim  
lim  
0  
2
1
1
3n  
3  
3
2
n
2
2
Ví dụ 3. Tính lim n  7  n  5  
2
2
n  7  n 5  
2
2
2
lim n  7  n 5  lim  
lim  
0  
n  7  n  5  
2
2
2
2
n  7  n  5  
2
2
Ví dụ 4. Tính lim n  3n  n  
Giải  
3
n
3
3
2
2
2
lim n  3n  n  lim  
lim  
2
2
n  3n  n  
3
1
  1  
n
BÀI TẬP ÁP DỤNG  
Bài 1. Tính các giới hạn sau:  
2
2
4
n  n 1  
n  n 1  
2   
n 1  
2
a) lim  
b) lim  
c) lim n   
2
3
3
2n  
2n  5  
m
m1  
a n  a n ... a n  am  
0
1
m1  
Tổng quát: Tính giới hạn: nlim  
p
p1  
b n  b n ... b n  bp  
0
1
p1  
XÐt p = m  
p
Hướng dẫn: XÐt n > p . Chia cả tử và mẫu cho n , p  bậc cao nhất ở mẫu  
XÐt n < p  
Tính giới hạn sau:  
3
2
4
2
2
n  n 1  
2 3n n 1  
d) lim  
e) lim  
2
5
2n 13n  
n  2  
14n  
2
7
Đáp số: a) 2  
b) 0  
c)   
d) 1  
e)  
4
Bài 2. Tính các giới hạn:  
4
2
2
2
2
3
3
2
n  n 7  
3n 1  n 1  
3n 14  n  
2n  n  
a) lim  
b) lim  
c) lim  
d) lim  
2
2
n  
2
n  n 3  
n
12n  
n 2  
2
3
d) 2  
Đáp số: a)  
b) 3 1  
c) 0  
2
Bài 4. Tính các giới hạn sau:  
2
3
3
2
a) lim n 1  n  
b) lim n  3n  n  2  
c) lim n  2n  n  
3
3
2
2
n  n  
4n 1  2n 1  
2
2
d) lim  
e) lim  
f) limn n 1  n  2  
2
n 2  
n  2n  n  
3
3
g) lim n  n  n  2  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp  
7
2
2
3
1
2
3
2
a) 0  
b)  
c)   
d)  
e) 1  
f)  
g) 3  
Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân  
vô hạn tuần hoàn thành phân số  
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1.  
Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn  
   
un  
u1  
S  u  u ... u ...   
1
2
n
1
q  
Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10  
n
a1 a2  
a3  
a
X  N,a a a ...a  N   
...  
...  
n
1
2
3
n
2
3
1
0 10 10  
10  
I. Các ví dụ mẫu  
Ví d 1. Viết số thập phân m  0,030303  (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.  
Giải  
3
3
3
3
3
1
100  
1
00  
3  
1
m 3  
...  
3  
3  
n
1
00 10000  
100  
99  
33 33  
1
1
00  
1
1
 ...  
2
Ví dụ 2. Tính tổng S  2  2 1  
2
Giải  
1
2  
1
1
; q  1  
Xét dãy: 2, 2,1,  
,… là cấp số nhân q   
   
2
2
2
2
2
2
1
2
2 2  
2
Vậy S   
 4  2 2  
1  
1
II. Bài tập rèn luyện  
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số.   34,1212 (chu kỳ 12)  
Hướng dẫn và đáp số  
1
1
2
12  
12  
1134  
33  
1
00  
34,1212... 34  
...  
34 12  
n
2
1
1
00 100  
100  
1  
100   
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:  
1
1
1
2 1  
1
1
a) S 1  ...  
16  
...  
b) S   
b) q   
...  
n1  
4
4
2 1 2  2  
2
1
4
3
2  2  
;S  4  3 2  
Hướng dẫn: a) q  ;S   
4
2
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
2
Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S  3  công bội q  .  
3
n1  
2   
Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...  
   
2
4
3
9
3   
1
2
Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S  6 . Tìm hai số hạng đầu u  u  4  
1
2
u1  
S   
6  
u  6 1 q  
1
1q  
1
2
Hướng dẫn:  
q    
1
2
1
2
u 1 q  4  
1
u  u q  4  
1
1
n
13  
6
2
3
4
5
n
Bài 5. Giải phương trình sau: 2x 1 x  x  x  x ...  
1  
x ...   
với x 1  
n
2
3
4
5
n
Hướng dẫn: Dãy số x ,x , x ,x ,...,  
1  
x ...  một cấp số nhân với công bội q  x .  
1
7
9
ĐS: x  ; x    
2
Bài 6.  
2
3
n1  
0,9 ...  
a) Tính tổng S 1 0,9   
0,9  
0,9  
...  
4
2
3
b) Cho 0    . Tính tổng S 1 tan  tan   tan  ...  
c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ  
a 0,272727......  
d) Cho dãy 
 
n  
 sin sin  sin  ...sin  với    k . Tìm giới hạn dãy bn .  
Hướng dẫn:  
b) b  0,999999999........  
2
2
3
n
b
1
a) S   
b) S   
10  
1
1
0,9  
1
tan  
2
7
2
7
 ...  
4
a 0   
   
2 3  
0 10 10 10  
1
1
1
2
2
2
7
7
... 2  
4
10 10  
3
1
0
10  
...  
1  
...  
7  
3
2n1  
2
1
1
1
0 10  
10  
11  
1
1  
2
2
1
0
10  
9
1
1
10  
b   
.
0
1
1
sin  
sin  
c) Cấp số nhân lùi vô hạn  
d) limb   
n
1
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
n  h¹ng  
  
a aa ...aaa...a  
Bài 9. Tính lnim  
n
10  
Hướng dẫn: Ta có  
n  h¹ng  
n  h¹ng  
  
   
n
101 100 1  
10 1  
a  aa ... aaa...a  a 111...111...1  a  
...  
9
9
9
n
   
0 10 1 9n  
81  
1
a
n
a  aa ... aaa...a 10a 10 19n  10a  
Vậy lim  
81  
n
n
n  
1
0
81  
10  
Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa  
Phương pháp  
.
limu   khi và chỉ khi u  thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể t một s hạng nào đó trở đi  
n
n
.
limu    lim  
un  
   
n
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh:  
2
n  2  
3
3
a) lim  
   
b) lim 1 n    
n 1  
Hướng dẫn:  
a) Lấy số dương M lớn tùy ý.  
2
2
n  2 n 1  
n 1 M n M 1;  
un   
n 1  
n 1  
2
n  2  
n 1  
Chọn n  M 1,n  . Khi đó: n  n  n  M 1 u   
 M . Vậy limu    
0
0
0
n
n
3
2
b) Ta có: 1 n   
1n  
n  n 1 1 n;n  
Lấy số dương M lớn tùy ý.  
3
3
3
3
3
3
u  1 n  1 n  M  n  M 1; chọn n  M 1,n   
n
0
0
3
3
3
Khi đó: n  n  n  M 1 u  1 n  M . Vậy: limu    
0
n
n
Ví dụ 2. Cho dãy  
   
un thỏa mãn u  n với mọi n. Chứng minh rằng limu    
n
n
Giải  
lim n    vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác u  n nên un  
n
lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó.  
Vậy lim u    
n
n  
2
Ví dụ 3. Biết dãy số 
 
n  
u
thỏa mãn u  n với mọi n. Chứng minh rằng limu    
n
n
Giải  
2
2
 lim n   nên n  thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi  
0
943.303.007 – 0981.730.796  
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
2
Mặt khác, theo giả thiết u  n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó  
n
n
trở đi. Vậy limu   .  
n
Ví d 4. Cho biết limu    v  u với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn v .  
n
n
n
n
Hướng dẫn  
   v  u  lim vn    
limu    lim  
un  
n
n
n
Vậy limv    
n
 
 
 
   
Ví dụ 5. Cho dãy số 
 
n hội tụ, dãy không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy .  
u vn un  vn  
không hội tụ  
Hướng dẫn: Kết luận dãy 
un  vn  
Thật vậy:  
Xét dãy  
 
 
   
un  vn , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim un  vn  a  limu  b  
n
Khi đó limu  limv  a  
n
n
Vậy limv  a  limu  
n
n
Vì limu  b  limv  a b  
n
n
Vậy  
vn  
là hội tụ, điều này không đúng.  
Vậy dãy  
un  vn  
không hội tụ.  
Ví dụ 6.  
a) Cho hai dãy  
un  
 
   
và . Biết limu    v  u với mọi n  
vn  
n n n  
   
Có kết luận gì về giới hạn của dãy khi n   ?  
vn  
b) Tìm limv với v  n!  
n
n
Hướng dẫn  
a) Vì limu   nên lim  
un  
 . Do đó,  
un  
có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng  
(1)  
n
nào đó trở đi.  
Mặt khác, vì v  u với mọi n nên  
vn  
có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó,  
  hay limv   .  
un  
với mọi n.  
(2)  
n
n
Từ (1) và (2) suy ra  
lim vn  
b) Xét dãy số  
Ta có: n! n hay v  u với mọi n. Mặt khác limu  lim  
   
vn  
n
un  n .  
n   . Từ kết quả câu a) suy ra  
n
n
n
   
limv  lim n!    
n
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực  
Phương pháp  
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số 
 
n  
u
với  
8
3
2
3
2
3 2  
d) u  8n  n  2  
n
a) u  n 50n 11;  
b) u  109n  n ; c) u  105n 3n  27 ;  
n
n
n
Đáp số: a)  ;  
b)  ;  
c) ;  
d)   
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số 
 
n với  
u
3
4
2
2
3
n n  
n 19  
2n  n  7  
3n 5  
2n 15n 11  
   
2n 1

13n  
d) u   
3 3 2  
a) u   
;
b) u   
;
c) u   
;
n
n
n
n
2
2
3
n  n  3  
n  7n 5  
Đáp số: a)  ;  
b) ;  
c) ;  
d)   
Ví dụ 3. Tính các giới hạn  
1
2
2
a) lim  
;
b) lim 2n  3  n 1  
2
2
n  2  n  4  
Ví dụ 4. Tính các giới hạn  
n
n1 n  
3.5  3  
n n  
3
11  
2
c) lim  
3.2  7.4  
n
n1  
a) lim 3.2  5 10 ;  
b) lim  
;
n
1
7.2  
Đáp số: a)  ;  
b) ;  
c)  ;  
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}  
Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật  
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:  
n 1 2  3... n  
12 3...n  
a) lim  
b) lim  
2
n  
2
n  
n  n 1  
n
Hướng dẫn  
1n   
2   
n  n 1  
n n  
2
n 1 2 3... n  
n n  n  
1
a) lim  
lim  
lim  
2
2
2
n  
n  
n  
n  n 1  
n  n 1 2  
2
1
b)  
2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau  
2
n
1
 a  a ... a  
n 1 3... 2n 1  
a) lim  
với a 1, b 1;  
b) lim  
2
n
2
1
 b  b ... b  
2n  n 1  
Hướng dẫn  
1
1
 2n 1 n  
n
1
1
b  
a  
n 13... 2n 1  
1
1
1
a  
1
2
a) S  lim  
b) S  lim  
lim  
n  
2
2
n  
n  
2n  n 1  
2n  n 1  
2
b  
1
1
1
1
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim  
...  
n  
1
.2.3 2.3.4 3.4.5  
n
n 1n 2  
Hướng dẫn  
1
1
1
1
Sử dụng:  
k
k 1k 2  
2 k  
k 1 k 1k  2  
1
1
1
1 1  
1
Vậy:  
...  
   
n 1n 2  
1
.2.3 2.3.4  
n.  
n 1n 2  
2 2  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
1
1
1
1
1 1  
1
1
Vậy lim  
...  
lim  
n  
n  
1
.2.3 2.3.4 3.4.5  
n
n 1n 2  
2 2  
n 1n 2  
4
2   
2.3 3.4   
2   
2
Ví d 4. Tính giới hạn lim 1  
1  
... 1  
  
n 1n 2  
Hướng dẫn  
2
k 1

k 2  
Ta thấy: 1  
k
k 1  
k
   
k 1  
   
... 1  
   
   
k 1  
   
2   
2.3 3.4   
2   
2
2
Vậy: 1  
1  
... 1  
  
k.  
n.  
   
n 1  
1
.4 2.5  
k 1

k  2
 
n 1

n  2  
1 n 3   
   
=
.
...  
...  
2
.3 3.4  
k
k 1  
n
n 1  
3n 1   
2   
2.3 3.4   
2   
2
1
3
Vậy lim 1  
1  
... 1  
  
n  
n 1n 2  
Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau  
1
1
1
1
a) lim  
...  
n  
1
.3 3.5 5.7  
2n 12n 1  
2
2
2
2
.1  3.2 ...  
n 1  
n
b) lim  
4
n  
n
1
1
1
c) lim   
...  
   
n 1 n  n n 1  
n  
2
1  2 3 2  2 3  
1
3
5
2n 1  
...  
n
d*) lim  
2
3
n  
2 2  
2
2
Hướng dẫn và đáp số  
1
1
1
1
1  1 1 1  
1   ...  
1
1   
a) S   
...  
n
1.3 3.5 5.7  
2n 12n 1  
2  3 3 5  
2n 1 2n 1  
1
1   
1
1  
nên lim S   
n
2
2n 1  
2
2
2
2
2
2
2
b) Ta có: S  2.1  3.2 ...  
n 1  
n   
11  
1   
2 1  
2 ...  
n 1  
n
n
2
n
n 1  
   
n n 12n 1  
6
3
3
3
2
2
2
S 1  2 ... n 1  2 ... n   
n
2
2
2
   
Sn  
n
n 1  
n
n 12n 1  
1
4
lim  lim   
4
4
4
n
4n  
6n  
1
n 1  
n  n n 1  
1
1
c) Ta có:  
2
2
n 1  
n  n n 1  
n 1  
n n  
n 1  
n
n 1  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
1
1
1
Sn   
...  
2
1  2 3 2  2 3  
n 1  
n  n n 1  
1
1
1
1
1
1
=1  
...  
1  
 lim S 1  
n
2
2
3
n
n 1  
n 1  
1
3
5
2n 1  
2
d) Ta có: S    
...  
n
2
3
n
2
2
2
1
1  3 1   5 3   
2  2 2   2 2   
 2n 1 2n 3 2n 1  
...    
n n n1  
   
S  S   
n
n
2
2
   
3
3
2
2  
2
2
1
2
1
n1  
1
2
1
1
1
2n 1 1  
   
2n 1 1  
1
n2  
2n 1  
2
2
  ...  
 1  
2
n1  
n1  
n1  
n1  
1
2
2 2  
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n2  
2n 1  
2
1
n3  
2n  
   
n
1
n
2
Suy ra: S  1  
 S  3  
n
n1  
n
2
2
2
2
2
n
n
2
2
n
 0  lim  0  
n
Mặt khác:  
n
11  
. Mà lim  
n
n  
n  
2
2
n 1  
n 1  
Vậy lim S  3  
n
n  
Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp  
Phương pháp  
 
 
 
 
   
Cho ba dãy số và . Nếu  
un , vn wn  
u  v  w với mọi n  
n
n
n
 limu  limw  L  
L  
thì limv  L  
n
n
n
1
2
n
2
Ví dụ mẫu. Tính lim  
...  
2
2
n  
n 1 n  2  
n  n   
Giải  
Ta thấy:  
1
2
n
12 ...n  
1
...  
2
2
2
2
n 1 n  2  
n  n  
n  n  
2
1
2
n
1
2
n
n
n 1  
Và  
...  
...  
2
2
2
2
2
2
2
n 1 n  2  
n  n n 1 n 1  
n 1 2 n 1  
1
2
1
2
n
n
n 1  
Vậy  
...  
2
2
2
2
n 1 n  2  
n  n 2 n 1  
n
n 1  
2
n 1  
1
2
Mà lim  
n  
2
1
2
n
1  
Vậy lim  
...  
2
2
2
n  n  2  
n  
n 1 n  2  
BÀI TẬP RÈN LUYỆN  
Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau:  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
1
1   
3sin n 4cosn  
n sin n  
a) lim  
b) lim  
c) lim  
n  
n  
n  
2 3n   
n 1  
3n 4  
n
2
   
1  3n  
e) lim  
2
cosn 5n  
1
2
1
2
1
2
sin 2n cos2n  
d) lim  
f) lim  
...  
n  
n  
n  
3n 1  
n 1  
n  2  
n  n   
Hướng dẫn và đáp số  
n
n
1
1
1
 1 1   1   
 2 3n   2   
*
a) 0    
  0   
,n . Đs: 0  
   
2
3n  
2
5
5  
b)  
 u   
. Đs: 0  
n
n 1  
n 1  
n 1 n  sin n n 1  
1
3
c) 1 sin n 1  
. ĐS:  
3n 4  
3n 4  
3n 4  
d) Tương tự câu b  
1
cosn  
1
1   
 n   
1   
 n   
cosn  
e)   
. Ta có: lim   
lim  
0 lim  
0  
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
1  
2
n
n
2
3  
1  3n  
3
Nên: lim  
1
lim  
2
cosn  
cosn 5n  
5
5
2
n
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
f)  
...  
 u   
...  
n
2
n  n  
n  n  
n  n  
n 1  
n 1  
n 1  
n
2
n
2
n
2
n
2
 u   
. Ta có: lim  
lim  
1  
n
n  n  
n 1  
n  n  
n 1  
Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn  
Phương pháp  
1
. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:  
Nếu dãy số 
 
n  
u
tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn  
giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn  
Nếu dãy số 
 
n  
u
2
. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện:  
Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M  
3
*
. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:  
Phương pháp 1:  
Đặt limu  a  
n
Từ limun1  lim f 
 
n  
Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy  
u
ta được một phương trình theo ẩn a  
un  
là một trong các nghiệm của phương trình. Nếu  
phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn của dãy cần tìm. Còn nếu phương trình có nhiều  
hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  
Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.  
*
Phương pháp 2:  
Tìm công thức tổng quát u của dãy số bằng cách dự đoán.  
n
0
943.303.007 – 0981.730.796  
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
Chứng minh công thức tổng quát u bằng phương pháp quy nạp toán học  
n
Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó  
I. Các ví dụ mẫu  
u1  2  
Ví dụ 1. Chứng minh dãy 
 
n  
u
bởi công thức truy hồi  
un1  2 u víi n 1  
n
Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó.  
Ta có: u  2  u  2  u ,u  0 với n
  
1
n1  
n
n
Ta chứng minh: u  2 với n
 
(1)  
n
Với n 1, ta có u  2  2 thì (1) đúng  
1
Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k thì u  2  
k
Vậy u  2,n  
n
Chứng minh dãy 
 
n  
u
tăng:  
2
n
Xét un1  u  2  u  u  u u  2  0  1 u  2  
n
n
n
n
n
Mà 0  u  2 nên u  u . Vậy 
 
n  dãy tăng (2)  
u
n
n1  
n
Từ (1) và (2) suy ra 
 
n  giới hạn  
u
Đặt lim u  a thì 0  a  2  
n
n  
Ta có:  
un1  2  u  lim u  lim 2  u  
n
n
n1  
n  
n  
2
a  2  a  a  a  2  0  a  1 hoặc a  2  
 u  0 nên lim u  a  0 . Vậy lim u  2  
n
n
n
n  
n  
Lưu ý: Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:  
Nếu lim u  a thì lim u  a ”  
n
n1  
n  
n  
u1  2  
Ví dụ 2. Cho dãy  
un  
bởi công thức truy hồi  
1 .  
un1  2   
un  
Chứng minh rằng dãy số 
 
n  
u
có giới hạn và tìm giới hạn đó.  
Giải  
Ta có:  
u  2;u  2    
1
3
2
2 1  
2
4
3
31  
3
5
n 1  
n
;u   
;u  . Từ đó ta dự đoán: u   
(1)  
1
2
3
4
n
2
4
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:  
-
Với n 1, ta có: u  2 (đúng)  
1
k 1  
k
-
Giả sử đẳng thức (1) đúng với n  k  
k 1  
, nghĩa là u   
.
k
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
n
*
-
Vậy u   
,n  
n 1  
n
n 1  
n
Từ đó ta có limu  lim  
1  
n
1
2
u1   
   
BTTT. Cho dãy bởi công thức truy hồi  
un  
1
un1  
nÕu n 1  
2 un  
Chứng minh rằng dãy số 
 
n  
u
có giới hạn và tìm giới hạn đó.  
n
Hướng dẫn: limu  lim  
1  
n
n 1  
Ví dụ 3. Chứng minh dãy 
 
n  
*
u
được cho bởi công thức u  sin n;n  . Chứng minh dãy không có giới hạn.  
n
Hướng dẫn  
Giả sử lim u  lim sin n  a . Khi đó lim sin  
 
   
n  2  a  lim sin n  2 sin n  0  
   
n  
 0  lim cosn  0  
n
n  
n  
n  
 
 
   
2 lim cos n 1 sin1 0  lim cos n 1  
n  
n  
n  
Mặt khác: cos  
Suy ra: lim  
n 1  
 cosncos1sin nsin1. Suy ra lim sin n  0  
n  
2
2
cos n sin n  
0 , vô lý  
n  
   
Vậy dãy số với u  sin n không có giới hạn.  
un  
n
II. Bài tập rèn luyện  
Bài 1. Chứng minh dãy 
 
n  
u với u  2 2... 2 2  dãy hội tụ.  
n
     
n dÊu c¨n  
Hướng dẫn  
Bước 1: Chứng minh dãy 
 
n  
u
tăng  
Bước 2: Chứng minh 
 
n bị chặn trên  
u
u1  0  
Bài 2. Cho dãy truy hồi  
. Tìm giới hạn của dãy.  
u  3  
n1  
un   
n 2  
4
Hướng dẫn và đáp số  
943.303.007 – 0981.730.796  
0
Giaùo vieân caàn FULL file WORD ñeå bieân taäp thì lieân heä fanpage ñeå ñöôïc hoã trôï:  
u1  0  
2
3
1   
4   
u  1  
2
   
4
2
1
5
6
1   
1  
   
4   
u2   
1
.
.
.
n1  
1   
un 1  
   
4   
n1  
1   
bằng phương pháp quy nạp chứng minh u 1  
n
   
4   
n1  
1   
Vậy lim 1  
1  
n  
 4  