phuong phap day hoc toan

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TRƯỜNG ĐẠI HC SƯ PHM TP. HCM  
KHOA TOÁN  
PHƯƠNG PHÁP DY HC  
MÔN TOÁN  
TRƯỜNG PHTHÔNG  
(
Các tình hung dy hc đin hình)  
TP.HCM – 2005  
1
LÔØI NOÙI ÑAÀU  
Cuoán saùch naøy khoâng phaûi laø moät taøi lieäu ñaày ñuû veà lí luaän daïy hoïc moân toaùn (hay  
Phöông phaùp daïy hoïc moân toaùn, nhö ta vaãn thöôøng goïi). Noù khoâng ñeà caäp heát caùc noäi dung  
veà Phöông phaùp daïy hoïc moân toaùn vôùi tö caùch laø moät ngaønh khoa hoïc hay vôùi tö caùch laø  
moät boä moân trong caùc tröôøng sö phaïm. Moät giaùo trình ñaày ñuû nhö vaäy ñang ñöôïc taùc giaû coá  
gaéng hoaøn thieän trong moät vaøi naêm tôùi.  
Taøi lieäu naøy chæ trình baøy hai noäi dung chuû yeáu nhaát cuûa chöông trình phöông phaùp  
daïy hoïc moân toaùn – phaàn ñaïi cöông, maø taùc giaû ñaõ giaûng daïy cho sinh vieân naêm thöù ba  
Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh töø nhieàu naêm nay. Ñoù laø moät soá vaán ñeà  
cô baûn lieân quan ñeán phöông phaùp daïy hoïc hoïc theo ñònh höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng cuûa  
hoïc sinh, vaø ñaëc bieät laø caùc tình huoáng ñieån hình maø ta thöôøng gaëp trong thöïc teá daïy hoïc  
toaùn ôû tröôøng phoå thoâng.  
Vieäc xuaát baûn taøi lieäu naøy nhaém tôùi caùc muïc ñích chuû yeáu sau ñaây:  
Caäp nhaät moät soá noäi dung kieán thöùc môùi, phuø hôïp vôùi xu theá phaùt trieån cuûa khoa hoïc  
giaùo duïc noùi chung vaø ñònh höôùng ñoåi môùi phöông phaùp ôû tröôøng phoå thoâng noùi rieâng;  
Trình baøy chi tieát hôn, saâu hôn moät soá noäi dung lieân quan tôùi caùc tình huoáng ñieån  
hình trong daïy hoïc moân toaùn ôû tröôøng THPT vôùi nhieàu ví duï minh hoaï ruùt ra töø thöïc teá daïy  
hoïc;  
Taïo thuaän lôïi cho vieäc ñoåi môùi caùch daïy vaø caùch hoïc ôû tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm, haïn  
cheá toái ña vieäc ghi cheùp cuûa sinh vieân. Töø ñoù noù cho pheùp daønh nhieàu thôøi gian hôn cho  
hoaït ñoäng thöïc haønh nhö soaïn baøi vaø taäp giaûng, xem vaø trao ñoåi veà giôø giaûng cuûa giaùo vieân  
phoå thoâng qua baêng ñóa, döï giôø cuûa giaùo vieân ôû tröôøng Trung hoïc phoå thoâng ngay töø ñaàu  
naêm thöù ba vaø chính trong quaù trình hoïc taäp boä moân Phöông phaùp daïy hoïc. Noù cuõng taïo  
thuaän lôïi cho vieäc toå chöùc hoïc taäp döôùi hình thöùc thaûo luaän, xeâmina, laøm baøi taäp theo  
nhoùm, …  
Taùc giaû hy voïng vieäc ñaøo taïo ñan xen giöõa lí thuyeát vaø thöïc haønh nhö vaäy seõ cho pheùp  
sinh vieân naém vöõng hôn kieán thöùc vaø reøn luyeän toát hôn kó naêng sö phaïm.  
Hy voïng raèng ñaây cuõng laø moät taøi lieäu tham khaûo coù ích cho giaùo vieân phoå thoâng trong  
xu theá ñoåi môùi phöông phaùp daïy hoïc hieän nay.  
Taùc giaû raát bieát ôn vaø mong muoán nhaän ñöôïc nhöõng yù kieán ñoùng goùp cuûa baïn ñoïc ñeå  
hoaøn thieän daàn caùc noäi dung ñöôïc ñeà caäp trong taøi lieäu.  
Taùc giaû  
Leâ Vaên Tieán  
2
Phaàn 1  
PHÖÔNG PHAÙP DAÏY HOÏC MOÂN TOAÙN  
1
Nhöõng vaán ñeà cô baûn trong lí luaän daïy hoïc toång quaùt ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong hoïc phaàn  
Giaùo duïc hoïc ñaïi cöông daønh cho sinh vieân naêm thöù hai Ñaïi hoïc Sö phaïm. Vaán ñeà laø vaän  
duïng chuùng vaøo daïy hoïc moân toaùn nhö theá naøo. Ñeå traû lôøi caâu hoûi naøy, tröôùc heát phaûi laøm roõ  
ñaëc thuø cuûa daïy hoïc moân toaùn vaø söï töông thích vôùi lí luaän daïy hoïc noùi chung. Ñieàu naøy seõ  
ñöôïc ñ caäp trong moät giaùo trình ñaày ñuû veà phöông phaùp daïy hoïc moân toaùn maø taùc giaû ñang  
coá gaéng hoaøn thieän trong vaøi naêm tôùi. Trong phaïm vi taøi lieäu naøy, sau khi sô löôïc vaøi khaùi  
nieäm cô baûn, ta seõ taäp trung vaøo moät soá vaán ñeà veà phöông phaùp daïy hoïc toaùn theo ñònh  
höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh. Sau ñoù, ta seõ quan taâm ñaëc bieät hôn veà daïy hoïc  
ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
1.  
Khaùi nieäm phöông phaùp daïy hoïc  
Thuaät ngöõ phöông phaùp, theo tieáng Hy Laïp “Meùthodos”, coù nghóa laø con ñöôøng, caùch  
thöùc thöïc hieän moät kieåu nhieäm vuï naøo ñoù, nhaèm ñaït tôùi keát quaû öùng vôùi muïc ñích ñaõ vaïch ra.  
Daïy hoïc laø khaùi nieäm chæ hoaït ñoäng chung cuûa ngöôøi daïy vaø ngöôøi hoïc nhaèm muïc ñích  
laøm cho ngöôøi hoïc lónh hoäi ñöôïc caùc kieán thöùc vaø kó naêng, phaùt trieån naêng löïc trí tueä vaø phaåm  
chaát ñaïo ñöùc, thaåm mó, … Hoaït ñoäng daïy hoïc bao haøm trong noù hoaït ñoäng daïy vaø hoaït ñoäng  
hoïc. Tuy nhieân, hai hoaït ñoäng naøy khoâng dieãn ra moät caùch song song taùch rôøi maø xen laãn vaøo  
nhau, töông taùc laãn nhau. Nhö vaäy, coù theå xem daïy hoïc nhö laø moät kieåu nhieäm vuï maø giaùo  
vieân vaø hoïc sinh cuøng coù traùch nhieäm hôïp taùc thöïc hieän.  
Phöông phaùp daïy hoïc laø caùch thöùc thöïc hieän kieåu nhieäm vuï “Daïy hoïc” cuûa caëp ngöôøi  
daïy - ngöôøi hoïc nhaèm ñaït ñöôïc caùc muïc ñích daïy hoïc xaùc ñònh.  
2.  
Phaân loaïi toång theå caùc phöông phaùp daïy hoïc  
Hieän nay coù nhieàu heä thoáng phaân loaïi khaùc nhau veà caùc phöông phaùp daïy hoïc, nhöng  
chöa coù moät heä thoáng phaân loaïi naøo thöïc söï hoaøn chænh vaø toái öu (vaû laïi xaây döïng moät heä  
thoáng phaân loaïi nhö vaäy döôøng nhö laø khoâng theå vaø khoâng coù nhieàu yù nghóa veà maët thöïc  
tieãn). Tuy nhieân, d coù nhöõng khieám khuyeát cuûa noù, nhöng moãi heä thoáng phaân loaïi laïi cho ta  
thaáy roõ hôn moät khía caïnh naøo ñoù veà caùc phöông phaùp daïy hoïc.  
Neáu döïa vaøo tieâu chí phaân loaïi laø vai troø cuûa giaùo vieân, vai troø cuûa hoïc sinh vaø ñaëc tröng  
cuûa tri thöùc caàn truyeàn thuï, ta coù moät caùch phaân chia toång theå caùc phöông phaùp daïy hoïc theo  
ba nhoùm: Phöông phaùp giaùo ñieàu, phöông phaùp truyeàn thoáng vaø phöông phaùp tích cöïc.  
2
.1. Phöông phaùp giaùo ñieàu  
2
Giaùo vieân: laø ngöôøi c quyeàn löïc tuyeät ñoái, thoâng baùo, aùp ñaët kieán thöùc moät caùch tröïc  
1
Quy trình daïy hoïc, phöông phaùp daïy hoïc, nguyeân taéc daïy hoïc, hình thöùc toå chöùc daïy hoïc, …  
Thöïc ra, coù moät söï khaùc bieät cô baûn giöõa Tri thöùc vaø Kieán thöùc (tham khaûo lí thuyeát chuyeån hoùa sö phaïm  
transposition didactique) cuûa Y. Chevallard, 1991). Tuy nhieân, giaùo trình naøy khoâng coù söï phaân bieät raïch roøi hai  
2
(
khaùi nieäm.  
3
tieáp cho hoïc sinh (theo kieåu giaûng ñaïo). Giaùo vieân chi phoái toaøn boä caùc moái quan heä  
giaùo duïc.  
Hoïc sinh: coù vai troø lu môø, thuï ñoäng nghe, hoïc thuoäc vaø ghi nhôù nhöõng ñieàu maø giaùo  
vieân thoâng baùo maø khoâng caàn hieåu “nghóa” cuûa kieán thöùc tieáp thu ñöôïc.  
Kieán thöùc : ñöôïc cho tröïc tieáp bôûi giaùo vieân döôùi daïng coù saün ñaõ “phi hoaøn caûnh hoaù”,  
phi thôøi gian hoaù” vaø “phi caù nhaân hoaù”. Noù chæ mang “nghóa hình thöùc”.  
Giaùo vieân coù quyeàn löïc tuyeät ñoái trong vieäc ñaùnh giaù hoïc sinh.  
2
.2. Phöông phaùp truyeàn thoáng  
a) Ñaëc tröng toång quaùt  
Giaùo vieân : vaãn giöõ vò trí trung taâm cuûa heä thoáng daïy hoïc, coù traùch nhieäm truyeàn ñaït  
kieán thöùc cho hoïc sinh, cho moät vaøi ví duï minh hoïa hay moät vaøi baøi toaùn maãu, sau ñoù yeâu  
caàu hoïc sinh aùp duïng kieán thöùc vaøo vieäc giaûi quyeát caùc tình huoáng töông töï vôùi tình huoáng  
maø giaùo vieân ñaõ trình baøy vaø giaûi quyeát.  
Trong kieåu daïy hoïc naøy, giaùo vieân quan taâm chuû yeáu tôùi trình baøy cuûa mình sao cho  
chính xaùc, saùng suûa, roõ raøng, logic vaø deã hieåu, maø ít quan taâm ñeán caùi maø hoïc sinh caàn, caùi  
maø hoïc sinh nghó vaø hoaït ñoäng cuûa chính ngöôøi hoïc. Ñeå cho hoïc sinh coù theå hieåu, ghi nhôù vaø  
aùp duïng toát kieán thöùc ñaõ trình baøy, giaùo vieân thöôøng chuù yù ñaûm baûo moät soá nguyeân taéc vaø  
phöông phaùp sö phaïm toång quaùt, chaúng haïn : ñaûm baûo tính heä thoáng, tính tröïc quan, tính vöøa  
3
söùc, … Töø ñoù, taêng cöôøng söû duïng caùc thieát bò daïy hoïc ; coi troïng vieäc luyeän taäp vaø oân taäp ;  
chuù yù ñaëc bieät ñeán kó thuaät ñaët caâu hoûi, …  
Hoïc sinh: hoïc theo kieåu baét chöôùc vaø thöôøng thuï ñoäng tieáp thu. Hoï coá gaéng ghi nhôù  
vaø aùp duïng ñuùng “maãu” maø giaùo vieân ñaõ trình baøy. Hoaït ñoäng ñích thöïc cuûa hoïc sinh (neáu  
coù) chæ dieãn ra khi traû lôøi moät soá caâu hoûi, laøm baøi taäp aùp duïng hay thöïc hieän moät chöùng minh  
ñònh lí, … theo yeâu caàu cuûa giaùo vieân.  
Kieán thöùc: vaãn ñöôïc cho tröïc tieáp bôûi giaùo vieân vaø thöôøng laø döôùi daïng coù saün ñaõ “phi  
hoaøn caûnh hoaù”, “phi thôøi gian hoaù”, “phi caù nhaân hoaù” vaø mang “nghóa hình thöùc”.  
Giaùo vieân coù vai troø gaàn nhö tuyeät ñoái trong vieäc ñaùnh giaù hoïc sinh.  
b) Caùc phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng  
Hieän nay, ngay trong baûn thaân caùc phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng, cuõng coù nhieàu  
heä thoáng phaân loaïi khaùc nhau, nhöng chuùng vaãn chöa hoaøn chænh vaø chöa coù ñöôïc söï thoáng  
nhaát trong coäng ñoàng caùc nhaø sö phaïm. Döôùi ñaây, chæ giôùi thieäu toùm taét moät trong caùc heä  
thoáng phaân loaïi ñoù.  
Nhoùm caùc phöông phaùp duøng lôøi : Thuyeát trình; Ñaøm thoaïi; Laøm vieäc vôùi saùch ; …  
Nhoùm caùc phöông phaùp tröïc quan: Bieåu dieãn vaät thaät, vaät töôïng hình hay töôïng  
tröng; Xem baêng ghi hình, phim ñeøn chieáu, …  
Nhoùm caùc phöông phaùp thöïc haønh: Luyeän taäp ; Thöïc nghieäm, quan saùt vaø döï ñoaùn.  
Trong thöïc teá daïy hoïc, caùc phöông phaùp thuoäc ba nhoùm treân thöôøng ñöôïc söû duïng xen  
keõ nhau, loàng vaøo nhau.  
3
Sô ñoà, bieåu ñoà, vaät thaät, phim aûnh, phaàn meàm MS Powerpoint, …  
4
ÔÛ ñaây, ta khoâng ñi saâu nghieân cöùu caùc phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng, vì chuùng ñaõ  
ñöôïc ñeà caäp khaù chi tieát trong boä moân Giaùo duïc hoïc.  
2
.3. Sö phaïm tích cöïc vaø phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc  
Ngay töø ñaàu theá kæ 20 caùc nhaø taâm lí hay sö phaïm nhö Dewey, Parkhust, Dalton ôû Myõ,  
Freinner ôû Phaùp, Clapareøde ôû Thuyï Só, Montessori ôû YÙ, Decroly ôû Bæ ñaõ quan nieäm raèng :  
Caàn phaûi ñaët hoïc sinh vaøo vò trí trung taâm cuûa hoaït ñoäng daïy hoïc, phaûi xuaát phaùt töø lôïi ích  
cuûa hoïc sinh vaø nhöõng ñieàu maø hoï quan taâm. Ñoù chính laø thôøi ñieåm maø ngöôøi ta baét ñaàu noùi  
veà “sö phaïm tích cöïc”. Tuy nhieân, gaàn nhö suoát theá kæ 20, sö phaïm naøy chæ soáng moät caùch lay  
laét beân caïnh sö phaïm truyeàn thoáng.  
Coù nhieàu xu höôùng sö phaïm tích cöïc khaùc nhau nhö : Sö phaïm töông taùc, Sö phaïm  
khaùm phaù, Sö phaïm döï aùn, … Nhöõng xu höôùng naøy coù nhöõng neùt töông ñoàng nhöng cuõng coù  
nhieàu khaùc bieät cô baûn. Trong phaïm vi taøi lieäu naøy, ta khoâng ñi saâu nghieân cöùu chuùng.  
ÔÛ ñaây, thuaät ngöõ “Phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc” (hay goïi taét laø Phöông phaùp tích cöïc)  
4
ñöôïc hieåu laø caùc phöông phaùp daïy hoïc theå hieän tö töôûng cuûa caùc xu höôùng sö phaïm tích cöïc ,  
maø sau ñaây ta seõ neâu leân moät soá ñaëc tröng cô baûn cuûa noù.  
Ñaëc tröng cuûa phöông phaùp tích cöïc :  
Giaùo vieân töï nguyeän rôøi boû vò trí trung taâm. Hoï chæ coøn laø ngöôøi ñaïo dieãn, troïng taøi, coá  
vaán, toå chöùc cho hoïc sinh töï mình kieán taïo kieán thöùc môùi.  
Hoïc sinh trôû thaønh chuû theå, thaønh trung taâm ñöôïc ñònh höôùng ñeå töï mình xaây döïng kieán  
thöùc, chöù khoâng phaûi ñöôïc ñaët tröôùc nhöõng kieán thöùc coù saün cuûa saùch giaùo khoa, hay baøi  
giaûng aùp ñaët cuûa giaùo vieân.  
Noùi chung, kieán thöùc ñöôïc khaùm phaù bôûi ngöôøi hoïc coù theå coøn phieán dieän, khieám  
khuyeát, chöa ñaày ñuû, chöa hoaøn chænh nhö tri thöùc ta muoán truyeàn thuï. Chính lôùp hoïc vaø giaùo  
vieân seõ giuùp hoï hoaøn chænh kieán thöùc naøy.  
Kieán thöùc khoâng coøn ñöôïc truyeàn thuï tröïc tieáp bôûi giaùo vieân maø do hoïc sinh khaùm phaù  
ra qua quaù trình hoaït ñoäng giaûi quyeát caùc vaán ñeà (coù theå coù söï giuùp ñôõ cuûa giaùo vieân). Trong  
tröôøng hôïp naøy, kieán thöùc môùi naûy sinh nhö laø phöông tieän hay keát quaû cuûa hoaït ñoäng giaûi  
quyeát vaán ñeà cuûa hoïc sinh.  
Keát hôïp ñaùnh giaù cuûa thaày vaø töï ñaùnh giaù cuûa troø.  
Hoïc sinh ñöôïc taïo ñieàu kieän tham gia vaøo vieäc ñaùnh giaù khoâng chæ saûn phaån cuoái cuøng  
(
nhö lôøi giaûi baøi toaùn, …), maø caû quaù trình moø maãm, tìm kieám caùch giaûi quyeát vaán ñeà, ñaùnh  
giaù caùch toå chöùc vaø giaûi quyeát vaán ñeà, tinh thaàn vaø thaùi ñoä laøm vieäc, khaû naêng saùng taïo, …  
cuûa chính mình hay cuûa baïn. Töø ñoù, phaùt trieån kó naêng töï ñaùnh giaù ñeå töï ñieàu chænh caùch hoïc  
cuûa mình.  
2.4. Phöông phaùp tích cöïc vaø daïy hoïc theo ñònh höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng cuûa hoïc  
sinh  
4
Phaân bieät giöõa xu höôùng sö phaïm vaø phöông phaùp chæ laø töông ñoái, vì thöïc ra cuøng laø khaùi nieäm phöông phaùp  
nhöng coù theå xeùt ôû ba caáp ñoä khaùc nhau :  
ÔÛ ca áp ñoä quan ñie åm , tö töô ûn g hay caùch tie áp caän toång quaùt, thì ta noùi ñeán xu höôùng sö phaïm (chaúng haïn, sö phaïm töông  
taùc, sö phaïm khaùm phaù,...).  
ÔÛ caáp ñoä quy trình, hay caùc thao taùc vaø caùch thöùc thöïc hieän cuï theå thì ta thöôøng duøng thuaät ngöõ “Phöông phaùp”.  
-
-
5
Hieän nay vaãn chöa coù söï nhaát trí hoaøn toaøn veà vieäc söû duïng thuaät ngöõ “Phöông phaùp  
tích cöïc”. Coù theå tính ñeán ba quan nieäm noåi troäi nhaát sau ñaây:  
Quan nieäm thöù nhaát: Duøng thuaät ngöõ “Phöông phaùp tích cöïc” ñeå chæ taát caû nhöõng  
phöông phaùp daïy hoïc cho pheùp phaùt huy ñöôïc tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh.  
Quan nieäm naøy döïa treân khaùi nieäm “tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh” maø theo G. I.  
Sukina (1977) nhöõng daáu hieäu cô baûn cuûa noù laø: Hoïc sinh khao khaùt hoïc taäp, hay neâu thaéc  
maéc, chuû ñoäng vaän duïng linh hoaït kieán thöùc ñaõ hoïc, taäp trung chuù yù vaø kieân trì giaûi quyeát  
vaán ñeà, …  
5
Sukina cuõng ñaõ phaân chia tính tích cöïc ra laøm ba caáp ñoä:  
1
. Tính tích cöïc baét chöôùc, taùi hieän: Xuaát hieän do taùc ñoäng kích thích beân ngoaøi (yeâu  
caàu cuûa giaùo vieân), trong tröôøng hôïp naøy, ngöôøi hoïc thao taùc treân caùc ñoái töôïng, baét chöôùc  
theo maãu hoaëc moâ hình cuûa giaùo vieân, nhaèm chuyeån ñoái töôïng töø ngoaøi vaøo trong theo cô  
cheá “Hoaït ñoäng beân ngoaøi vaø beân trong coù cuøng caáu truùc”. Nhôø ñoù, kinh nghieäm hoaït ñoäng  
ñöôïc tích luyõ thoâng qua kinh nghieäm cuûa ngöôøi khaùc.  
2. Tính tích cöïc tìm toøi: ñoäc laäp giaûi quyeát vaán ñeà ñaët ra, tìm kieám caùc phöông thöùc haønh  
ñoäng treân cô sôû coù tính töï giaùc, coù söï tham gia cuûa ñoäng cô, nhu caàu, höùng thuù vaø yù chí cuûa hoïc  
sinh.  
3
. Tính tích cöïc saùng taïo: theå hieän khi chuû theå nhaän thöùc töï tìm toøi kieán thöùc môùi, töï tìm  
ra phöông thöùc haønh ñoäng rieâng vaø trôû thaønh phaåm chaát beàn vöõng cuûa caù nhaân. Ñaây laø möùc  
ñoä bieåu hieän cao nhaát cuûa tính tích cöïc.  
Nhö vaäy, theo quan nieäm naøy, ngay caû trong tình huoáng hoïc taäp baèng “baét chöôùc” vaãn  
caàn thieát vaø coù theå phaùt huy ñöôïc tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh.  
Quan nieäm thöù hai : Tö töôûng töông töï nhö quan nieäm thöù nhaát, nhöng traùnh duøng  
thuaät ngöõ “Phöông phaùp tích cöïc” hay “Phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc”, maø söû duïng moät caùch  
noùi khaù khaùi quaùt nhö “Phöông phaùp daïy hoïc theo ñònh höôùng tích cöïc hoaù hoaït ñoäng cuûa hoïc  
sinh” hay theo ñònh höôùng “hoaït ñoäng hoaù ngöôøi hoïc”, …  
Quan nieäm thöù ba: Duøng thuaät ngöõ “Phöông phaùp tích cöïc” theo nghóa chaët, ñeå chæ  
nhöõng phöông phaùp daïy hoïc coù nhöõng ñaëc tröng chuû yeáu maø chuùng toâi ñaõ neâu ôû treân. Nhö  
vaäy, theo quan nieäm naøy, phöông phaùp tích cöïc vaø phöông phaùp daïy hoïc theo ñònh höôùng tích  
cöïc hoaù hoaït ñoäng cuûa hoïc sinh khoâng ñoàng nhaát. Noùi caùch khaùc, coù theå coù nhöõng phöông  
phaùp daïy hoïc cho pheùp phaùt huy ñöôïc tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh, nhöng khoâng phaûi laø  
phöông phaùp tích cöïc. Taøi lieäu naøy ñöôïc bieân soaïn döïa treân quan nieäm thöù ba.  
Theo quan nieäm naøy, moät trong caùc ñieàu kieän caàn cuûa phöông phaùp tích cöïc xuaát phaùt  
töø ñaëc tröng cuûa vieäc xaây döïng kieán thöùc: kieán thöùc phaûi ñöôïc kieán taïo bôûi hoïc sinh qua quaù  
trình hoaït ñoäng giaûi quyeát caùc vaán ñeà cuûa chính hoï (coù theå coù söï giuùp ñôõ ít nhieàu cuûa giaùo  
vieân).  
Ñeå hieåu roõ hôn quan nieäm naøy, ta xeùt tieán trình daïy hoïc moät ñònh lí toaùn hoïc (kieán thöùc  
môùi caàn lónh hoäi) sau ñaây:  
5
Trích daãn theo Nguyeãn Lan Phöông (2000).  
6
-
Böôùc 1: Trình baøy ñònh lí (giaùo vieân phaùt bieåu ñònh lí hoaëc hoïc sinh ñoïc ñònh lí coù saün  
trong saùch giaùo khoa).  
-
Böôùc 2: Hoïc sinh chöùng minh ñònh lí (coù theå coù söï giuùp ñôõ cuûa giaùo vieân nhôø vaøp  
phöông phaùp vaán ñaùp gôïi môû).  
-
Böôùc 3: Hoïc sinh laøm baøi taäp cuûng c vaän duïng ñònh lí (coù theå coù söï giuùp ñôõ cuûa giaùo  
vieân nhôø vaøo phöông phaùp vaán ñaùp gôïi môû).  
Caùc phöông phaùp daïy hoïc ñöôïc söû duïng bôûi giaùo vieân öùng vôùi tieán trình naøy khoâng ñöôïc  
xem laø phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc, vì kieán thöùc môùi caàn xaây döïng laø noäi dung ñònh lí ñaõ  
ñöôïc thoâng baùo tröïc tieáp maø khoâng phaûi do hoïc sinh kieán taïo neân. Tuy nhieân, chuùng coù theå cho  
pheùp phaùt huy tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh trong caùc pha chöùng minh ñònh lí hay giaûi baøi  
taäp aùp duïng.  
Chuù yù raèng, phöông phaùp tích cöïc hieåu theo nghóa chaët nhö vaäy cuõng coù tính töông ñoái.  
Neáu quan nieäm raèng khi hoïc sinh töï mình chöùng minh ñöôïc ñònh lí (thaäm chí coù theå chöùng  
minh baèng nhieàu caùch khaùc nhau) thì hoïc sinh ñaõ töï khaùm phaù ra moät daïng tri thöùc môùi khaùc,  
chaúng haïn tri thöùc phöông phaùp. Nhö vaäy, phöông phaùp daïy hoïc töông öùng phaûi laø phöông  
phaùp tích cöïc ! Quaû thöïc, trong nhieàu tröôøng hôïp vieäc khaùm phaù caùc caùch chöùng minh khaùc  
moät keát quaû ñaõ bieát cuõng ñoøi hoûi tính tích cöïc, chuû ñoäng vaø saùng taïo.  
Nhö vaäy, ñeå khoâng rôi vaøo tình huoáng löôõng löï naøy, caàn phaûi xaùc ñònh roõ nhöõng kieán  
thöùc môùi, troïng taâm caàn xaây döïng trong baøi hoïc. Ñoù phaûi laø nhöõng kieán thöùc hình thaønh neân  
phaàn chuû yeáu cuûa muïc tieâu baøi hoïc, maø giaùo vieân phaûi laøm roõ trong phaàn muïc tieâu (hay muïc  
ñích yeâu caàu) cuûa giaùo aùn.  
Hôn nöõa, ôû ñaây, khaùi nieäm Kieán thöùc môùi ñöôïc hieåu theo nghóa : ñoù coù theå laø kieán thöùc  
maø hoïc sinh chöa töøng coù (moät ñònh nghóa khaùi nieäm, moät ñònh lí, moät phöông phaùp giaûi  
toaùn,…), cuõng coù theå laø nhöõng kieán thöùc cuõ nhöng ñöôïc ñieàu chænh, toå chöùc laïi hoaëc laáy moät  
nghóa môùi.  
Chaúng haïn, cho ñeán lôùp 12 hoïc sinh ñaõ bieát nhieàu phöông phaùp chöùng minh ba ñieåm  
thaúng haøng. Neáu baây giôø hoï töï thöïc hieän ñöôïc moät söï toång hôïp caùc phöông phaùp, phaân tích,  
so saùnh vaø xeáp loaïi chuùng, nhaän ra ñöôïc ñieàu kieän aùp duïng phöông phaùp vaø tính hieäu quaû  
cuûa chuùng (trong ñieàu kieän naøo thì aùp duïng phöông phaùp naøy, maø khoâng phaûi phöông phaùp  
kia,…), … thì trong tröôøng hôïp naøy, ta vaãn quan nieäm hoïc sinh ñaõ töï mình khaùm phaù ra kieán  
thöùc môùi. ÔÛ ñaây, caùi môùi khoâng naèm ôû baûn thaân töøng phöông phaùp maø hoïc sinh ñaõ bieát, maø  
trong toång theå caùc moái quan heä giöõa chuùng.  
2
.5. Phaùt huy tính tích cöïc hoïc taäp cuûa hoïc sinh ngay chính trong phöông phaùp daïy  
hoïc truyeàn thoáng  
Tröôùc heát caàn traùnh chuû nghóa cöïc ñoan cho raèng neân toå chöùc cho hoïc sinh töï kieán taïo  
khaùm ph laïi) taát caû nhöõng kieán thöùc moân hoïc maø xaõ hoäi mong muoán hoï lónh hoäi. Ñieàu naøy  
(
laø khoâng theå, maø tröôùc heát laø do khoâng ñuû quyõ thôøi gian laøm vieäc ñoù. I.Ia.Leùcne (1977) cuõng  
nhaán maïnh :  
Do baûn chaát xaõ hoäi cuûa noù, daïy hoïc laø söï truyeàn thuï kinh nghieäm do xaõ hoäi tích luyõ cho  
theá heä treû. Cho neân moät toå chöùc daïy hoïc trong ñoù hoïc sinh phaûi khaùm phaù laïi taát caû nhöõng  
ñieàu maø loaøi ngöôøi bieát ñöôïc tröôùc ñaây vaø ñöôïc quy ñònh trong chöông trình hoïc, laø moät ñieàu  
ít nhaát cuõng laø kì quaùi”.  
7
Nhö vaäy, khoâng theå loaïi boû hoaøn toaøn caùc phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng, maø caàn  
coù moät söï vaän duïng phoái hôïp caùc loaïi hình phöông phaùp.  
Hôn nöõa, theo quan ñieåm thöù ba neâu treân, ngay caû khi aùp duïng phöông phaùp daïy hoïc  
truyeàn thoáng, chöù khoâng phaûi phöông phaùp tích cöïc, ta vaãn coù theå phaùt huy ñöôïc tính tích cöïc  
hoïc taäp cuûa hoïc sinh. Noùi caùch khaùc, ta coù theå khai thaùc yeáu toá tích cöïc ngay chính trong  
phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng.  
Nhö vaäy, tính tích cöïc cuûa hoïc sinh ñöôïc phaùt huy khoâng phaûi trong pha khaùm phaù kieán  
thöùc môùi maø coù theå trong caùc pha nhö : Hôïp thöùc hoaù kieán thöùc môùi (chöùng minh moät ñònh lí,  
chaúng haïn); Giaûi caùc baøi toaùn coù vaän duïng kieán thöùc môùi vöøa lónh hoäi; OÂn taäp; …  
Tuy nhieân, cuõng caàn löu yù raèng, neáu kieán thöùc caàn truyeàn thuï ñöôïc chieám lónh bôûi hoïc  
sinh theo caùch thöùc lónh hoäi caùc tieâu chuaån hay hình maãu coù saün, thì tính tính cöïc cuûa ngöôøi  
hoïc (neáu coù theå hieän) cuõng raát thaáp.  
3. Daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
Tröôùc khi ñi vaøo noäi dung cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà, ta ñeà caäp hai löu yù sau  
ñaây:  
Veà teân goïi: Ñaõ coù nhieàu caùch goïi khaùc nhau nhö Daïy hoïc neâu vaán ñeà, Daïy hoïc coù  
tính vaán ñeà, Daïy hoïc giaûi quyeát vaán ñeà, Daïy hoïc neâu vaø giaûi quyeát vaán ñeà, Daïy hoïc phaùt  
hieän vaø giaûi quyeát vaán ñeà, Daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
Moãi caùch goïi ñeàu coù nhöõng lí leõ rieâng cuûa noù vaø haøm chöùa trong ñoù logic cuûa hình thöùc  
daïy hoïc töông öùng, cuõng nhö ñieåm maáu choát caàn nhaán maïnh. Nhöng ta khoâng ñi saâu phaân tích  
vaán ñeà naøy.  
ÔÛ ñaây, ta seõ duøng thuaät ngöõ Daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà vôùi caùc lí do sau ñaây:  
Hieän nay, thuaät ngöõ naøy thöôøng hay ñöôïc duøng;  
Cuïm töø “ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà” theå hieän moät quan ñieåm sö phaïm hieän ñaïi sau  
ñaây veà daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng ñang ñöôïc vaän duïng trong nhieàu nöôùc, chaúng haïn ôû  
Phaùp:  
Hoïc toaùn laø hoïc phaùt hieän, hoïc trình baøy vaø giaûi quyeát caùc baøi toaùn, laø hoïc xem xeùt laïi  
caùc baøi toaùn döôùi aùnh saùng cuûa caùc coâng cuï lí thuyeát naûy sinh töø quaù trình giaûi quyeát caùc vaán  
ñeà.” (Leâ Vaên Tieán, 2001).  
Thuaät ngöõ Ñaët vaán ñeà ñöôïc duøng ôû treân coù theå bao haøm ñöôïc caû hai nghóa: phaùt hieän  
vaán ñeà vaø trình baøy vaán ñeà.  
Daïy cho hoïc sinh töï phaùt hieän vaán ñeà, sau ñoù trình baøy vaø giaûi quyeát vaán ñeà seõ cho  
pheùp phaùt huy cao ñoä tính tích cöïc vaø tö duy saùng taïo cuûa hoïc sinh. Tuy nhieân, vieäc thöïc hieän  
khoâng maáy deã daøng trong tình hình daïy hoïc hieän nay. Vì theá coù theå tính ñeán hai caáp ñoä thaáp  
hôn laø giaùo vieân duøng vaán ñaùp gôïi môû ñeå giuùp hoïc sinh thöïc hieän ñieàu ñoù, hoaëc chính giaùo  
vieân seõ trình baøy quaù trình phaùt hieän vaán ñeà.  
Daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà laø moät xu höôùng sö phaïm hay laø moät phöông phaùp  
daïy hoïc?  
Caâu traû lôøi phuï thuoäc vaøo goùc ñoä maø ta xem xeùt.  
8
Töø goùc ñoä quan ñieåm vaø tö töôûng toång quaùt cuûa caùch tieáp caän thì ñoù laø moät xu  
höôùng sö phaïm, ñaët cô sôû lí luaän treân trieát hoïc, taâm lí hoïc, giaùo duïc hoïc vaø caû sinh hoïc. Töø  
quan ñieåm giaùo duïc hoïc, tö töôûng toång quaùt laø: “Hoïc sinh tham gia moät caùch coù heä thoáng vaøo  
quaù trình giaûi quyeát caùc vaán ñeà vaø caùc baøi toaùn coù vaán ñeà ñöôïc xaây döïng theo noäi dung taøi  
lieäu hoïc trong chöông trình.” (I. Ia. Lecne, Phaïm Taát Ñaéc dòch 1977).  
Töø goùc ñoä quy trình hay thao taùc aùp duïng trong caùc tình huoáng daïy hoïc cuï theå, thì  
ñoù laø phöông phaùp daïy hoïc.  
Baây giôø, ta seõ baøn ñeán moät soá noäi dung cô baûn cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
3
.1. Nhöõng khaùi nieäm cô baûn  
.1.1. Vaán ñeà  
Trong phaïm vi cuûa giaùo trình naøy, thuaät ngöõ Baøi toaùn ñöôïc hieåu laø “taát caû nhöõng caâu  
3
hoûi caàn giaûi ñaùp veà moät keát quaû chöa bieát caàn tìm baét ñaàu töø nhöõng moät soá döõ kieän, hoaëc veà  
phöông phaùp caàn khaùm phaù, maø theo phöông phaùp naøy seõ ñaït ñöôïc keát quaû ñaõ bieát ” (Töø ñieån  
6
«
Petit Robert ») .  
Xeùt baøi toaùn T vaø moät chuû theå X coù yù thöùc veà T vaø tieáp nhaän T ñeå giaûi quyeát. Khi ñoù coù  
hai khaû naêng xaûy ra:  
Chuû theå X coù theå giaûi quyeát ñöôïc baøi toaùn T chæ nhôø vaøo vieäc aùp duïng ñôn thuaàn heä  
thoáng kieán thöùc ñaõ coù cuûa mình maø khoâng coù khoù khaên gì.  
X khoâng theå giaûi quyeát ñöôïc T neáu chæ döïa vaøo heä thoáng kieán thöùc ñaõ coù, hoaëc chæ  
giaûi quyeát ñöôïc T sau moät quaù trình tích cöïc suy nghó ñeå ñoàng hoaù ñoái töôïng nhaän thöùc vaøo  
moâ hình kieán thöùc cuõ cuûa mình, hoaëc ñeå ñieàu chænh laïi kieán thöùc hay phöông thöùc haønh ñoäng  
cuõ (nghóa laø kieán taïo kieán thöùc môùi).  
Noùi caùch khaùc baøi toaùn T ñaët ra tröôùc chuû theå X nhöõng khoù khaên nhaän thöùc, nhöõng maâu  
thuaãn giöõa caùi ñaõ bieát vaø caùi chöa bieát, ñöôïc chuû theå yù thöùc moät caùch roõ raøng hay mô hoà,  
nhöng chöa coù moät phöông phaùp coù tính thuaät toaùn naøo ñeå giaûi quyeát. Khi ñoù ta noùi, baøi toaùn  
7
T laø moät vaán ñeà ñoái vôùi chuû theå X.  
Caàn nhaán maïnh raèng, ñeå baøi toaùn T laø moät vaán ñeà ñoái vôùi chuû theå X, thì tröôùc heát X  
phaûi coù yù thöùc veà T vaø tieáp nhaän T ñeå giaûi quyeát (töï nguyeän hay baét buoäc).  
Nhö vaäy, khaùi nieäm vaán ñeà phuï thuoäc vaøo chuû theå X vaø vaøo thôøi ñieåm t xaùc ñònh. Moät  
baøi toaùn T coù theå laø moät vaán ñeà vôùi chuû theå X, nhöng laïi khoâng laø vaán ñeà vôùi chuû theå Y.  
Cuøng moät chuû theå X, T laø vaán ñeà ñoái vôùi X ôû thôøi ñieåm naøy, nhöng laïi khoâng phaûi laø vaán ñeà  
ñoái vôùi X ôû thôøi ñieåm khaùc.  
Moät vaøi ví duï:  
2
2
2
Ñoái vôùi moät hoïc sinh vöøa hoïc xong haèng ñaúng thöùc (a + b) = a + 2ab + b , thì baøi  
2
toaùn « Khai trieån (m + 3) » khoâng phaûi laø moät vaán ñeà vì ñeå giaûi, c caàn aùp duïng moâ hình vaø  
caùch thöùc haønh ñoäng ñaõ coù ñöôïc töø vieäc hoïc haèng ñaúng thöùc treân. Nhöng, « Khai trieån bieåu  
6
Ñeå hieåu roõ hôn khaùi nieäm baøi toaùn, tham khaûo muïc D “Daïy hoïc giaûi caùc baøi toaùn” cuûa phaàn 2.  
Caùch hieåu naøy phaàn naøo cuõng phuø hôïp vôùi thuaät ngöõ «Vaán ñeà» theo nghóa ñôøi thöôøng : “Vaán ñeà” ñöôïc hieåu moät  
7
caùch ñôn giaûn laø nhöõng vöôùng maéc, khoù khaên trong cuoäc soáng maø ta ñang ñoái maët vaø caàn giaûi quyeát.  
9
2
thöùc (a + b + c) » laïi laø moät vaán ñeà vôùi hoïc sinh naøy. Vieäc giaûi thaønh coâng baøi toaùn naøy ñoøi  
2
hoûi, hoïc sinh bieát bieán ñoåi (ñoàng hoaù) ñoái töôïng môùi (a+b+ c) vaøo moâ hình cuõ, chaúng haïn (a  
2
2
+
b + c) [a + (b + c)] vaø aùp duïng haèng ñaúng thöùc ñaõ bieát cho hai soá a vaø (b+c).  
=
Sau khi giaûi quyeát xong baøi toaùn, hoïc sinh seõ lónh hoäi ñöôïc moät kieán thöùc môùi, ñoù laø  
2
2
2
2
haèng ñaúng thöùc (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc vaø caùc phöông thöùc haønh ñoäng  
môùi ñaët cô sôû treân kieán thöùc naøy. Chaúng haïn, phöông thöùc haønh ñoäng naøy cho pheùp khai trieån  
2
tröïc tieáp bình phöông cuûa toång daïng (a + b + c) , maø khoâng caàn quay veà phöông thöùc haønh  
ñoäng cuõ.  
Giaû thuyeát noåi tieáng cuûa Goldbach (1690 – 1764): «Taát caû caùc soá töï nhieân chaün khaùc  
2
ñeàu phaân tích ñöôïc thaønh toång cuûa hai soá nguyeân toá leû », hieän nay vaãn laø moät vaán ñeà ñoái  
vôùi moïi caù nhaân X coù yù muoán chöùng minh noù. Goldbach ñöa ra khaúng ñònh naøy trong moät böùc  
thö göûi cho Euler (1707 - 1783) vaøo naêm 1742, nhöng khoâng coù chöùng minh. Nhieàu nhaø toaùn  
hoïc ñaõ thöû giaûi quyeát vaán ñeà naøy, nhöng cho ñeán nay vaãn chöa ai khaúng ñònh ñöôïc noù ñuùng  
hay sai.  
3
.1.2. Tình huoáng coù vaán ñeà vaø tình huoáng gôïi vaán ñeà  
Tình huoáng coù vaán ñeà laø tình huoáng trong ñoù toàn taïi moät vaán ñeà (theo nghóa ôû treân).  
Tình huoáng gôïi vaán ñeà laø tình huoáng thoaû maõn ba ñieàu kieän sau:  
a) Toàn taïi moät vaán ñeà.  
b) Gôïi nhu caàu nhaän thöùc: Neáu tình huoáng coù vaán ñeà, nhöng vì moät lí do naøo ñoù maø hoï  
khoâng coù höùng thuù tìm hieåu, suy nghó ñeå tìm caùch giaûi quyeát (chaúng haïn vì hoï caûm thaáy  
chaúng coù ích gì cho mình, hay vì quaù meät moûi, …) thì ñoù cuõng khoâng phaûi laø tình huoáng gôïi  
vaán ñeà. Tình huoáng gôïi vaán ñeà phaûi laø tình huoáng taïo ra cho hoïc sinh moät caûm xuùc höùng thuù,  
mong muoán giaûi quyeát vaán ñeà.  
c) Gaây nieàm tin ôû khaû naêng: Neáu vaán ñeà trong tình huoáng raát haáp daãn, loâi cuoán vaø hoïc  
sinh coù nhu caàu giaûi quyeát, nhöng neáu hoï mau choùng caûm thaáy vaán ñeà laø quaù khoù, vöôït quaù  
khaû naêng cuûa mình, thì hoï cuõng khoâng coøn höùng thuù, khoâng coøn saün saøng giaûi quyeát vaán ñeà.  
Tình huoáng gôïi vaán ñeà phaûi boäc loä moái quan heä (coù theå khaù môø nhaït) giöõa vaán ñeà caàn giaûi  
quyeát vaø voán kieán thöùc saün coù cuûa chuû theå, vaø taïo ra ôû hoï nieàm tin raèng neáu tích cöïc suy nghó  
thì seõ thaáy roõ hôn moái quan heä naøy vaø coù nhieàu khaû naêng tìm ra caùch giaûi quyeát.  
Toùm laïi, tình huoáng gôïi vaán ñeà laø tình huoáng gôïi ra cho hoïc sinh nhöõng khoù khaên veà lí  
luaän hay thöïc tieãn maø hoï thaáy caàn thieát vaø coù khaû naêng vöôït qua, nhöng khoâng phaûi ngay töùc  
thì nhôø vaøo moät quy taéc coù tính thuaät toaùn, maø phaûi traûi qua moät quaù trình tích cöïc suy nghó,  
hoaït ñoäng ñeå ñoàng hoaù noù hay ñieàu chænh heä thoáng kieán thöùc saün coù nhaèm thích nghi vôùi ñieàu  
kieän haønh ñoäng môùi.  
Caùc ñieàu kieän b vaø c ôû treân cho pheùp phaân bieät tình huoáng gôïi vaán ñeà vôùi tình huoáng coù  
vaán ñeà. Moät tình huoáng coù vaán ñeà chæ caàn thoaû maõn ñieàu kieän a.  
Ví duï veà tình huoáng coù vaán ñeà:  
10  
Trong giôø hoïc veà phöông trình löôïng giaùc cô baûn, giaùo vieân thöïc hieän pha hoûi baøi cuõ  
π
6
π
4
π
5
baèng caùch yeâu caàu hoïc sinh giaûi baøi toaùn : “Cho x caùc giaù trò laàn löôït laø  
,
,  . Tính  
sinx”. Moät trong caùc muïc ñích chuû yeáu laø ñi tôùi khaúng ñònh raèng neáu cho tröôùc moät giaù trò baát  
kì cuûa x, thì luoân tìm ñöôïc giaù trò (coù theå gaàn ñuùng) cuûa sinx nhôø vaøo baûng giaù trò löôïng giaùc  
cuûa caùc goùc ñaëc bieät, maùy tính boû tuùi, hay ñöôøng troøn löôïng giaùc.  
Töø ñoù, giaùo vieân ñaët ra vaán ñeà caàn giaûi quyeát :  
Ngöôïc laïi, neáu cho tröôùc moät giaù trò baát kì cuûa sin x, chaúng haïn sinx = a vôùi a laø haèng soá, thì  
lieäu coù toàn taïi hay khoâng giaù trò x thoûa maõn sinx = a? Neáu coù thì coù bao nhieâu giaù trò x? Xaùc ñònh  
chuùng nhö theá naøo? Noùi caùch khaùc, giaûi phöông trình sinx = a ra sao?  
Tình huoáng treân laø moät tình huoáng coù vaán ñeà, vì toàn taïi trong ñoù moät vaán ñeà maø cho  
ñeán thôøi ñieåm ñoù hoïc sinh chöa coù moät phöông phaùp toång quaùt naøo ñeå giaûi phöông trình sinx  
=
a. Tuy nhieân, noù coù theå chöa phaûi laø tình huoáng gôïi vaán ñeà vì tình huoáng ñaët ra nhö vaäy  
chöa ñaûm baûm chaéc chaén taïo ra ôû hoïc sinh söï höùng thuù vaø nhu caàu muoán tieán haønh giaûi quyeát  
vaán ñeà.  
Ví duï veà tình huoáng gôïi vaán ñeà: Baøi toaùn «Chu vi tam giaùc cuït ».  
Baøi toaùn ñaõ ñöôïc ñaët ra cho hoïc sinh moät lôùp 8, Coäng hoaø Phaùp trong tình huoáng coù theå  
moâ taû nhö sau:  
Hoïc sinh laøm vieäc theo nhoùm. Moãi nhoùm khoaûng 4 hoïc sinh.  
Giaùo vieân phaùt cho moãi nhoùm moät baûn phoâtoâ hình veõ treân giaáy A cuûa moät tam giaùc bò  
4
caét ñi moät maûnh coù chöùa moät ñænh, maø ta goïi laø tam giaùc cuït (hình döôùi ñaây), moät soá duïng cuï  
vaø vaät lieäu nhö : 2 thöôùc ño ñoä, 2 thöôùc keû, 2 eâke, 2 compa, 4 buùt bi, 1 maùy tính chæ cho pheùp  
thöïc hieän 4 pheùp toaùn Coäng, Tröø, Nhaân, Chia vaø nhieàu tôø giaáy traéng A khoâng trong suoát.  
4
Giaùo vieân thoâng baùo nhieäm vuï:  
«Moãi nhoùm haõy thaûo luaän vaø nhaát trí vôùi nhau ñeå vieát cho hoïc sinh cuûa moät lôùp 8 khaùc  
moät baûn chæ daãn nhöõng vieäc hoï caàn laøm ñeå tính ñöôïc chu vi cuûa baát kì moät tam giaùc bò cuït  
naøo kieåu nhö treân. Bieát raèng, caùc baïn hoïc sinh nhaän baûn chæ daãn naøy cuõng coù nhöõng duïng cuï  
gioáng nhö caùc em (thöôùc, thöôùc ño ñoä, eâke, compa, …), nhöng chæ coù moät tôø giaáy A treân ñoù  
4
coù veõ moät tam giaùc cuït nhö caùc nhoùm ñaõ coù, maø khoâng coù tôø giaáy A naøo khaùc.  
4
Caùc nhoùm vieát baûn chæ daãn cuûa mình treân moät tôø giaáy khoå lôùn (moät aùp phích). Caùc aùp  
phích naøy seõ ñöôïc ñöa ra thaûo luaän giöõa caùc nhoùm ñeå choïn ra moät baûn höôùng daãn ñaïi dieän  
cho caû lôùp vaøgöûi cho hoïc sinh lôùp khaùc. »  
Bình luaän: Tình huoáng naøy thoaû maõn ba ñieàu kieän cuûa tình huoáng gôïi vaán ñeà.  
Toàn taïi moät vaán ñeà. Quaû thöïc, cho ñeán thôøi ñieåm naøy hoïc sinh chöa coù moät phöông  
phaùp coù tính thuaät toaùn naøo ñeå tính chu vi caùc tam giaùc cuït nhö vaäy.  
11  
Baøi toaùn taïo ra ôû hoïc sinh söï toø moø, höùng thuù vaø nhu caàu giaûi quyeát vaán ñeà vì ba lí do  
chuû yeáu sau:  
Baøi toaùn khaù khaùc laï so vôùi nhöõng baøi toaùn tính chu vi maø hoïc sinh thöôøng gaëp trong  
lôùp. Noù theå hieän moät söï ñoäc ñaùo vaø thuù vò.  
Noù ñöôïc ñaët trong tình huoáng phaûi thi ñua giöõa caùc nhoùm ñeå taïo ra moät baûn höôùng  
daãn ñaïi dieän cho lôùp.  
Baûn höôùng daãn seõ ñöôïc söû duïng bôûi hoïc sinh lôùp khaùc. Ñieàu naøy aûnh höôûng ñeán uy  
tín vaø danh döï cuûa lôùp.  
Duø laø khaùc laï, nhöng thoaït tieân, hoïc sinh khoâng caûm thaáy quaù khoù phaûi boù tay, maø hoï  
coù theå tính ñeán nhieàu phöông aùn giaûi quyeát khaùc nhau nhö : tìm phaàn bò thieáu baèng caùch keùo  
daøi hai caïnh bò cuït leân caùc tôø giaáy khaùc hay treân maët baøn, baèng gaáp giaáy hay baèng caùch duøng  
pheùp ñoái xöùng truïc, … Chæ ñeán khi hieåu roõ caùc raøng buoäc cuûa tình huoáng hoï môùi coù theå nhaän  
ra tính khoâng hieäu quaû cuûa caùc caùch giaûi quyeát naøy. Ta noùi, toàn taïi caùc chieán löôïc cô sôû cho  
pheùp hoïc sinh ñöa ra nhöõng giaûi ñaùp ban ñaàu. Vieäc nhaän ra khieám khuyeát cuûa chieán löôïc cô  
sôû seõø buoäc hoïc sinh phaûi ñieàu chænh phöông thöùc giaûi quyeát.  
Chính söï toàn taïi chieán löôïc cô sôû, cuøng vôùi caûm giaùc quen thuoäc v baøi toaùn tính chu vi  
tam giaùc laø moät trong caùc nhaân toá goùp phaàn taïo ra ôû hoïc sinh nieàm tin vaøo khaû naêng giaûi  
quyeát ñöôïc vaán ñeà ñaët ra.  
3.2. Moät soá caùch taïo ra tình huoáng coù vaán ñeà  
Sau ñaây laø moät soá caùch taïo ra caùc tình huoáng « coù vaán ñeà », chöù chöa phaûi laø tình huoáng  
«
gôïi vaán ñeà ». Ñeå chuùng trôû thaønh caùc tình huoáng « gôïi vaán ñeà » caàn phaûi ñaûm baûo raèng tình  
huoáng gôïi ra ôû hoïc sinh nhu caàu nhaän thöùc vaø nieàm tin ôû khaû naêng.  
a) Quan saùt thöïc nghieäm ñeå hình thaønh döï ñoaùn  
Ví duï: Tình huoáng coù vaán ñeà lieân quan tôùi ñònh lí veà truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng  
troøn (Hình hoïc 10, NXB GD 2003).  
Vôùi maùy tính coù trang bò phaàn meàm Cabri – Geùomeùtry vaø maùy chieáu ña phöông  
tieän, giaùo vieân veõ hai ñöôøng troøn rôøi nhau (O , R ) vaø (O , R ).  
1
1
2
2
Laáy moät ñieåm M baát kì.  
Daùn laàn löôït giaù trò M/ (O1) vaø M/ (O2) leân maøn hình .  
Yeâu caàu hoïc sinh so saùnh keát quaû.  
8
8
Trong moâi tröôøng Cabri, keát quaû ño ñaïc (ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng, dieän tích cuûa moät hình, …) luoân coù ñôn vò ñi keøm  
2
2
2
(
chaúng haïn, cm, cm ). Do ñoù, khi tính phöông tích (PT) baèng coâng thöùc PM/(O) = MO – R hoaëc PM/(O) = MA.MB  
2
keát quaû ñaït ñöôïc luoân keøm theo ñôn vò cm . Ñieàu naøy laøm HS hieåu khoâng ñuùng baûn chaát cuûa khaùi nieäm PT (ñoù laø  
moät ñaïi löôïng khoâng ñôn vò).  
Coù theå khaéc phuïc khieám khuyeát naøy baèng caùch ñöa vaøo moät heä truïc toïa ñoä. Trong heä toïa ñoä naøy, tính PT theo  
uuu ur uuur  
coâng thöùc PM/(O) = MA . MB. Khi ñoù, keát quaû ñaït ñöôïc laø moät soá khoâng coù ñôn vò ñi keøm. Tuy nhieân, vì ñònh nghóa  
PT trong SGK khoâng gaén lieàn vôùi heä truïc toïa ñoä, neân caàn laøm “aån” heä truïc treân baèng caùch choïn maøu cuûa caùc truïc  
truøng vôùi maøu neàn cuûa maøn hình. Cuõng caàn taïo moät Macro cho pheùp tính töï ñoäng PT. Khi thay ñoåi vò trí cuûa M giaù trò  
cuûa PT hieän treân maøn hình seõ töï ñoäng caäp nhaät.  
Caàn taïo moät Macro ñeå Cabri – Geùomeùtry coù theå tính ñöôïc moät caùch töï ñoäng phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái  
vôùi moät ñöôøng troøn, maø khoâng keøm theo ñôn vò ño cm (tham khaûo luaän vaên toát nghieäp cuûa Traàn Thò Ngoïc Dieäp,  
2
005).  
12  
Di chuyeån M, khi ñoù hai giaù trò phöông tích töông öùng cuõng thay ñoåi theo. Yeâu caàu  
hoïc sinh quan saùt vaø so saùnh hai keát quaû naøy (thöôøng laø khaùc nhau).  
Taïo tình huoáng coù vaán ñeà trung gian : lieäu coù vò trí naøo cuûa M maø M/ (O1) = M/ (O2)  
?
Coù bao ñieåm M thoaû ñieàu kieän naøy ? Taäp hôïp taát caû nhöõng ñieåm M nhö vaäy (quyõ tích)  
laø hình gì ?  
Dòch chuyeån M ñeå ñaït ñöôïc ba vò trí thoaû maõn  
M/ (O1) = M/ (O2  
.
Yeâu caàu hoïc sinh döï ñoaùn quyõ tích cuûa M (döïï ñoaùn mong ñôïi : ñöôøng thaúng vuoâng  
goùc vôùi ñöôøng noái taâm).  
Coù theå cuûng coá döï ñoaùn baèng caùch duøng Cabri – Geùomeùtry ñeå kieåm tra tính thaúng haøng  
cuûa ba ñieåm ñaõ tìm ñöôïc vaø tính vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng töông öùng vôùi ñöôøng noái taâm.  
Tình huoáng coù vaán ñeà : Quyõ tích nhöõng ñieåm M coù cuøng phöông tích vôùi hai ñöôøng  
troøn cho tröôùc coù phaûi laø moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái taâm hay khoâng ?  
Chöùng minh nhö theá naøo ?  
b) Laät ngöôïc vaán ñeà  
Ví duï 1: Tình huoáng coù vaán ñeà lieân quan tôùi giaûi phöông trình löôïng giaùc sinx = a, trình  
baøy trong muïc tröôùc, ñaõ ñöôïc taïo ra theo caùch laät ngöôïc vaán ñeà.  
Ví duï 2: Sau khi hoïc xong ñònh lí “neáu haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x , thì noù  
0
lieân tuïc taïi ñieåm ñoù”.  
Giaùo vieân coù theå laät ngöôïc vaán ñeà ñeå taïo ra tình huoáng coù vaán ñeà : Vaäy ngöôïc laïi, neáu  
haøm soá y = f(x) lieân tuïc taïi x , thì lieäu noù coù ñaïo haøm taïi ñieåm ñoù khoâng ?  
0
c) Töông töï hoaù  
Ví duï : Trong hình hoïc phaúng, ta coù ñònh lí “Neáu ABC laø moät tam giaùc vuoâng taïi A vaø  
H laø chaân ñöôøng cao haï töø A, thì Error! Objects cannot be created from editing field  
codes.”.  
Trong khoâng gian xeùt hình töù dieän OABC, coù ba caïch OA, OB, vaø OC vuoâng goùc vôùi  
nhau töøng ñoâi moät. Neáu xem OABC töông töï vôùi tam giaùc vuoâng trong maët phaúng (ñeàu laø  
hình coù soá ñænh ít nhaát), lieäu ta coù tính chaát töông töï khoâng ? Noùi caùch khaùc ta coù theå coù ñaúng  
thöùc Error! Objects cannot be created from editing field codes. hay khoâng ?  
d) Khaùi quaùt hoaù  
Ví duï : Trong maët phaúng, ñöôøng thaúng coù ba daïng phöông trình khaùc nhau nhö sau :  
x = x + at  
0
vôùi a + b  0.  
2
2
Phöông trình tham soá :  
y = y + bt  
0
x x0  
y y0  
vôùi a + b  0.  
2
2
Phöông trình chính taéc :  
=
a
b
2
2
Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 vôùi A + B  0.  
Khaùi quaùt hoaù: Vaäy lieäu trong khoâng gian, phöông trình ñöôøng thaúng cuõng coù ba daïng  
sau ñaây khoâng ?  
13  
x = x + at  
0
x  x0 y  y0 z  z0  
vaø Ax + By + Cz + D = 0.  
y = y + bt ;  
=
=
0
a
b
c
z = z + ct  
0
e) Phaùt hieän sai laàm vaø nguyeân nhaân sai laàm  
Yeâu caàu hoïc sinh phaùt hieän sai laàm, nguyeân nhaân sai laàm vaø söûa chöõa sai laàm cuõng taïo  
ra moät tình huoáng coù vaán ñeà, vì quaû thöïc chöa coù moät löôïc ñoà roõ raøng ñeå thöïc hieän caùc nhieäm  
vuï treân.  
3
3
Ví duï 1: Giaûi pt 2x 1 + 3 2x = −1 (1).  
Lôøi giaûi cuûa moät hoïc sinh:  
Laäp phöông hai veá cuûa phöông trình (1) ta coù,  
3 3 3 3  
(
1) 2x - 1 + 3 - 2x + 3. 2x 1. 32x ( 2x 1+ 32x )= -1.  
3
3
3. 2x 1. 3 2x = 3  
(2x - 1)(3 - 2x) = 1  
2
x – 2x + 1 = 0  x = 1”.  
Thoâng thöôøng, hoïc sinh ñaùnh giaù lôøi giaûi treân laø ñuùng vì cho raèng caùc böôùc bieán ñoåi  
treân laø töông ñöông. Do ñoù, khoâng coù nhu caàu thöû laïi nghieäm.  
Trong tröôøng hôïp naøy, giaùo vieân coù theå taïo ra tình huoáng coù vaán ñeà baèng caùch yeâu caàu  
hoï thöû laïi nghieäm x = 1 ñeå nhaän ra sai laàm cuûa lôøi giaûi. Töø ñoù, hoïc sinh seõ coù nhu caàu tìm  
hieåu xem sai laàm ôû ñaâu, vaø söûa chöõa noù theá naøo.  
Ví duï 2. Tröôùc baøi toaùn « Giaûi phöông trình x +3+ 4 x 1 + x +86 x 1 = 5 (1) ».  
Moät hoïc sinh cho lôøi giaûi nhö sau :  
«
Pt (1)  x 1+ 2.2. x 1+ 4 + x 1 6 x 1+ 9 = 5  
2
2
( x 1 + 2) + ( x 1 3) = 5  
x 1 + 2 + x 1 - 3 = 5  
x 1 = 3  x - 1 = 9  x = 10 ».  
Taän duïng lôøi giaûi treân, coù theå taïo ra moät tình huoáng coù vaán ñeà baèng caùc caùch sau ñaây:  
C1) Yeâu caàu hoïc sinh nhaän xeùt lôøi giaûi treân. Sau khi xem xeùt, neáu caû lôùp cho raèng lôøi  
giaûi ñuùng thì giaùo vieân khaúng ñònh lôøi giaûi sai vaø yeâu caàu hoï tìm choã sai.  
C2) Neáu caû lôùp khoâng nhaän ra sai laàm, giaùo vieân yeâu caàu hoïc sinh thöû kieåm tra giaù trò x  
=
1 coù laø nghieäm cuûa phöông trình khoâng, baèng caùch thay tröïc tieáp vaøo phöông trình ban ñaàu.  
Keát quaû, hoïc sinh nhaän ra x = 1 laø nghieäm, trong khi lôøi giaûi treân laïi chæ cho ñaùp soá x = 10.  
Maâu thuaãn naøy taïo ra ôû hoïc sinh söï ngaïc nhieân vaø nhu caàu muoán tìm hieåu xem sai laàm ôû ñaâu.  
C3) Neáu caû lôùp khoâng nhaän ra sai laàm, giaùo vieân trình baøy moät lôøi giaûi, giaû ñònh laø cuûa  
moät hoïc sinh lôùp khaùc nhö sau :  
Pt (1)  x 1+ 2.2. x 1+ 4 + x 1 6 x 1+ 9 = 5  
2 2  
( x 1 + 2) + (3 x 1) = 5  
14  
x 1 + 2 + 3 - x 1 = 5  
5 = 5 vaø x 1.  
Vaäy phöông trình coù nghieäm laø x 1”.  
Döï ñoaùn raèng, hoïc sinh vaãn coâng nhaän lôøi giaûi naøy ñuùng. Ñieàu naøy gaây ra maâu thuaãn:  
hai lôøi giaûi ñeàu ñuùng nhöng laïi cho hai keát quaû khaùc nhau.  
Bình luaän:  
Theo C2 vaø C3, caùc tình huoáng taïo ra deã gaây ôû hoïc sinh söï höùng thuù vaø nhu caàu tìm  
kieám nguyeân nhaân sai laàm hôn tình huoáng trong C1, vì caùc maâu thuaãn xuaát hieän moät caùch töï  
nhieân vaø thuù vò. Ñaëc bieät tình huoáng trong C3 deã ñaûm baûo ñieàu kieän “Gaây nieàm tin ôû khaû  
naêng” hôn, vì hoïc sinh deã nhaän ra moät soá bieán ñoåi khaùc bieät trong hai caùch giaûi vaø töø ñoù deã  
taïo ñöôïc nieàm tin raèng nguyeân nhaân sai laàm chæ quanh quaån ñaâu ñoù xung quanh caùc bieán ñoåi  
naøy. Noùi caùch khaùc, theo caùch C3 ta coù nhieàu khaû naêng ñaït ñöôïc moät tình huoáng gôïi vaán ñeà.  
Ngöôïc laïi, trong tình huoáng C1 chuû yeáu laø hoïc sinh bò eùp buoäc laøm theo yeâu caàu cuûa  
giaùo vieân, chöù khoâng phaûi töï baûn thaân hoï nhaän ra maâu thuaãn vaø coù nhu caàu giaûi quyeát maâu  
thuaãn naøy. Vì theá, tình huoáng C1 coù ñaëc tröng cuûa tình huoáng coù vaán ñeà, maø coù theå chöa phaûi  
laø tình huoáng gôïi vaán ñeà.  
Trong caùc tình huoáng treân, chính giaùo vieân laø ngöôøi chuû ñoäng taïo ra tình huoáng coù  
vaán ñeà. Tuy nhieân, tình huoáng coù vaán ñeà coù theå naûy sinh moät caùch töï nhieân hôn nhôø vaøo maâu  
thuaãn taïo ra bôûi chính hoïc sinh. Chaúng haïn, maâu thuaãn xuaát hieän nhaân cô hoäi moät hoïc sinh  
khaùc trình baøy moät keát quaû hay lôøi giaûi khaùc vôùi hoïc sinh neâu treân, maø thoaït tieân chöa hoïc  
sinh naøo phaùt hieän ra nguyeân nhaân.  
Caùc tình huoáng C1, C2 vaø C3 ñöôïc taïo ra khi maø caû lôùp ñeàu khoâng nhaän ra sai laàm  
trong lôøi giaûi cuûa hoïc sinh ñang xem xeùt. Noùi caùch khaùc, ñoù laø tình huoáng coù vaán ñeà ñoái vôùi hoïc  
sinh caû lôùp.  
Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp giaùo vieân nhaän ra moät soá hoïc sinh trong lôùp coù theå phaùt  
hieän ra ngay sai laàm, thì khoâng theå taïo ra tình huoáng coù vaán ñeà ñoái vôùi caû lôùp ñöôïc nöõa.  
Nhöng coù theå taïo ra tình huoáng coù vaán ñeà ñoái vôùi boä phaän hoïc sinh khaùc, ít nhaát laø cuõng ñoái  
vôùi hoïc sinh vöøa cho lôøi giaûi treân.  
f) Taïo ra maâu thuaãn vaø xung ñoät veà maët nhaän thöùc  
Caùch thöù hai vaø thöù ba trong muïc e) ôû treân cho pheùp taïo tình huoáng coù vaàn ñeà baèng  
caùch taïo ra caùc maâu thuaãn, hay xung ñoät nhaän thöùc ngay chính trong baûn thaân chuû theå (ngöôøi  
hoïc).  
3
.3. Daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
ÔÛ ñaây, ta baøn ñeán daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà ôû caáp ñoä moät phöông phaùp daïy  
hoïc. Khi ñoù, noù laø hình thöùc daïy hoïc trong ñoù giaùo vieân (hay cuøng hoïc sinh) taïo ra moät hay  
nhieàu tình huoáng gôïi vaán ñeà, toå chöùc, ñieàu khieån hoïc sinh trình baøy vaán ñeà vaø hoaït ñoäng giaûi  
quyeát caùc vaán ñeà, qua ñoù giuùp hoïc sinh lónh hoäi kieán thöùc, reøn luyeän kó naêng, phaùt trieån tö  
duy vaø ñaït ñöôïc caùc muïc ñích daïy hoïc khaùc.  
Moät trong caùc muïc ñích chuû yeáu cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà laø laøm cho hoïc  
sinh lónh hoäi ñöôïc kieán thöùc môùi nhö laø keát quaû cuûa quaù trình giaûi quyeát vaán ñeà. Noùi caùch  
15  
khaùc, kieán thöùc khoâng ñöôïc truyeàn thuï tröïc tieáp töø giaùo vieân, döôùi daïng coù saün, maø ñöôïc  
khaùm phaù daàn theo quaù trình giaûi quyeát vaán ñeà.  
Moät muïc ñích coát yeáu khaùc cuûa hình thöùc daïy hoïc naøy laø giuùp hoïc sinh phaùt trieån caùc  
khaû naêng khaùc, nhö : khaû naêng phaùt hieän vaø trình baøy vaán ñeà, khaû naêng tìm kieám caùch giaûi  
quyeát vaán ñeà, khaû naêng toå chöùc quaù trình giaûi quyeát vaán ñeà, khaû naêng kieåm tra ñaùnh giaù keát  
quaû vaø phöông phaùp tieán haønh giaûi quyeát vaán ñeà, … Noùi caùch khaùc, noù cuõng cung caáp cho  
9
hoïc sinh nhöõng tri thöùc phöông phaùp .  
Caùc böôùc chuû yeáu cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà:  
a) Taïo tình huoáng gôïi vaán ñeà (phaùt hieän vaán ñeà).  
b) Trình baøy vaán ñeà vaø ñaët muïc ñích giaûi quyeát vaán ñeà.  
c) Giaûi quyeát vaán ñeà: khaùm phaù caùc phöông phaùp giaûi, choïn phöông phaùp giaûi thích hôïp,  
trình baøy lôøi giaûi.  
d) Kieåm tra, ñaùnh giaù lôøi giaûi, keát quaû vaø caû caùch thöùc tìm kieám lôøi giaûi.  
e) Theå cheá hoaù kieán thöùc caàn lónh hoäi.  
Khaùi nieäm theå cheá hoaù vaø söï khaùc bieät giöõa kieán thöùc vaø tri thöùc: Khi moät vaán ñeà  
ñaët ra ñaõ ñöôïc giaûi quyeát, coù theå coù moät soá kieán thöùc môùi naûy sinh töø keát quaû ñaït ñöôïc vaø raát  
coù lôïi ñeå söû duïng veà sau. Tuy nhieân, neáu ta chæ döøng laïi ôû lôøi giaûi ñaõ ñaït ñöôïc, thì nhöõng kieán  
thöùc boå ích naøy cuõng chæ toàn taïi döôùi daïng kieán thöùc cuûa caù nhaân moãi hoïc sinh, nhö laø kinh  
nghieäm cuûa moãi ngöôøi ruùt ra töø hoaït ñoäng giaûi quyeát vaán ñeà ñaõ cho. Do ñoù, chuùng khoâng  
gioáng nhau ôû moïi hoïc sinh, vaø coù theå vieäc söû duïng laïi sau naøy laø khoâng hôïp phaùp.  
Nhieäm vuï cuûa giaùo vieân laø bieán caùc kieán thöùc caù nhaân ñoù thaønh kieán thöùc chung (hay tri  
thöùc) coù theå söû duïng veà sau vaø söû duïng ñöôïc moät caùch hôïp phaùp bôûi moïi hoïc sinh, baèng caùch  
neâu leân vaø thoâng baùo kieán thöùc naøy moät caùch töôøng minh döôùi daïng moät ñònh lí, moät coâng  
thöùc hay moät quy taéc, phöông phaùp, … Khi ñoù, ta noùi giaùo vieân ñaõ thöïc hieän pha theå cheá hoaù.  
Noùi caùch khaùc, theå cheá hoaù laø haønh ñoäng bieán moät kieán thöùc coù tính caù nhaân thaønh moät kieán  
1
0
thöùc coù tính xaõ hoäi (hay moät tri thöùc) .  
Ví duï 1: Sau khi toå chöùc cho hoïc sinh giaûi quyeát xong caùc baøi toaùn sau ñaây, maø ñònh  
höôùng khôûi ñaàu laø haï baäc caùc bieåu thöùc löôïng giaùc baäc cao:  
3
3
3
sin3x + sin x =  
sin2x;  
4
2
2
2
2
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 2;  
3
cos6x  
4
4
sin x + cos x =  
;
4
4
4
sin x + cos x  
sin 2x  
1
=
(tgx + cot gx)  
2
thì moät tri thöùc phöông phaùp raát coù ích coù theå ñöôïc ruùt ra laø: «Khi giaûi caùc phöông trình löôïng  
giaùc phöùc taïp, neáu phöông trình chöùa caùc bieåu thöùc löôïng giaùc baäc cao thì coù theå tính ñeán  
vieäc haï baäc cuûa caùc bieåu thöùc naøy ».  
9
Xem khaùi nieäm tri thöùc phöông phaùp ôû muïc C phaàn 2.  
0
Ñeå hieåu roõ hôn veà vaán ñeà naøy, coù theå tham khaûo Y. Chevallard (1985).  
1
16  
Tuy nhieân, neáu tri thöùc naøy khoâng ñöôïc neâu leân, khoâng ñöôïc nhaán maïnh vaø thoâng baùo  
coâng khai bôûi giaùo vieân (nghóa laø khoâng ñöôïc theå cheá hoaù), thì noù cuõng chæ coù theå toàn taïi döôùi  
daïng kieán thöùc cuûa töøng caù nhaân hoïc sinh. Noùi caùch khaùc, moät soá hoïc sinh coù theå nhaän ra ñöôïc  
kieán thöùc ñoù vaø bieát aùp duïng veà sau. Nhöng cuõng coù hoïc sinh khoâng ruùt ra ñöôïc lôïi ích cuûa ñònh  
höôùng phöông phaùp naøy, vaø vì theá veà sau neáu coù gaëp moät phöông trình baäc cao töông töï hoï  
cuõng luùng tuùng, khoâng bieát giaûi quyeát theá naøo.  
Ngöôïc laïi, neáu noù ñöôïc theå cheá hoaù vaø ñöôïc nhaéc laïi trong nhieàu cô hoäi khaùc, thì daàn  
daàn noù laø moät kieán thöùc beàn vöõng ôû nhieàu hoïc sinh.  
Ví duï 2: Trong saùch giaùo khoa toaùn nhöõng naêm 1990, baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki döôùi  
ñaây laø ñoái töôïng ñöôïc daïy hoïc moät caùch töôøng minh :  
2
2
2
2
2
2
2
vôùi moïi soá thöïc a , a , b , b .  
(
a b + a b  
)
(a1 + a 
)(
b1 + b  
)
1
2
1
2
1
1
2
2
Noù ñöôïc trình baøy döôùi daïng moät ñònh lí trong saùch giaùo khoa Ñaïi soá 10.  
Hoïc sinh sau khi hoïc baát ñaúng thöùc naøy thì coù quyeàn söï duïng noù vaøo vieäc giaûi quyeát caùc  
baøi toaùn khaùc.  
Ngöôïc laïi, chöông trình vaø saùch giaùo khoa hôïp nhaát thôøi kì 2000 – 2004 khoâng ñöa vaøo  
baát ñaúng thöùc naøy. Baây giôø noù chæ hieän dieän döôùi daïng moät baøi taäp (baøi taäp 8 – Saùch giaùo  
khoa Ñaïi soá 10, NXB GD 2001, trang 77). Nhö vaäy, veà nguyeân taéc, hoïc sinh khoâng coù quyeàn  
söû duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki vaøo vieäc giaûi quyeát caùc baøi toaùn khaùc. Neáu muoán söû  
duïng, hoï phaûi chöùng minh laïi baát ñaúng thöùc naøy. Do ñoù, trong giôø baøi taäp, khi hoïc sinh giaûi  
quyeát xong baøi taäp 8 ôû treân, giaùo vieân chæ coù theå ñeå baát ñaúng thöùc naøy toàn taïi döôùi daïng kieán  
thöùc caù nhaân cuûa moãi hoïc sinh, chöù khoâng theå trình baøy noù döôùi daïng moät ñònh lí ñaõ ñöôïc  
chöùng minh, hay khoâng theå thoâng baùo coâng khai raèng töø nay moïi hoïc sinh coù quyeàn söû duïng  
baát ñaúng thöùc naøy (maø khoâng caàn chöùng minh laïi). Noùi caùch khaùc, giaùo vieân khoâng theå thöïc  
hieän pha theå cheá hoaù, bieán kieán thöùc caù nhaân thaønh tri thöùc chung coù theå söû duïng hôïp phaùp.  
3.4. Caùc hình thöùc daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
Tuyø theo vai troø cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong caùc böôùc cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát  
vaán ñeà cuõng nhö ñaëc tröng cuûa tri thöùc ñaït ñöôïc, maø ta phaân bieät ba hình thöùc daïy hoïc chuû yeáu  
sau ñaây.  
a) Töï nghieân cöùu giaûi quyeát vaán ñeà  
Ñaây laø caáp ñoä cao nhaát cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà. Noù ñöôïc ñaëc tröng bôûi  
caùc maët sau ñaây :  
Giaùo vieân (hoaëc cuøng hoïc sinh) taïo ra tình huoáng gôïi vaán ñeà, trình baøy vaán ñeà. Sau khi  
vaán ñeà ñaõ ñöôïc giaûi quyeát, giaùo vieân coù traùch nhieäm thöïc hieän pha theå cheá hoaù: ñaùnh giaù vai  
troø vaø yù nghóa cuûa keát quaû ñaït ñöôïc, chuyeån kieán thöùc coù tính chaát caù nhaân thaønh thaønh tri  
thöùc chung, nhaán maïnh caùc tri thöùc phöông phaùp coù theå ruùt ra töø quaù trình nghieân cöùu vaø giaûi  
quyeát vaán ñeà.  
Hoïc sinh: ñoäc laäp tìm caùch giaûi quyeát vaán ñeà, trình baøy lôøi giaûi, thöïc hieän pha kieåm tra  
vaø ñaùnh giaù. Nhö vaäy hoï phaûi hoaït ñoäng moät caùch tích cöïc, chuû ñoäng, töï giaùc, ñoäc laäp vaø  
saùng taïo.  
17  
Tri thöùc: Khoâng ñöôïc cho döôùi daïng coù saün, maø xuaát hieän trong quaù trình hình thaønh  
vaø giaûi quyeát vaán ñeà, ñöôïc khaùm phaù bôûi chính hoïc sinh.  
Tuyø theo tình hình maø coâng vieäc cuûa hoïc sinh coù theå ñöôïc toå chöùc döôùi caùc hình thöùc  
khaùc nhau nhö :  
Laøm vieäc caù nhaân : moãi hoïc sinh laøm vieäc moät caùch ñoäc laäp.  
Laøm vieäc hôïp taùc : hoïc sinh laøm vieäc theo nhoùm nhoû, thaûo luaän, trao ñoåi trong taát caû  
caùc pha cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
Ñan xen giöõa hai hình thöùc laøm vieäc treân.  
Ví duï : Giaùo vieân taïo tình huoáng gôïi vaán ñeà:  
Veõ leân baûng moät tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh töông öùng laø AB = c, AC = B  
vaø BC = a.  
Hoûi: ta ñaõ bieát coâng thöùc naøo cho pheùp tính ñoä daøi caïnh BC theo hai caïnh kia? Ñaùp  
2
2
2
aùn mong ñôïi laø ñònh lí Pythagore: a = b + c .  
Taïo tình huoáng coù vaán ñeà: Nhö vaäy, neáu bieát A laø goùc vuoâng vaø ñoä daøi hai caïnh keà  
noù thì ta coù theå tính ñöôïc ñoä daøi caïnh coøn laïi. Neáu, baây giôø vaãn cho bieát ñoä lôùn goùc A  
vaø ñoä daøi hai caïnh keà noù, nhöng A laø moät goùc baát kì, lieäu coù tính ñöôïc ñoä daøi caïnh thöù  
ba hay khoâng?  
Giaùo vieân trình baøy vaán ñeà:  
Cho tam giaùc ABC baát kì. Coù theå tìm ñöôïc hay khoâng coâng thöùc tính ñoä daøi caïnh BC  
neáu bieát ñoä daøi hai caïnh coøn laïi laø AC = b, AB = c vaø ñoä lôùn goùc A xen giöõa hai caïnh naøy?  
Hoïc sinh töï giaûi quyeát vaán ñeà vaø thöïc hieän vieäc ñaùnh giaù.  
Giaùo vieân thöïc hieän pha theå cheá hoaù baèng caùch trình baøy ñònh lí cosin trong tam giaùc,  
nhö laø keát quaû cuûa vieäc giaûi quyeát vaán ñeà treân.  
b) Vaán ñaùp ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
Hình thöùc naøy coù caùc ñaëc tröng sau:  
Giaùo vieân xaây döïng moät heä thoáng caâu hoûi ñeå gôïi yù, daãn daét hoïc sinh thöïc hieän taát caû  
caùc pha cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà, ngoaïi tröø pha theå cheá hoaù. ÔÛ möùc ñoä thaáp hôn  
thì chính giaùo vieân thöïc hieän vieäc taïo tình huoáng coù vaán ñeà vaø trình baøy vaán ñeà.  
Hoïc sinh, nhôø vaøo heä thoáng caâu hoûi gôïi yù daãn daét cuûa giaùo vieân maø töï giaùc vaø tích cöïc  
nghieân cöùu phaùt hieän, trình baøy vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
Tri thöùc khoâng ñöôïc cho döôùi daïng coù saün vaø tröïc tieáp, maø xuaát hieän trong quaù trình  
hình thaønh vaø giaûi quyeát vaán ñeà, ñöôïc khaùm phaù nhôø quaù trình töông taùc giöõa thaày vaø troø,  
trong ñoù troø ñoùng vai troø chính.  
c) Thuyeát trình ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
Laø caáp ñoä thaáp nhaát cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
Giaùo vieân thöïc hieän taát caû caùc khaâu cuûa hình thöùc daïy hoïc naøy: Taïo tình huoáng gôïi vaán  
ñeà, trình baøy vaán ñeà, trình baøy quaù trình suy nghó tìm kieám, döï ñoaùn caùch thöùc giaûi quyeát vaán  
ñeà (chöù khoâng ñôn thuaàn trình baøy lôøi giaûi), … Giaùo vieân trình baøy caû quaù trình tìm kieám cuûa  
18  
mình, c luùc thaønh coâng, coù luùc thaát baïi, coù luùc phaûi ñieàu chænh phöông höôùng nhieàu laàn môùi  
ñi ñeán keát quaû.  
Noùi caùch khaùc, giaùo vieân phaûi ñoùng vai moät hoïc sinh ñang tìm caùch phaùt hieän vaø giaûi  
quyeát vaán ñeà : töï ñaët ra cho mình caùc caâu hoûi, caùc nghi vaán, töï maøy moø tìm kieám caùc phöông  
aùn giaûi quyeát, roài töï traû lôøi, … Ñieàu quan troïng laø trong quaù trình naøy, giaùo vieân caàn ñeå laïi  
nhöõng “khoaûng laëng” ñeå cho hoïc sinh (ngöôøi hoïc) ñuû thôøi gian cuøng tham gia vaøo quaù trình suy  
nghó, tìm kieám caâu traû lôøi nhö chính hoïc sinh giaû töôûng, chöù khoâng cho caâu traû lôøi ngay sau khi  
vöøa ñaët ra moät caâu hoûi, moät nghi vaán naøo ñoù.  
Hoïc sinh theo doõi quaù trình nghieân cöùu ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà ñöôïc trình baøy bôûi  
giaùo vieân. Trong quaù trình naøy, hoï cuõng traûi qua nhöõng thôøi ñieåm, nhöõng caûm xuùc vaø thaùi ñoä  
khaùc nhau nhö moät hoïc sinh ñang thöïc söï tham gia quaù trình nghieân cöùu, nhöng khoâng tröïc  
tieáp giaûi quyeát vaán ñeà.  
Tri thöùc, maëc duø khoâng ñöôïc khaùm phaù bôûi chính hoïc sinh, nhöng cuõng khoâng ñöôïc  
truyeàn thuï döôùi daïng coù saün vaø tröïc tieáp, maø naûy sinh trong quaù trình ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà  
cuûa giaùo vieân.  
Caùc löu yù:  
a) Caàn phaân bieät hình thöùc vaán ñaùp ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà vôùi phöông phaùp ñaøm  
thoaïi (hay vaán ñaùp), hình thöùc thuyeát trình ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà vôùi phöông phaùp thuyeát  
trình. Nhöõng ñieåm khaùc bieät nhaát caàn nhaán maïnh laø:  
Trong daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà, ñieàu maáu choát laø phaûi taïo ra caùc tình huoáng  
gôïi vaán ñeà, nhö V. Okon (baûn dòch tieáng vieät cuûa Phaïm Hoaøng Gia, 1976) ñaõ vieát :  
Neùt baûn chaát cuûa daïy hoïc neâu vaán ñeà khoâng phaûi laø söï ñaët ra nhöõng caâu hoûi maø laø taïo  
ra caùc tình huoáng gôïi vaán ñeà” (V. Okon, 1976).  
Kieán thöùc xuaát hieän trong quaù trình ñaët vaø nghieân cöùu giaûi quyeát vaán ñeà.  
Hoïc sinh khoâng chæ lónh hoäi ñöôïc kieán thöùc môùi nhö laø keát quaû cuûa quaù trình giaûi  
quyeát vaán ñeà, maø coøn coù theå lónh hoäi ñöôïc tri thöùc phöông phaùp.  
Nhö vaäy, daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà döôùi hình thöùc vaán ñaùp (hay thuyeát trình)  
cuõng laø moät kieåu daïy hoïc theo phöông phaùp ñaøm thoaïi (hay thuyeát trình), nhöng ñieàu ngöôïc  
laïi chöa chaéc ñuùng.  
Phaùt bieåu sau ñaây cuûa I. Ia. Lecne (1981) veà hình thöùc Thuyeát trình ñaët vaø giaûi quyeát  
vaán ñeà cho pheùp hieåu roõ hôn söï khaùc bieät naøy:  
Baûn chaát cuûa hình thöùc naøy khoâng nhöõng nhaèm giôùi thieäu cho hoïc sinh caùch giaûi quyeát  
ñaõ coù ñoái vôùi caùc vaán ñeà nhaän thöùc khoa hoïc hay thöïc tieãn … maø coøn giuùp hoïc sinh hieåu logic,  
nhöõng maâu thuaãn vaø caùch giaûi quyeát nhöõng maâu thuaãn ñoù ”.  
b) Khaû naêng hoaït ñoäng moät caùch ñoäc laäp, tích cöïc vaø saùng taïo cuûa hoïc sinh tuyø thuoäc  
vaøo hình thöùc daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà. Chaúng haïn trong hình thöùc thuyeát trình,  
chính giaùo vieân thöïc hieän taát caû caùc böôùc cuûa quaù trình, hoïc sinh chæ theo doõi, laéng nghe vaø  
lónh hoäi laïi tri thöùc (keå caû tri thöùc phöông phaùp) ñöôïc truyeàn thuï tröïc tieáp töø giaùo vieân. Do  
vaäy, daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà döôùi hình thöùc thuyeát trình khoâng thuoäc vaøo nhoùm  
phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc. Tuy nhieân, noù cuõng cho pheùp phaùt huy tính tích cöïc cuûa hoïc  
sinh, vì trong quaù trình ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà cuûa giaùo vieân, hoïc sinh cuõng luoân ñöôïc ñaët  
19  
trong nhöõng tình huoáng khoù khaên, nghi vaán, tích cöïc suy nghó, … . Ngoaïi tröø vieäc giaûi quyeát  
caùc nghi vaán, vieäc ñöa ra phöông aùn giaûi quyeát khoù khaên, … laø do giaùo vieân thöïc hieän.  
c) Ta coù theå aùp duïng daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà khoâng chæ cho ñoái töôïng hoïc sinh  
khaù gioûi, maø coù theå cho caû caùc ñoái töôïng hoïc sinh khaùc. Chính vôùi hoïc sinh trung bình hay  
yeáu, vieäc aùp duïng hình thöùc naøy moät caùch thích hôïp vaø heä thoáng môùi hy voïng giuùp hoï daàn  
daàn thoaùt khoûi caùch hoïc thuï ñoäng vaø lónh hoäi kieán thöùc moät caùch tích cöïc hôn. Hôn nöõa, ôû caáp  
ñoä thaáp nhaát, vôùi hoïc sinh trung bình hay yeáu ta vaãn coù theå vaän duïng daïy hoïc ñaët vaø giaûi  
1
1
quyeát vaán ñeà döôùi hình thöùc thuyeát trình .  
d) Trong moät giôø leân lôùp, noùi chung ngöôøi ta khoâng söû duïng ñoäc nhaát moät phöông phaùp  
daïy hoïc. Do ñoù, daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà coù theå chæ xuaát hieän trong moät soá coâng  
ñoaïn cuûa giôø leân lôùp. Hôn nöõa, cuõng caàn traùnh quan ñieåm cöïc ñoan phaûi aùp duïng hình thöùc  
daïy hoïc naøy cho moïi noäi dung caàn giaûng daïy.  
Maët khaùc, ngay caû khi aùp duïng daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà thì ñoâi khi ta khoâng theå  
tuaân thuû cöùng nhaéc moät hình thöùc naøo trong ba hình thöùc treân. Tuyø dieãn tieán cuûa tình huoáng maø  
caùc hình thöùc naøy coù theå ñöôïc aùp duïng ñan xen nhau, hoã trôï cho nhau.  
e) Vieäc taïo ra moät tình huoáng gôïi vaán ñeà khoâng phaûi deã daøng. Quaû thöïc, laøm theá naøo  
ñeå vaán ñeà ñaët ra ñaûm baûo ñuû hai ñieàu kieän: gôïi nhu caàu nhaän thöùc vaø gaây nieàm tin ôû khaû  
naêng ? Ñoù laø moät caâu hoûi lôùn raát caàn thieát ñöôïc nghieân cöùu traû lôøi.  
Chính vì vaäy, trong thöïc teá daïy hoïc ôû tröôøng phoå thoâng, giaùo vieân thöôøng chæ môùi döøng  
laïi ôû möùc ñoä taïo ra ñöôïc tình huoáng coù vaán ñeà, chöù chöa phaûi laø tình huoáng gôïi vaán ñeà. Tuy  
nhieân, ngay caû khi chæ taïo ñöôïc tình huoáng coù vaán ñeà, thì vieäc aùp duïng ñuùng nhö caùc böôùc ñaõ  
neâu cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà cuõng mang laïi hieäu quaû cao hôn nhieàu so vôùi  
phöông phaùp daïy hoïc truyeàn thoáng.  
Caâu hoûi vaø baøi taäp  
1. Phaân tích caùc yù kieán sau :  
Phöông phaùp daïy hoïc cuûa giaùo vieân seõ laø phöông phaùp tích cöïc neáu giaùo vieân trình  
baøy baøi giaûng trong moâi tröôøng poiwerpoint vôùi vieäc aùp duïng caùc phaàn meàm daïy hoïc  
(nhö Cabri – Geùomeùtry, Maple, …).  
Giaùo vieân ñaõ aùp duïng phöông phaùp tích cöïc neáu trong giôø leân lôùp hoï daønh nhieàu thôøi  
gian cho hoïc sinh laøm baøi taäp vaø khuyeán khích ñöôïc nhieàu hoïc sinh tích cöïc phaùt bieåu  
tham gia xaây döïng baøi.  
2
3
4
. Hai khaùi nieäm sau coù ñoàng nhaát khoâng : Phöông phaùp daïy hoïc tích cöïc vaø Tính tích cöïc  
cuûa hoïc sinh. Laáy ví duï minh hoaï.  
. Phaân bieät caùc khaùi nieäm Vaán ñeà vaø Baøi toaùn, Tình huoáng coù vaán ñeà vaø Tình huoáng gôïi  
vaán ñeà.  
. Phaân tích caùc yù kieán sau :  
Trong daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà, hoïc sinh luoân hoaït ñoäng moät caùch ñoäc laäp, töï  
giaùc vaø saùng taïo.  
Trong daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà ñieàu quan troïng nhaát laø hoïc sinh lónh hoäi ñöôïc  
keát quaû cuûa quaù trình giaûi quyeát vaán ñeà.  
1
1
Tham khaûo theâm Nguyeãn Baù Kim (1991).  
20  
Muïc ñích chính cuûa daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà laø laøm sao cho hoïc sinh giaûi  
quyeát ñöôïc vaán ñeà ñaët ra.  
Phöông phaùp thuyeát trình vaø phöông phaùp ñaøm thoaïi khoâng theå hieän tinh thaàn cuûa daïy  
hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà.  
Chæ coù theå aùp duïng daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà ñoái vôùi ñoái töôïng hoïc sinh khaù  
gioûi.  
Daïy hoïc theo phöông phaùp truyeàn thoáng chæ cung caáp cho hoïc sinh caùc tri rthöùc söï vaät,  
maø khoâng cung caáp cho hoï tri thöùc phöông phaùp?  
Neáu daïy hoïc theo phöông phaùp truyeàn thoáng thì hoïc sinh khoâng theå hoaït ñoäng tích cöïc  
ñöôïc.  
Trong hoaøn caûnh daïy hoïc hieän nay ôû tröôøng phoå thoâng, khoâng theå aùp duïng daïy hoïc  
ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà ñöôïc.  
5
. ÖÙng vôùi moãi caùch taïo tình huoáng coù vaán ñeà trình baøy trong giaùo trình haõy cho moät ví duï  
minh hoaï (khoâng truøng vôùi ví duï ñaõ neâu).  
6. Xaây döïng moät hình thöùc daïy hoïc ñaët vaø giaûi quyeát vaán ñeà caùc noäi dung sau:  
Phöông trình löôïng giaùc cô baûn, tröôøng hôïp sinx = a (Ñaïi soá – Giaûi tích 11).  
Phöông phaùp quy naïp toaùn hoïc (Ñaïi soá – Giaûi tích 11).  
Ñònh lí sin trong tam giaùc (Hình hoïc 10).  
Ñònh lí ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai (Ñaïi soá 10).  
Phöông trình ñöôøng thaúng trong khoâng gian (Hình hoïc 12).  
3
2
7
. Cho baøi toaùn : Ruùt goïn bieåu thöùc Q = x x + 2  x + 2x (trình ñoä lôùp 9).  
Xeùt baøi laøm sau cuûa moät hoïc sinh:  
3
2
3
2
3
2
Q = x x + 2  x + 2x = x + 2x  x + 2x = 0.”  
Töø baøi laøm naøy haõy taïo ra moät tình huoáng gôïi vaán ñeà. Giaûi thích vì sao ñoù laø tình huoáng  
gôïi vaán ñeà.  
8
. Ñeå taïo moät tình huoáng coù vaán ñeà khi daïy hoïc ñònh lí sin trong tam giaùc, hai sinh vieân cho  
caùc phöông aùn sau:  
Sinh vieân 1:  
«
Chuùng ta ñaõ hoïc xong ñònh lí cosin trong tam giaùc, thì chuùng ta ñaõ bieát coâng thöùc ñònh lí  
cosin nhö theá naøo roài. Hoâm nay, chuùng ta seõ sang moät ñònh lí môùi cuõng töông töï nhö ñònh lí  
cosin, ñoù laø ñònh lí sin trong tam giaùc. Coâng thöùc ñònh lí laø:  
a
b
c
=
=
= 2R , trong ñoù R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC ».  
sin A sin B sin C  
Sinh vieân 2:  
Ta vöøa chöùng minh ñöôïc raèng neáu ABC laø moät tam giaùc vuoâng thì ta luoân coù heä thöùc:  
a
b
c
=
=
(*)  
sinA sinB sinC  
Heä thöùc (*) vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp ABC laø moät tam giaùc baát kì vaø hôn nöõa ta coù:  
a
b
c
=
=
= 2R  
sinA sinB sinC  
Trong ñoù, R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC. Ñieàu naøy ñöôïc theå hieän  
21  
qua moät ñònh lí coù teân laø ñònh lí sin, ñöôïc trình baøy ôû trang 46 saùch giaùo khoa, maø ta coâng  
nhaän khoâng chöùng minh. ».  
Haõy phaân tích caùc phöông aùn treân cuûa sinh vieân.  
9
. Xeùt moät baøi trong ñeà thi moân Phöông phaùp daïy hoïc toaùn naêm 2002/2003:  
Cho baøi toaùn: Giaûi phöông trình  
x + 3+ 4 x 1 + x +8 6 x 1 = 5 (1).  
vaø baøi laøm sau cuûa moät hoïc sinh:  
Pt (1)  x 1+ 2.2. x 1+ 4 + x 1 6 x 1+ 9 = 5  
«
2
2
( x 1 + 2) + ( x 13) = 5  
x 1 + 2 + x 1 - 3 = 5  
x 1 = 3  
x - 1 = 9 x = 10 ».  
Anh (chò) haõy taän duïng baøi laøm treân cuûa hoïc sinh ñeå taïo ra moät tình huoáng gôïi vaán ñeà. ”  
Anh (chò) haõy phaân tích phöông aùn cuûa hai sinh vieân sau ñaây.  
Sinh vieân 1:  
GV: Em haõy xem x = 1 coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình (1) hay khoâng ?  
HS: x = 1 laø nghieâm cuûa pt (1)  
GV: Em haõy xem laïi toaøn boä lôøi giaûi ñeå xem lôøi giaûi sai ôû ñaâu?  
Ñoù laø moät tình huoáng gôïi vaán ñeà vì, ….  
Sinh vieân 2:  
- Cho hoïc sinh caû lôùp nhaän xeùt lôøi giaûi vaø thöû laïi nghieäm x = 10 (duø caùc pheùp bieá ñoåi  
ñeàu töông ñöông).  
-
Neáu hoïc sinh vaãn khoâng nhaän ra sai laàm vaø khaúng ñònh lôùi giaûi ñuùng, thì yeâu caàu hoïc  
sinh thöû x = 5 vaøo pt (1) ñeå hoï nhaän ra raèng x = 5 cuõng laø moät nghieäm cuûa pt (1).  
Trong lôøi giaûi treân, caùc pheùp bieán ñoåi ñeàu töông ñöông. Vaäy taïi sao laïi maát nghieäm ?.  
22  
Phaàn 2  
CAÙC TÌNH HUOÁNG ÑIEÅN HÌNH  
TRONG DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG  
A. Daïy hoïc caùc khaùi nieäm toaùn hoïc  
1
2
.
.
Khaùi nieäm laø gì ?  
Theo Alain Rieunier (2001):  
Khaùi nieäm laø moät tö töôûng toång quaùt vaø tröøu töôïng ñöôïc gaùn cho moät lôùp caùc ñoái töôïng  
vaø duøng ñeå toå chöùc caùc kieán thöùc.  
Ñònh nghóa khaùi nieäm laø moät phöông tieän trình baøy tö töôûng naøy.  
Daïy hoïc moät khaùi nieäm laø daïy hoïc nghóa cuûa « töø » hay « cuïm töø » chæ khaùi nieäm aáy.  
Vai troø cuûa khaùi nieäm  
2.1. Khaùi nieäm vöøa laø saûn phaåm vöøa laø phöông tieän cuûa quaù trình tö duy  
Trong vieäc nhaän thöùc theá giôùi, con ngöôøi coù theå ñaït tôùi caùc möùc ñoä nhaän thöùc khaùc  
nhau, töø thaáp tôùi cao, töø ñôn giaûn ñeán phöùc taïp. Hai möùc ñoä nhaän thöùc theá giôùi cuûa con ngöôøi  
laø:  
Nhaän thöùc caûm tính (bao goàm caûm giaùc vaø tri giaùc), trong ñoù con ngöôøi phaûn aùnh  
nhöõng caùi beân ngoaøi, nhöõng caùi ñang tröïc tieáp taùc ñoäng ñeán caùc giaùc quan con ngöôøi.  
Nhaän thöùc lí tính (coøn goïi laø tö duy), trong ñoù con ngöôøi phaûn aùnh nhöõng caùi baûn chaát  
beân trong, nhöõng moái quan heä coù tính quy luaät.  
Tö duy laø möùc ñoä nhaän thöùc quan troïng, cô baûn nhaát cuûa con ngöôøi ñeå hieåu vaø caûi taïo  
theá giôùi.  
Keát qu cuûa haønh ñoäng (quaù trình) tö duy laø ñi ñeán nhöõng saûn phaåm trí tueä : khaùi nieäm,  
phaùn ñoaùn, suy luaän.  
Ñeán löôït mình, caùc khaùi nieäm, caùc phaùn ñoaùn ñaõ ñöôïc khaúng ñònh, caùc hình thöùc suy  
luaän laïi taïo cô sôû cho tö duy. Tö duy khoâng theå taùch rôøi khaùi nieäm, phaùn ñoaùn vaø suy luaän.  
Xeùt döôùi quan ñieåm cuûa logic hình thöùc, thì tö duy laø hôïp thaønh cuûa ba yeáu toá : khaùi  
nieäm, phaùn ñoaùn, vaø suy luaän.  
Nhö vaäy, khaùi nieäm laø moät yeáu toá khoâng theå thieáu trong hoaït ñoäng tö duy cuûa con  
ngöôøi.  
2
.2. Khaùi nieäm vöøa laø cô sôû cuûa khoa hoïc toaùn hoïc, vöøa laø ñoäng löïc phaùt trieån cuûa  
toaùn hoïc  
Duø cho nguoàn goác cuûa toaùn hoïc laø thöïc nghieäm, thì toaùn hoïc chuû yeáu vaãn laø moät khoa  
hoïc suy dieãn, nghóa laø moät khoa hoïc ñöôïc xaây döïng töø nhöõng khaùi nieäm cô baûn vaø nhöõng tieân  
ñeà nhôø vaøo vieäc aùp duïng nhöõng quy taéc vaø phöông phaùp suy luaän logic. Caùc khaùi nieäm hoïc  
tröôùc laø cô sôû xaây döïng caùc khaùi nieäm sau, caùc khaùi nieäm sau ñöôïc ñònh nghóa hay ñöôïc minh  
hoaï, moâ taû nhôø vaøo caùc khaùi nieäm hoïc tröôùc, chuùng taïo neân moät heä thoáng trong khoa hoïc  
toaùn hoïc maø ta coù theå sô ñoà hoaù nhö sau:  
23  
Heä tieân ñeà  
Logic  
Caùc khaùi nieäm cô baûn  
ñoái töôïng cô baûn, quan heä cô  
Caùc nhoùm tieân ñeà  
(
baûn)  
Caùc khaùi nieäm khaùc  
ñöôïc ñònh nghóa nhôø vaøo caùc  
Caùc ñònh lí  
(ñöôïc chöùng minh  
döïa vaøo caùc tieân ñeà)  
(
khaùi nieäm cô baûn)  
Nhö vaäy, caùc khaùi nieäm laø vaät lieäu cô sôû cuûa vieäc xaây döïng toaøn boä khoa hoïc toaùn hoïc.  
Maët khaùc, phaân tích lòch söû vaø khoa hoïc luaän toaùn hoïc chöùng toû raèng söï naûy sinh moät  
khaùi nieäm toaùn hoïc môùi thöôøng ñaùnh daáu moät giai ñoaïn phaùt trieån cuûa toaùn hoïc vaø laø neàn  
taûng cho böôùc phaùt trieån tieáp theo, chaúng haïn nhö caùc khaùi nieäm Soá phöùc, Giôùi haïn, Ñaïo  
haøm, …  
2.3. Hình thaønh caùc khaùi nieäm toaùn hoïc cho hoïc sinh laø moät trong nhöõng nhieäm vuï  
maáu choát cuûa daïy hoïc toaùn ôû tröôøng phoå thoâng  
Hai trong caùc muïc ñích chuû yeáu cuûa daïy hoïc toaùn ôû tröôøng THPT laø:  
Cung caáp cho hoïc sinh moät heä thoáng vöõng chaéc nhöõng kieán thöùc vaø kó naêng toaùn hoïc.  
Phaùt trieån ôû hoïc sinh nhöõng naêng löïc vaø phaåm chaát trí tueä. Chuû yeáu laø reøn luyeän caùc  
thao taùc vaø phaåm chaát tö duy, khaû naêng quan saùt vaø töôûng töôïng, reøn luyeän tö duy logic vaø  
ngoân ngöõ chính xaùc.  
Phaân tích ôû caùc muïc 2.1 vaø 2.2 cho thaáy raèng, vieäc hình thaønh caùc khaùi nieäm cho hoïc  
sinh laø vaán ñeà trung taâm cho pheùp ñaït ñöôïc caùc muïc tieâu naøy.  
Trong vieäc daïy hoïc toaùn, cuõng nhö vieäc daïy hoïc baát cöù moät khoa hoïc naøo khaùc ôû  
tröôøng phoå thoâng, ñieàu quan troïng baäc nhaát laø hình thaønh moät caùch vöõng chaéc cho hoïc sinh  
moät heä thoáng khaùi nieäm. Ñoù laø cô sôû cuûa toaøn boä kieán thöùc Toaùn hoïc cuûa hoïc sinh, laø tieàn ñeà  
quan troïng ñeå xaây döïng cho hoï khaû naêng vaän duïng caùc kieán thöùc ñaõ hoïc. Quaù trình hình  
thaønh caùc khaùi nieäm coù taùc duïng lôùn ñeán vieäc phaùt trieån trí tueä, ñoàng thôøi cuõng goùp phaàn giaùo  
duïc theá giôùi quan cho hoïc sinh (qua vieäc nhaän thöùc ñuùng ñaén quaù trình phaùt sinh vaø phaùt  
trieån cuûa caùc khaùi nieäm Toaùn hoïc)” (Hoaøng Chuùng, 1995, tr.116).  
3
.
Noäi haøm vaø ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm  
3
.1. Thuoäc tính baûn chaát vaø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm  
Thuoäc tính baûn chaát cuûa moät ñoái töôïng laø thuoäc tính gaén lieàn vôùi ñoái töôïng. Neáu maát  
thuoäc tính naøy, thì ñoái töôïng khoâng coøn laø noù, maø laø moät ñoái töôïng khaùc. Thuoäc tính baûn chaát  
laø ñieàu kieän caàn ñeå xaùc ñònh ñoái töôïng.  
Thuoäc tính baûn chaát cuûa moät khaùi nieäm laø thuoäc tính baûn chaát chung cuûa moïi ñoái  
töôïng ñöôïc phaûn aùnh trong khaùi nieäm.  
Thuoäc tính ñaëc tröng cuûa moät khaùi nieäm laø thuoäc tính maø chæ coù nhöõng ñoái töôïng ñöôïc  
phaûn aùnh trong khaùi nieäm môùi coù. Thuoäc tính naøy laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå xaùc ñònh ñoái  
töôïng.  
24  
Nhö vaäy, coù theå xem thuoäc tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm laø toå hôïp moät soá thuoäc tính  
baûn chaát cuûa noù.  
Ví duï: Moät soá thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm “Hình bình haønh” laø:  
Töù giaùc loài.  
Caùc caëp caïnh ñoái dieän song song vôùi nhau.  
Caùc ñöôøng cheùo caét nhau taïi ñieåm giöõa moãi ñöôøng.  
Caùc goùc ôû caùc ñænh ñoái dieän baèng nhau  
Caùc caïnh ñoái dieän baèng nhau.  
Moät soá thuoäc tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm naøy laø:  
Töù giaùc loài coù hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi ñieåm giöõa moãi ñöôøng.  
Töù giaùc loài coù ít nhaát moät caëp caïnh ñoái song song vaø baèng nhau.  
Töù giaùc loài coù caùc caëp caïnh ñoái dieän song song vôùi nhau.  
3.2. Noäi haøm vaø ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm  
Noäi haøm cuûa moät khaùi nieäm laø taäp hôïp taát caû caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm,  
nghóa laø taäp hôïp taát caû nhöõng thuoäc tính chung, baûn chaát cuûa taát caû caùc ñoái töôïng ñöôïc phaûn  
aùnh trong khaùi nieäm.  
Ngoaïi dieân (hay phaïm vi) cuûa moät khaùi nieäm laø taäp hôïp taát caû caùc ñoái töôïng coù  
nhöõng thuoäc tính chung baûn chaát ñöôïc phaûn aùnh trong khaùi nieäm.  
Tuy nhieân, taäp taát caû caùc thuoäc tính chung baûn chaát naøy thöôøng raát ñoà soä. Do vaäy, ta coù  
theå hieåu ngoaïi dieân cuûa moät khaùi nieäm laø taäp hôïp taát caû caùc ñoái töôïng coù ít nhaát moät thuoäc  
tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm ñoù.  
Ví duï : Caùc thuoäc tính sau naèm trong noäi haøm cuûa khaùi nieäm Caáp soá coäng :  
Laø moät daõy soá.  
Keå töø soá haïng thöù hai trôû ñi, moãi soá haïng ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc  
noù vôùi moät soá khoâng ñoåi.  
Keå töø soá haïng thöù hai trôû ñi (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá coäng höõu haïn) ñeàu laø  
trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà ngay beân noù.  
Ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm naøy laø taäp hôïp taát caû caùc caáp soá coäng.  
Quan heä giöõa noäi haøm vaø ngoaïi dieân : Noäi haøm caøng roäng thì ngoaïi dieân caøng heïp,  
noäi haøm caøng heïp thì ngoaïi dieân caøng roäng.  
Chaúng haïn, noäi haøm cuûa hình vuoâng chöùa noäi haøm cuûa hình chöõ nhaät, vì khaùi nieäm hình  
vuoâng c taát caû caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm hình chöõ nhaät, ngoaøi ra noù coøn coù caùc  
thuoäc tính khaùc maø hình chöõ nhaät khoâng coù nhö : “Taát caû caùc caïnh ñeàu baèng nhau” ; “Hai  
ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau”.  
Ngöôïc laïi, taäp hôïp taát caû caùc hình vuoâng (ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm hình vuoâng) laïi laø taäp  
con cuûa taäp hôïp taát caû caùc hình chöõ nhaät.  
3
.3. Khaùi nieäm loaïi vaø khaùi nieäm chuûng  
25  
Xeùt khaùi nieäm a coù ngoaïi dieân laø taäp hôïp A vaø khaùi nieäm b coù ngoaïi dieân laø taäp hôïp B.  
Neáu A  B thì ta noùi a laø khaùi nieäm loaïi cuûa khaùi nieäm B, coøn b ñöôïc goïi laø khaùi nieäm  
chuûng cuûa khaùi nieäm a.  
Ví duï : Khaùi nieäm töù giaùc laø khaùi nieäm loaïi cuûa khaùi nieäm hình bình haønh. Khaùi nieäm  
hình vuoâng laø khaùi nieäm chuûng cuûa khaùi nieäm hình thoi.  
4
.
Ñònh nghóa khaùi nieäm  
Ñònh nghóa moät khaùi nieäm laø moät thao taùc logic nhaèm phaân bieät lôùp caùc ñoái töôïng xaùc  
ñònh khaùi nieäm naøy vôùi caùc ñoái töôïng khaùc, thöôøng laø baèng caùch vaïch ra thuoäc tính ñaëc tröng  
cuûa khaùi nieäm ñoù.  
4
.1. Moät soá hình thöùc ñònh nghóa khaùi nieäm  
Sau ñaây laø moät soá caùch ñònh nghóa caùc khaùi nieäm thöôøng duøng ôû tröôøng phoå thoâng.  
a) Ñònh nghóa baèng caùch neâu roõ loaïi vaø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa chuûng  
Loâgic hình thöùc vaïch roõ raèng, ñònh nghóa moät khaùi nieäm khoâng nhaát thieát phaûi keøm theo  
vieäc neâu ra taát caû caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm ñoù. Vaû laïi, ñieàu naøy cuõng khoù coù theå  
thöïc hieän ñöôïc, vì taäp hôïp taát caû caùc thuoäc tính naøy (noäi haøm cuûa khaùi nieäm) thöôøng raát ñoà  
soä.  
Ñeå vöôït qua trôû ngaïi naøy, phöông phaùp khaù phoå bieán laø laøm roõ noäi haøm cuûa khaùi nieäm caàn  
ñònh nghóa baèng caùch chæ ra khaùi nieäm loaïi gaàn nhaát cuûa noù (noù thuoäc loaïi naøo) vaø daáu hieäu cho  
pheùp phaân bieät caùc ñoái töôïng ñöôïc phaûn aùnh trong khaùi nieäm caàn ñònh nghóa vôùi caùc ñoái töôïng  
khaùc thuoäc loaïi vöøa neâu. Ñoù chính laø caùch ñònh nghóa baèng caùch neâu roõ loaïi vaø thuoäc tính ñaëc  
tröng cuûa chuûng.  
Ta coù theå sô ñoà hoaù hình thöùc ñònh nghóa naøy nhö sau :  
Khaùi nieäm ñöôïc Def Khaùi nieäm loaïi  
Thuoäc tính ñaëc tröng  
cuûa chuûng (dieãn taû khaùc  
+
bieät veà chuûng)  
ñònh nghóa  
=
(khaùi nieäm ñaõ  
(khaùi nieäm môùi)  
bieát)  
(Def laø vieát taét cuûa töø deùfinition – ñònh nghóa, duøng ñeå phaân bieät ñònh nghóa vôùi meänh ñeà,  
ñònh lí).  
Ví duï : Ñònh nghóa khaùi nieäm Laêng truï ñöùng.  
Moät hình laêng truï ñöôïc goïi laø laêng truï ñöùng neáu caùc caïnh beân cuûa noù vuoâng goùc vôùi  
ñaùy” (Hình hoïc 11, NXB GD 2001).  
Ñònh nghóa naøy coù theå phaùt bieåu laïi döôùi daïng :  
Laêng truï ñöùng (Khaùi nieäm môùi)  
laø hình laêng truï (Khaùi nieäm loaïi)  
coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi (Thuoäc tính ñaëc tröng cuûa  
ñaùy. chuûng)  
Ñònh nghóa theo hình thöùc treân laø ñi töø khaùi nieäm coù ngoaïi dieân roäng hôn ñeán khaùi  
nieäm coù ngoaïi dieân heïp hôn vaø thöôøng ñöôïc duøng ñeå ñònh nghóa caùc khaùi nieäm ñoái töôïng.  
26  
Ví duï : Töù giaùc Hình bình haønh Hình chöõ nhaät Hình vuoâng.  
b) Ñònh nghóa baèng caùch neâu roõ thuoäc tính ñaëc tröng cuûa chuûng, coøn khaùi nieäm loaïi  
chæ xuaát hieän ngaàm aån  
Ví duï 1 : Ñònh nghóa khaùi nieäm Haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (a,b) (Ñaïi soá 10, NXB  
GD 2001) :  
Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a,b).  
Haøm s y = f(x) goïi laø ñoàng bieán (hay taêng) treân khoaûng (a,b) neáu vôùi moïi soá thöïc x vaø  
1
x thuoäc (a,b) ta coù : x > x  f(x ) > f(x )”.  
2
1
2
1
2
Ví duï 2 : Ñònh nghóa khaùi nieäm hai ñöôøng thaúng song song.  
Hai ñöôøng thaúng goïi laø song song neáu chuùng ñoàng phaúng vaø khoâng coù ñieåm chung”.  
(
Hình hoïc 12, NXB GD 2001).  
Caùc khaùi nieäm veà quan heä (nhö hai ñöôøng thaúng cheùo nhau, hai phöông trình töông  
ñöông, …) thöôøng ñöôïc ñònh nghóa döôùi hình thöùc naøy.  
Tröôøng hôïp ñaëc bieät : ñònh nghóa coù söû duïng caùc löôïng töø , ∃  
Ví duï : “Moät ñöôøng thaúng  goïi laø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) neáu noù vuoâng goùc vôùi  
moïi ñöôøng thaúng cuûa maët phaúng ñoù. (Hình hoïc 11. NXB GD 2001, tr. 60).  
c) Ñònh nghóa baèng kieán thieát  
Trong tröôøng hôïp naøy, ngöôøi ta khoâng vaïch roõ khaùi nieäm loaïi (noù thuoäc loaïi naøo) cuõng  
nhö caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa chuûng, maø moâ taû caùch taïo ra ñoái töôïng ñöôïc xem laø toång  
quaùt vaø ñaïi dieän cho lôùp caùc ñoái töôïng xaùc ñònh khaùi nieäm.  
Ví duï : “Cho hai hình troøn baèng nhau C(O,R) vaø C(O’,R’) coù truïc chung OO’. ÖÙng vôùi  
moãi ñieåm M thuoäc C(O,R), ta döïng ñieåm M’ sao cho MM ' = OO'. Khi ñieåm M chaïy khaép hình  
troøn C(O,R), ñoaïn MM’ taïo thaønh moät hình goïi laø hình truï troøn xoay (hình 5.2), ñöôïc goïi taét  
laø hình truï.” (Hình hoïc 11, NXB GD 1991, Traàn Vaên Haïo chuû bieân).  
d) Ñònh nghóa baèng truy hoài  
Coù theå xem ñaây laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa ñònh nghóa baèng kieán thieát.  
Ví duï : Daõy (u ) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau :  
n
u1 = a  
un+1 = f un vôùi n 1  
( )  
Trong ñoù f laø moät haøm soá.  
Toång quaùt hôn :  
u1 = a.  
un+1 = f(u ,u , … ,u ) vôùi moïi n  1, trong ñoù f laø moät haøm soá.  
1
2
n
e) Ñònh nghóa baèng quy öôùc  
Vaán ñeà laø neâu leân yù nghóa cuûa kí hieäu, cuûa danh töø maø ta môùi ñöa vaøo.  
27  
0 -1  
Ví duï: “Cho a laø soá thöïc khaùc 0. Ta ñònh nghóa a = 1, a =  
Vôùi n nguyeân döông lôùn hôn 1 ta ñònh nghóa  
1 .  
a
n
1
n
n
1  
⎛ ⎞  
= ”.  
a =  
(
a
)
a ⎠  
(
Ñaïi soá – Giaûi tích 11, NXB GD 1996, Traàn Vaên Haïo chuû bieân).  
12  
f) Ñònh nghóa baèng “phoâ baøy” (par ostension)  
Ñònh nghóa theo hình thöùc naøy khoâng vaïch roõ khaùi nieäm loaïi cuõng nhö caùc thuoäc tính  
baûn chaát cuûa khaùi nieäm, maø ñôn thuaàn chæ laø söï “daùn nhaõn” cho moät ñoái töôïng ñöôïc coi laø  
toång quaùt vaø ñaïi dieän cho lôùp caùc ñoái töôïng cuï theå xaùc ñònh khaùi nieäm ñoù.  
Ví duï : Ñònh nghóa caùc khaùi nieäm Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn  
Hình hoïc 10, NXB GD 2001), Phöông trình chính taéc cuûa Elip (Hình hoïc 12, NXB GD 2001)  
(
laø caùc ñònh nghóa baèng phoâ baøy.  
uuu ur uuur  
“Giaù trò MA.MB khoâng ñoåi noùi trong ñònh lí treân ñöôïc goïi laø phöông tích cuûa ñieåm M  
ñoái vôùi ñöôøng troøn O vaø kí hieäu laø M/(O).  
“Phöông trình treân goïi laø phöông trình chính taéc cuûa elip (E) ñaõ cho.”  
4
.2. Khaùi nieäm cô baûn (khaùi nieäm nguyeân thuyû)  
Ñònh nghóa moät khaùi nieäm ñoøi hoûi phaûi söû duïng moät soá khaùi nieäm ñaõ bieát tröôùc ñoù. Cöù  
tieáp tuïc nhö theá, aét phaûi ñi ñeán caùc khaùi nieäm xuaát phaùt ban ñaàu khoâng ñöôïc ñònh nghóa. Ta  
goïi ñoù laø caùc khaùi nieäm cô baûn (hay khaùi nieäm nguyeân thuyû) cuûa toaùn hoïc. Chaúng haïn nhö  
caùc khaùi nieäm Ñieåm, Ñöôøng thaúng, Maët phaúng, Taäp hôïp, Quy taéc, …  
Ví duï : “Giaû söû X vaø Y laø hai taäp hôïp soá.  
Moät haøm soá f töø X ñeán Y laø moät quy taéc cho öùng moãi giaù trò x X moät vaø chæ moät giaù trò  
y Y, maø ta kí hieäu laø y = f(x).” (Ñaïi soá 10, NXB GD 1990, Traàn Vaên Haïo chuû bieân).  
Ñònh nghóa khaùi nieäm haøm soá nhö vaäy ñaõ döïa treân moät khaùi nieäm khaùc, khoâng ñöôïc  
ñònh nghóa, ñoù laø khaùi nieäm “Quy taéc”.  
„
Chuù yù: Noùi caùc khaùi nieäm ñaàu tieân naøy khoâng ñöôïc ñònh nghóa, theo nghóa khoâng  
ñöôïc ñònh nghóa moät caùch “töôøng minh”. Vì thöïc ra, caùc khaùi nieäm naøy coù theå coù moät “ñònh  
nghóa” khoâng töôøng minh, thoâng qua moâ taû :  
Moät haït caùt raát nhoû, moät daáu chaám nhoû cuûa buùt chì treân tôø giaáy laø hình aûnh cuûa ñieåm.  
Moät phaàn sôïi chæ caêng thaúng, moät ñoaïn doøng keû laø hình aûnh cuûa moät phaàn ñöôøng thaúng. Moät  
maët baøn phaúng, moät maët hoà yeân laëng laø hình aûnh cuûa moät phaàn maët phaúng. (Hình hoïc 11,  
NXB GD 1991, Traàn Vaên Haïo chuû bieân).  
Trong toaùn hoïc, ngoaøi caùc khaùi nieäm ñöôïc ñònh nghóa vaø caùc khaùi nieäm cô baûn, cuõng  
coøn coù nhöõng khaùi nieäm khaùc, coù “Teân”, khoâng coù ñònh nghóa vaø ñöôïc söû duïng moät caùch  
töôøng minh, nhö khaùi nieäm “Tham soá”.  
4.3. Caáu truùc logic cuûa ñònh nghóa  
1
2
Hay : Ñònh nghóa baèng caùch chæ ra.  
28  
a) Ñoái vôùi ñònh nghóa neâu roõ loaïi vaø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa chuûng  
Goïi A laø ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm loaïi, B laø ngoaïi dieân cuûa khaùi nieäm chuûng (khaùi  
nieäm ñöôïc ñònh nghóa), P(x) laø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa chuûng (ñoái töôïng x coù tính chaát P), thì  
ñònh nghóa theo hình thöùc naøy coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng caáu truùc logic sau :  
Def  
B = {x A| P(x)}  
hay :  
Def  
x B (x A) ∧ P(x)  
Ví duï : Xeùt ñònh nghóa khaùi nieäm laêng truï ñöùng.  
Moät hình laêng truï ñöôïc goïi laø laêng truï ñöùng neáu caùc caïnh beân cuûa noù vuoâng goùc vôùi  
ñaùy”.  
Kí hieäu :  
A laø taäp hôïp taát caû caùc hình laêng truï,  
B laø taäp hôïp taát caû caùc hình laêng truï ñöùng,  
P(L) laø tính chaát : Laêng truï L coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy.  
Ta coù caáu truùc logic cuûa ñònh nghóa treân laø :  
Def  
Def  
B = {L  A| P(L)} hay L  B  (L  A) ∧ P(L)  
Chuù yù : Neáu kí hieäu :  
Q(L) laø tính chaát : L laø moät laêng truï ñöùng,  
R(L) laø tính chaát : L laø moät laêng truï coù caùc caïnh beân vuoâng goùc vôùi ñaùy.  
Thì ta laïi coù moät caáu truùc logic khaùc cuûa ñònh nghóa treân :  
Def  
Q(L) ⇔ R(L)  
b) Ñoái vôùi ñònh nghóa chæ neâu roõ thuoäc tính ñaëc tröng  
Caáu truùc logic cuûa chuùng thöôøng coù daïng :  
Def  
P(x,y) ⇔ Q(x,y) ∧ R(x,y)  
Ví duï : “Hai ñöôøng thaúng goïi laø song song neáu chuùng ñoàng phaúng vaø khoâng coù ñieåm  
chung” (Hình hoïc 12, NXB GD 2001).  
P(a,b) : Quan heä “Ñöôøng thaúng a song song vôùi ñöôøng thaúng b”  
Q(a,b) : Tính chaát : “hai ñöôøng thaúng a vaø b ñoàng phaúng”  
R(a,b) : Tính chaát : “Hai ñöôøng thaúng a vaø b khoâng coù ñieåm chung”.  
29  
Caáu truùc logic cuûa ñònh nghóa treân laø :  
Def  
P(a,b) ⇔ Q(a,b) ∧ R(a,b)  
5
. Cô cheá hoaït ñoäng vaø caùc hình thöùc theå hieän cuûa khaùi nieäm  
Hoaït ñoäng cuûa khaùi nieäm trong moät phaïm vi naøo ñoù bao haøm ñoàng thôøi caùch ñöa khaùi  
nieäm vaøo phaïm vi naøy, hình thöùc theå hieän vaø caùch toå chöùc cuûa khaùi nieäm trong phaïm vi, caùch  
söû duïng khaùi nieäm nhö laø coâng cuï giaûi quyeát caùc baøi toaùn, vaø caùch taùc ñoäng cuûa khaùi nieäm  
vôùi caùc khaùi nieäm khaùc (trong toaùn hoïc hay trong caùc khoa hoïc khaùc, …).  
Sau ñaây, ta ñeà caäp moät vaøi hình thöùc hoaït ñoäng vaø hình thöùc theå hieän toång quaùt nhaát  
cuûa khaùi nieäm.  
5.1. Cô cheá hoaït ñoäng cuûa khaùi nieäm  
R. Douady (1986) phaân bieät ba daïng (hay cô cheá) hoaït ñoäng khaùc nhau cuûa moät khaùi  
nieäm toaùn hoïc : cô cheá “Ñoái töôïng”, cô cheá “Coâng cuï ngaàm aån”, vaø cô cheá “Coâng cuï töôøng  
minh”.  
„
Cô cheá coâng cuï :  
Ta noùi, moät khaùi nieäm hoaït ñoäng döôùi daïng Coâng cuï khi noù ñöôïc söû duïng moät caùch  
ngaàm aån hay roõ raøng nhö phöông tieän ñeå giaûi quyeát moät baøi toaùn, moät vaán ñeà.  
Ta noùi ñeán Coâng cuï roõ raøng ñoái vôùi caùc khaùi nieäm ñöôïc vaän duïng bôûi chuû theå vaø chuû  
theå coù theå trình baøy, giaûi thích vieäc duøng chuùng.  
Ta noùi ñeán Coâng cuï ngaàm aån ñoái vôùi caùc khaùi nieäm ñöôïc vaän duïng ngaàm aån bôûi chuû  
theå, vaø chuû theå khoâng theå trình baøy hay giaûi thích vieäc söû duïng naøy.  
Ví duï 1 : Sau khi ñöa vaøo ñònh nghóa khaùi nieäm ñaïo haøm, khaùi nieäm naøy ñaõ ñöôïc söû  
duïng nhö coâng cuï töôøng minh trong vieäc giaûi quyeát caùc baøi toaùn tieáp tuyeán, khaûo saùt haøm soá,  
tính tích phaân, …  
Ví duï 2 : Moät giaùo vieân yeâu caàu hoïc sinh lôùp 7 (chöa hoïc veà soá voâ tæ) traû lôøi caâu hoûi :  
Toàn taïi hay khoâng moät hình vuoâng dieän tích baèng 12 cm ?”.  
2
Caâu traû lôøi cuûa moät hoïc sinh : “Moät hình vuoâng coù caïnh 3cm, thì dieän tích cuûa noù laø  
2
2
9
cm , moät hình vuoâng caïnh 4cm, thì dieän tích laø 16cm . Cho neân, khi caïnh thay ñoåi töø 3cm  
2
ñeán 4cm, phaûi coù moät luùc naøo ñoù dieän tích seõ laø 12cm ”.  
Moät soá khaùi nieäm toaùn hoïc hoaït ñoäng ngaàm aån nhö laø coâng cuï trong caâu traû lôøi naøy,  
chaúng haïn : Haøm soá (töông öùng giöõa kích thöôùc cuûa caïnh vaø dieän tích cuûa hình vuoâng) ; Haøm  
soá lieân tuïc treân moät khoaûng.  
„
Cô cheá ñoái töôïng :  
ÔÛ caáp ñoä tri thöùc khoa hoïc, moät khaùi nieäm hoaït ñoäng döôùi daïng Ñoái töôïng, theo nghóa  
moät ñoái töôïng vaên hoaù coù vò trí trong cô caáu toå chöùc roäng hôn, ñoù laø tri thöùc khoa hoïc ôû moät  
thôøi ñieåm ñaõ cho, ñöôïc thöøa nhaän bôûi xaõ hoäi. Chuùng laø ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa caùc nhaø  
toaùn hoïc.  
30  
Trong phaïm vi cuûa toaùn hoïc ôû tröôøng phoå thoâng, ta hieåu moät khaùi nieäm hoaït ñoäng döôùi  
daïng Ñoái töôïng khi noù laø ñoái töôïng ñöôïc nghieân cöùu (ñöôïc ñònh nghóa, ñöôïc khai thaùc caùc  
tính chaát, …).  
Ví duï:  
Khi ta ñöa ra ñònh nghóa khaùi nieäm Pheùp ñoái xöùng truïc vaø nghieân cöùu moät soá tính chaát  
cuûa noù (baûo toaøn khoaûng caùch, goùc, bieán ba ñieåm thaúng haøng thaønh ba ñieåm thaúng haøng vaø  
baûo toaøn thöù töï ba ñieåm thaúng haøng,..), khi ñoù, khaùi nieäm naøy ñang laø ñoái töôïng nghieân cöùu :  
hay noù ñang hoaït ñoäng döôùi daïng ñoái töôïng.  
Khi ta yeâu caàu hoïc sinh xeùt xem trong caùc töông öùng sau (bieán ñieåm M baát kì thaønh  
ñieåm M’ theo quy taéc theå hieän qua hình veõ), töông öùng naøo laø pheùp ñoái xöùng truïc, thì khaùi  
nieäm vaãn hieän dieän trong vai troø ñoái töôïng.  
Khi giaûi baøi toaùn : « Cho bai ñieåm phaân bieät A vaø B naèm veà cuøng moät phía cuûa ñöôøng  
thaúng d cho tröôùc. Tìm treân D ñieåm M thoaû maõn : khoaûng caùch MA + MB ñaït giaù trò lôùn  
nhaát. », neáu ta duøng pheùp ñoái xöùng truïc ñeå giaûi, thì khi ñoù khaùi nieäm naøy hoaït ñoäng nhö laø  
coâng cuï (hay coù cô cheá coâng cuï).  
5
.2. Caùc hình thöùc theå hieän khaùc nhau cuûa khaùi nieäm  
Theo Yves Chevallard (1991), moät khaùi nieäm toaùn hoïc coù theå theå hieän döôùi ba hình  
thöùc sau ñaây:  
Khaùi nieäm tieàn toaùn hoïc (protomatheùmatique) : khoâng teân, khoâng ñònh nghóa, hoaït  
ñoäng nhö moät coâng cuï ngaàm aån.  
Chaúng haïn khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc treân moät khoaûng ñaõ neâu ôû ví duï 2, muïc 5.1.  
Khaùi nieäm gaàn toaùn (paramatheùmatique) : coù teân, khoâng coù ñònh nghóa. Chuùng laø  
nhöõng khaùi nieäm coâng cuï cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc. Noùi chung, chuùng khoâng phaûi laø ñoái töôïng  
nghieân cöùu cuûa caùc nhaø toaùn hoïc.  
Chaúng haïn, khaùi nieäm Tham soá.  
Khaùi nieäm toaùn hoïc : Chuùng vöøa laø ñoái töôïng nghieân cöùu vöøa laø coâng cuï ñöôïc vaän  
duïng ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà. Chuùng coù teân vaø ñöôïc ñònh nghóa (theo nghóa chaët cheõ, hay  
theo kieåu quy öôùc, moâ taû, kieán thieát, …).  
Chuù yù : Caùc cô cheá hoaït ñoäng vaø caùc hình thöùc theå hieän cuûa moät khaùi nieäm chæ coù tính  
chaát töông ñoái. Vieäc phaân bieät phaûi caên cöù vaøo: caáp ñoä, nôi, thôøi gian, phaïm vi toaùn hoïc,…  
31  
Chaúng haïn, tröôùc ñaây khaùi nieäm chöùng minh laø moät khaùi nieäm gaàn toaùn, nhöng ngaøy  
nay noù laø khaùi nieäm toaùn hoïc, laø ñoái töôïng nghieân cöùu trong logic toaùn.  
6
. Caùc tieán trình khaùc nhau veà daïy hoïc khaùi nieäm  
Vieäc daïy hoïc caùc khaùi nieäm toaùn hoïc coù theå ñöôïc thöïc hieän theo nhöõng quy trình khaùc  
nhau. Nhöng noùi chung, ña soá caùc khaùi nieäm toaùn ôû tröôøng phoå thoâng, thöôøng ñöôïc daïy hoïc  
theo hai tieán trình cô baûn sau :  
Tieán trình : Ñoái töôïng Coâng cuï.  
Tieán trình : Coâng cuï Ñoái töôïng Coâng cuï.  
6.1. Tieán trình : Ñoái töôïng Coâng cuï  
Trong tieán trình naøy, khaùi nieäm xuaát hieän tröôùc heát vôùi cô cheá ñoái töôïng (noù laø ñoái  
töôïng nghieân cöùu), sau ñoù môùi ñöôïc söû duïng nhö laø coâng cuï ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà (toaùn  
hoïc hoaëc khoâng).  
ÔÛ ñaây, ta laïi phaân bieät hai con ñöôøng khaùc nhau trong tieán trình « Ñoái töôïng  Coâng  
cuï»: Con ñöôøng quy naïp vaø con ñöôøng suy dieãn.  
6
.1.1. Con ñöôøng quy naïp (Deùmarche inductive)  
„
Caùc giai ñoaïn chuû yeáu cuûa con ñöôøng naøy  
Böôùc 1: Nghieân cöùu moät soá tröôøng hôïp ñôn leû vaø phaùc thaûo ñònh nghóa.  
Giaùo vieân toå chöùc cho hoïc sinh nghieân cöùu moät soá ñoái töôïng ñôn leû thuoäc lôùp caùc ñoái  
töôïng xaùc ñònh khaùi nieäm caàn ñònh nghóa vaø moät vaøi ñoái töôïng khoâng thuoäc lôùp naøy, trong ñoù  
khaùi nieäm xuaát hieän döôùi hình thöùc « coù teân, nhöng chöa coù ñònh nghóa ». Teân cuûa khaùi nieäm  
do giaùo vieân thoâng baùo, nhöng chöa cho ñònh nghóa khaùi nieäm.  
Hoïc sinh, vôùi söï höôùng daãn cuûa giaùo vieân, seõ khaùm phaù daàn daàn caùc thuoäc tính baûn chaát  
cuûa khaùi nieäm (nhôø vaøo caùc thao taùc tö duy phaân tích, so saùnh, toång hôïp) theå hieän trong caùc  
tröôøng hôïp ñôn leû, cuï theå ñöôïc nghieân cöùu. Töø ñoùù, nhôø vaøo thao taùc khaùi quaùt hoaù, tröøu töôïng  
hoaù, hoïc sinh trình baøy phaùc thaûo ban ñaàu veà ñònh nghóa cuûa khaùi nieäm.  
Noùi caùch khaùc, hoïc sinh tieáp xuùc vôùi khaùi nieäm, tröôùc khi tìm caùch ñònh nghóa noù. Qua  
quan saùt, phaân tích caùc tröôøng hôïp ñôn leû maø hoïc sinh hình thaønh (hay ñieàu chænh) caùc bieåu  
1
3
töôïng veà ñoái töôïng ñöôïc phaûn aùnh trong khaùi nieäm ñeå ñi ñeán xaây döïng ñònh nghóa.  
Noùi caùch khaùc, khaùi nieäm ñöôïc tröøu töôïng hoaù khoûi caùc daáu hieäu ñôn leû cuûa caùc tri giaùc  
rieâng bieät vaø bieåu töôïng, laø keát quaû cuûa khaùi quaùt hoaù caùc tri giaùc vaø bieåu töôïng naøy.  
Chuù yù : Teân cuûa khaùi nieäm coù theå ñöôïc giaùo vieân thoâng baùo vaøo moät thôøi ñieåm thích hôïp  
khoâng coá ñònh) : ngay töø ñaàu, hoaëc sau khi hoïc sinh nghieân cöùu caùc tröôøng hôïp cuï theå ñaõ  
(
cho, …  
1
3
«
Luùc moät söï vaät khoâng ñöôïc nhìn nhaän qua nhöõng caûm giaùc vaø haønh ñoäng, maø vaãn gôïi neân söï toàn taïi cuûa noù, töùc  
laø ñaõ hình thaønh moät bieåu töôïng cuûa söï vaät aáy. Moät theá giôùi thöù hai, theá giôùi bieåu töôïng xuaát hieän ñi ñoâi vôùi theá giôùi  
cuûa caûm giaùc vaø vaän ñoäng (cuûa maét thaáy, tai nghe, tay sôø). Vaø töø ñoù, hoaït ñoäng cuûa con ngöôøi khoâng hoaøn toaøn leä  
thuoäc vaøo söï coù maët cuï theå cuûa söï vaät nöõa, maø coù theå vaän duïng nhöõng hình töôïng cuûa söï vaät saép ñi xeáp laïi trong  
«
ñaàu oùc » cuûa mình, tröôùc vaø sau haønh ñoäng cuï theå. » (Töø ñieån taâm lí – Nguyeãn Khaéc Vieän, NXB Vaên hoùa Thoâng  
tin, 2001).  
32  
Nhö vaäy, muïc ñích chính cuûa böôùc naøy laø:  
Hình thaønh (hay ñieàu chænh) bieåu töôïng veà khaùi nieäm.  
Phaùt hieän moät soá thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm.  
Phaùc thaûo ñònh nghóa khaùi nieäm.  
Böôùc 2: Trình baøy ñònh nghóa chính thöùc.  
Treân cô sôû phaùc thaûo ñònh nghóa cuûa hoïc sinh, giaùo vieân toå chöùc cho hoï tìm caùch boå  
sung, hoaøn chænh, sau ñoù trình baøy ñònh nghóa chính thöùc cuûa khaùi nieäm vaø caùc kí hieäu lieân  
quan.  
Böôùc 3: Cuûng coá vaø vaän duïng khaùi nieäm.  
Cho caùc ví duï, phaûn ví duï vaø caùc baøi taäp cuûng coá khaùi nieäm. Ngöôøi ta cuõng coù theå  
nghieân cöùu caùc thuoäc tính (tính chaát) khaùc cuûa khaùi nieäm (thöôøng ñöôïc cho döôùi daïng ñònh lí,  
heä quaû, …), hay coù theå ñöa vaøo caùc vaán ñeà trong ñoù khaùi nieäm ñöôïc söû duïng nhö laø coâng cuï  
ñeå giaûi quyeát.  
„
Sô ñoà hoaù tieán trình:  
Trong tieán trình naøy, khaùi nieäm xuaát hieän chuû yeáu nhö laø ñoái töôïng nghieân cöùu. Noù coù  
cô cheá coâng cuï chæ ôû nhöõng thôøi ñieåm maø ngöôøi ta söû duïng noù nhö laø phöông tieän ñeå giaûi  
quyeát caùc vaán ñeà.  
Nghieân cöùu caùc tröôøng hôïp ñôn  
leû ñeå :  
Phaùt hieän moät soá thuoäc tính  
baûn chaát cuûa khaùi nieäm.  
Hình thaønh (hay ñieàu chænh)  
bieåu töôïng veà khaùi nieäm.  
Phaùc thaûo ñònh nghóa khaùi  
nieäm.  
ª Khaùi nieäm coù cô  
cheá ñoái töôïng  
Trình baøy ñònh nghóa chính thöùc  
cuûa khaùi nieäm  
ª Cuûng coá  
ª Khaùi nieäm coù  
cô cheá coâng cuï  
ª Vaän duïng  
„
Ví duï : Daïy hoïc khaùi nieäm « Haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm ».  
Böôùc 1:  
+
Giaûi baøi toaùn : Cho caùc haøm soá sau  
2
y = f(x) = x  
(1) ;  
33  
2x neáu x 1  
y = f(x) =  
y = f(x) =  
(2) ;  
(3)  
3
neáu x =1  
x neáu x 1  
neáu x <1  
2
Ñoái vôùi moãi haøm soá ñaõ cho, haõy :  
a. Tính f(1).  
( )  
x
b. Tính lim f .  
x1  
( )  
x
c. So saùnh f(1) vaø lim f .  
x1  
d. Veõ phaùc ñoà thò cuûa haøm soá. Ñoà thò naøy coù laø moät ñöôøng lieàn neùt khoâng ?  
Phaùt hieän caùc thuoäc tính baûn chaát (hình thaønh bieåu töôïng) :  
+
Sau khi giaûi baøi toaùn treân, giaùo vieân cho hoïc sinh so saùnh ñaëc tröng cuûa caùc haøm soá ñaõ  
nghieân cöùu, vaø thoâng baùo : Haøm soá thöù nhaát ñöôïc goïi laø haøm soá lieân tuïc taïi ñieåm x = 1, caùc  
haøm soá khaùc goïi laø khoâng lieân tuïc taïi 1 (hay giaùn ñoaïn taïi 1).  
Höôùng daãn hoïc sinh neâu leân caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc taïi  
ñieåm x = 1. Töø ñoù baèng khaùi quaùt hoaù ñeå coù caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm haøm soá  
lieân tuïc taïi ñieåm x = x vaø phaùc thaûo ñònh nghóa khaùi nieäm naøy.  
0
Böôùc 2 : Trình baøy ñònh nghóa khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc taïi x döôùi daïng keânh lôøi nhö  
0
trong saùch giaùo khoa vaø döôùi daïng keânh hình (toùm taét ñònh nghóa).  
Böôùc 3 : Cho ví duï minh hoaï, cuûng coá. Nghieân cöùu moät soá ñònh lí cho pheùp vaän duïng  
khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc vaøo vieäc chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa phöông trình, …  
„
Ví duï 2 : Daïy hoïc khaùi nieäm « Hai goùc ñoái ñænh » ôû lôùp 7  
Böôùc 1 (laøm vieäc theo nhoùm)  
-
Pha 1 : Giaùo vieân thoâng baùo « Caùc caëp goùc ñöôïc ñaùnh soá sau ñaây laø caùc goùc ñoái ñænh.  
Haõy nghieân cöùu vaø ñeà xuaát moät ñònh nghóa : theá naøo laø hai goùc ñoái ñænh ? »  
-
Pha 2 : Giaùo vieân toång hôïp, phaân tích caâu traû lôøi cuûa caùc nhoùm vaø cho baøi toaùn môùi.  
Baøi toaùn : Trong caùc caëp goùc ñaùnh daáu sau ñaây, coù caùc caëp goùc laø caùc goùc ñoái ñænh,  
nhöng cuõng coù caùc caëp goùc khoâng phaûi laø caùc goùc ñoái ñænh. Döïa vaøo ñònh nghóa maø caùc em  
vöøa cho, haõy gaïch boû nhöõng caëp goùc khoâng phaûi laø caùc goùc ñoái ñænh.  
Neáu caùc em thaáy ñònh nghóa cuõ khoâng chính xaùc, thì coù theå cho ñònh nghóa môùi, vaø duøng  
ñònh nghóa môùi ñeå laøm coâng vieäc treân.  
34  
-
Pha 3 : Giaùo vieân thu laïi caùc caâu traû lôøi cuûa hoïc sinh vaø cho phieáu thoâng baùo keát quaû  
cuûa baøi taäp cho trong pha 2 (nhöng khoâng giaûi thích vì sao).  
-
Pha 4 : Hoïc sinh xem xeùt laïi ñònh nghóa cuûa chuùng ñeå ñieàu chænh neáu thaáy chöa chính  
Pha 5 : Hoïc sinh tranh luaän vaø thoáng nhaát moät ñònh nghóa.  
xaùc.  
-
Neáu ñoù laø ñònh nghóa mong ñôïi thì giaùo vieân chaáp nhaän  
Ngöôïc laïi, giaùo vieân tìm caùch taùc ñoäng (baèng caùch ñöa vaøo caùc ví duï hay phaûn ví duï  
môùi) ñeå ñieàu chænh vaø ñi ñeán ñònh nghóa mong ñôïi.  
Böôùc 2 : Neâu ñònh nghóa chính thöùc cuûa khaùi nieäm.  
Böôùc 3 : Cho caùc ví duï cuûng coá luyeän taäp, nghieân cöùu tính chaát khaùc, vaän duïng.  
Chaúng haïn hai baøi taäp cuûng coá sau ñaây.  
Baøi taäp 1 : Veõ goùc xBy, ñænh B, coù soá ño baèng 60°. Veõ goùc ñoái ñænh cuûa goùc xBy.  
Ñaët teân cho goùc ñoù. Hoûi goùc naøy coù soá ño baèng bao nhieâu ñoä ?  
Baøi taäp 2 : Trong hình sau, haõy chæ ra taát caû caùc caëp goùc ñoái ñænh.  
„
Nghieân cöùu bieåu töôïng ban ñaàu  
Thoâng thöôøng tröôùc khi hoïc moät khaùi nieäm naøo ñoù, ngöôøi hoïc ñaõ coù nhöõng bieåu töôïng  
ban ñaàu veà ñoái töôïng ñöôïc phaûn aùnh trong khaùi nieäm naøy. Caùc bieåu töôïng naøy ñöôïc hình  
thaønh qua tieáp xuùc vôùi nhöõng tình huoáng trong thöïc teá cuoác soáng, hay hoïc taäp ôû nhaø tröôøng,  
trong ñoù khaùi nieäm hieän dieän moät caùch ngaàm aån. Chuùng cuõng coù theå ñöôïc hình thaønh qua caùc  
baøi hoïc chính thöùc veà khaùi nieäm. Chaúng haïn, tröôùc khi daïy hoïc khaùi nieäm parabol ôû baäc  
THPT, hoïc sinh ñaõ coù nhöõng bieåu töôïng veà parabol töø lôùp 9.  
35  
Caùc bieåu töôïng ban ñaàu naøy coù theå chöa ñaày ñuû, thaäm chí sai leäch, khoâng phuø hôïp vôùi  
caùi maø ta muoán daïy. Do ñoù, vieäc hieåu ñöôïc bieåu töôïng ban ñaàu naøy cuûa ngöôøi hoïc tröôùc khi  
daïy hoïc khaùi nieäm trôû neân raát quan troïng. Vì noù cho pheùp chuùng ta löïa choïn vaø toå chöùc moät  
caùch thích hôïp quy trình daïy hoïc khaùi nieäm naøy. Noù cho pheùp bieát ñöôïc caùi maø ta caàn ñieàu  
chænh, caùi maø ta caàn cuûng coá, caùi ta caàn boå sung. Maët khaùc, noù cho pheùp thích öùng yù ñònh cuûa  
ngöôøi daïy vaøo vaán ñeà maø ngöôøi hoïc thöïc söï quan taâm.  
Ñeå coù ñöôïc nhöõng thoâng tin veà bieåu töôïng ban ñaàu naøy, ta coù theå :  
tham khaûo caùc coâng trình nghieân cöùu coù lieân quan ñeán khaùi nieäm,  
hoaëc töï mình thöïc hieän caùc nghieân cöùu,  
hoaëc ñôn giaûn chæ laøm moät vaøi thöû nghieäm tröôùc khi tieán haønh daïy hoïc khaùi nieäm,  
thoâng qua vieäc ñeà nghò hoïc sinh giaûi moät soá baøi taäp, traû lôøi moät soá caâu hoûi,…  
Ví duï 1 : Tröôùc khi hoïc khaùi nieäm ñoái xöùng truïc ôû lôùp 8, moãi hoïc sinh ñaõ coù nhöõng bieåu  
töôïng ban ñaàu naøo ñoù veà khaùi nieäm naøy, vì trong cuoäc soáng haøng ngaøy caùc em ñaõ tieáp xuùc  
vôùi raát nhieàu tình huoáng trong ñoù hình aûnh ñoái xöùng truïc theå hieän moät caùch ngaàm aån (khoâng  
ñònh nghóa).  
Nghieân cöùu cuûa Denis Grenier (1985) ñaõ ñaït ñöôïc nhöõng keát quaû khaù thuù vò.  
Baø ñeà nghò hoïc sinh lôùp 6, Coäng hoaø Phaùp giaûi baøi toaùn sau:  
«
Cho ñöôøng thaúng d vaø ñieåm A naèm ngoaøi d, nhö hình veõ sau:  
Döïng ñieåm A’ ñoái xöùng cuûa ñieåm A qua ñöôøng thaúng d. »  
Keát quaû : Nhieàu hoïc sinh ñaõ cho caâu traû lôøi nhö sau :  
Keát quaû naøy cho pheùp döï ñoaùn moät trong caùc nguyeân nhaân cuûa bieåu töôïng sai leäch naøy  
veà pheùp ñoái xöùng truïc laø : Trong caùc tình huoáng ñoái xöùng maø hoïc sinh ñaõ gaëp, caùc truïc ñoái  
xöùng luoân naèm theo phöông thaúng ñöùng. Do vaäy, bieåu töôïng sai leäch treân seõ caøng ñöôïc cuûng  
coá neáu trong daïy hoïc, ta chæ cho hoïc sinh gaëp caùc tình huoáng töông töï nhö vaäy, nhöng noù coù  
theå ñöôïc xoaù boû neáu giaùo vieân cho hoïc sinh tieáp xuùc vôùi caùc tình huoáng raát ña daïng, trong ñoù  
truïc ñoái xöùng coù theå naèm ngang, naèm theo phöông thaúng ñöùng, hoaëc naèm xieân.  
Ví duï 2: Tröôùc khi daïy khaùi nieäm hình vuoâng cho hoïc sinh THCS, ta thöïc hieän moät test  
sau ñaây, maø noù cho pheùp hieåu ñöôïc phaàn naøo bieåu töôïng cuûa hoïc sinh. (Hoïc sinh ñaõ tieáp xuùc  
vôùi hình vuoâng töø caáp tieåu hoïc).  
36  
Trong soá caùc hình sau, haõy toâ maøu caùc hình naøo laø hình vuoâng  
-
Neáu hoïc sinh toâ maøu caùc  
hình :  
thì ta coù theå chaån ñoaùn bieåu töôïng hình vuoâng ôû hoïc sinh naøy nhö sau : Ñoù laø hình coù boán goùc  
ñeàu vuoâng, hình ñöôïc ñaët theo höôùng ‘’thaúng”, söï baèng nhau cuûa caùc caïnh laø khoâng quan  
troïng.  
-
Neáu hoïc sinh toâ maøu caùc hình :  
thì ta chaån ñoaùn : Ñoái vôùi hoïc sinh naøy, hình vuoâng laø hình coù boán goùc ñeàu vuoâng.  
Vieäc nghieân cöùu caùc caâu traû lôøi naøy cho pheùp giaùo vieân tính ñeán nhöõng hình seõ ñeà nghò  
trong böôùc moät cuûa con ñöôøng quy naïp, sao cho noù cho pheùp laøm thay ñoåi ôû hoïc sinh nhöõng  
bieåu töôïng ban ñaàu sai leäch vaø cuûng coá caùc bieåu töôïng ñuùng.  
6
.1.2. Con ñöôøng suy dieãn (Deùmarche deùductive)  
Böôùc 1 : Phaùt bieåu ñònh nghóa khaùi nieäm.  
Khaùi nieäm xuaát hieän ngay töø ñaàu vôùi cô cheá ñoái töôïng.  
Böôùc 2 : Cuûng coá vaø vaän duïng khaùi nieäm  
Cho caùc ví duï minh hoaï (hôïp thöùc hoaù ñoái töôïng, nghóa laø chæ ra söï toàn taïi ñoái töôïng  
thoaû ñònh nghóa) vaø phaûn ví duï cho pheùp laøm roõ thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm.  
Cho caùc baøi taäp cuûng coá hoaëc ñöa vaøo caùc tính chaát khaùc cuûa khaùi nieäm, caùc baøi taäp  
vaän duïng.  
„
Sô ñoà hoaù tieán trình  
Phaùt bieåu ñònh nghóa  
khaùi nieäm  
ª Khaùi nieäm coù cô  
cheá ñoái töôïng  
ª Cuûng coá  
ª Khaùi nieäm coù cô  
cheá coâng cuï  
ª Vaän duïng  
„
Chuù yù : Trong caû hai con ñöôøng neâu treân cuûa tieán trình Ñoái töôïng Coâng cuï, khaùi  
nieäm xuaát hieän tröôùc heát nhö ñoái töôïng nghieân cöùu, sau ñoù noù môùi ñöôïc söû duïng nhö laø coâng  
cuï ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà (toaùn hoïc hoaëc khoâng).  
37  
Tuy nhieân, trong thöïc teá daïy hoïc hieän nay, thoâng thöôøng chuùng ta chæ döøng laïi ôû caáp ñoä  
ñoái töôïng », nghóa laø chæ ñi nghieân cöùu vaø cuûng coá nhöõng thuoäc tính cuûa chính ñoái töôïng,  
«
maø khoâng cho noù cô hoäi hoaït ñoäng nhö coâng cuï. Ñoù laø moät nhöôïc ñieåm cuûa caùch daïy hoïc  
truyeàn thoáng, vaø xa hôn laø nhöôïc ñieåm cuûa quan ñieåm muoán taùch rôøi Toaùn hoïc thuaàn tuyù vaø  
Toaùn hoïc öùng duïng.  
6.2. Tieán trình « Coâng cuï Ñoái töôïng Coâng cuï »  
Tieán trình naøy xuaát phaùt töø hai quan nieäm coù nguoàn goác khoa hoïc luaän :  
Trong lòch söû naûy sinh vaø phaùt trieån cuûa caùc ñoái töôïng toaùn hoïc, haàu heát caùc khaùi  
nieäm ñeàu xuaát hieän tröôùc heát trong cô cheá coâng cuï ngaàm aån sau ñoù chuùng môùi coù cô cheá ñoái  
töôïng (ñöôïc ñònh nghóa, ñöôïc nghieân cöùu caùc tính chaát, …). Khi ñaõ coù vò trí chính thöùc cuûa  
moät khaùi nieäm toaùn hoïc noù laïi ñöôïc söû duïng ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà khaùc (cô cheá coâng cuï  
töôøng minh).  
Trong toaùn hoïc, « Baøi toaùn », «  töôûng » vaø « Coâng cuï » hình thaønh neân ba thaønh  
phaàn chuû yeáu cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc, trong ñoù : Baøi toaùn laø ñoäng cô cuûa hoaït ñoäng, Coâng cuï  
laø phöông tieän giaûi quyeát vaán ñeà, YÙ töôûng laø trung gian giöõa Baøi toaùn vaø Coâng cuï. Trong moái  
quan h naøy, Baøi toaùn caàn giaûi quyeát ñoùng vai troø maáu choát vaø Coâng cuï chính laø maàm moáng  
cuûa ñoái töôïng tri thöùc môùi.  
„
Caùc giai ñoaïn chuû yeáu cuûa tieán trình « Coâng cuï Ñoái töôïng Coâng cuï »  
Trong vieäc daïy hoïc khaùi nieäm, hai quan ñieåm treân ñöôïc theå hieän qua caùc giai ñoaïn sau  
ñaây:  
Giai ñoaïn «Coâng cuï ngaàm aån» : Giaûi caùc baøi toaùn  
Trong giai ñoaïn naøy, vaán ñeà laø phaùt hieän vaø trình baøy caùc baøi toaùn caàn giaûi quyeát,  
khaùm phaù yù töôûng giaûi, töø ñoù xaây döïng coâng cuï giaûi quyeát baøi toaùn vaø tieán haønh giaûi.  
Khaùi nieäm seõ xuaát hieän moät caùch ngaàm aån trong giai ñoaïn naøy nhö laø coâng cuï giaûi caùc  
baøi toaùn. Noùi caùch khaùc noù thöôøng xuaát hieän nhö moät khaùi nieäm tieàn toaùn hoïc  
(
protomatheùmatique: chöa coù teân, chöa coù ñònh nghóa).  
Giai ñoaïn ñoái töôïng:  
Neâu teân vaø ñònh nghóa khaùi nieäm; nghieân cöùu caùc thuoäc tính, caùc tính chaát cô baûn cuûa  
khaùi nieäm; hoaït ñoäng cuûng coá böôùc ñaàu khaùi nieäm.  
Trong giai ñoaïn naøy, ta coù moät khaùi nieäm toaùn hoïc (ñaõ coù teân, coù ñònh nghóa), noù coù cô  
cheá Ñoái töôïng.  
Giai ñoaïn “coâng cuï töôøng minh”:  
Söû duïng khaùi nieäm nhö laø coâng cuï ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn khaùc nhau. Nhöng khaùc  
vôùi giai ñoaïn 1, baây giôø, noù hoaït ñoäng nhö moät coâng cuï roõ raøng.  
„
Sô ñoà hoaù tieán trình:  
38  
Giaûi caùc baøi toaùn  
ª Khaùi nieäm coù cô cheá  
coâng cuï ngaàm aån  
Trình baøy ñònh nghóa  
khaùi nieäm  
ª Khaùi nieäm coù cô cheá  
ñoái töôïng  
ª Cuûng coá  
ª Khaùi nieäm coù cô cheá  
coâng cuï töôøng minh  
ª Vaän duïng  
„
Ví duï 1 : Daïy hoïc khaùi nieäm Ñaïo haøm cuûa haøm soá.  
B1. Giai ñoaïn coâng cuï ngaàm aån: Giaûi caùc baøi toaùn.  
1) Vaän toác trung bình (nhaéc laïi)  
Moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng thaúng treân truïc OS coù phöông trình laø : S = f(t), trong ñoù S  
laø quaõng ñöôøng (tính theo m) vaø t laø thôøi gian (tính theo giaây).  
O
A
B
S
f(t0)  
f(t)  
f (t) f (t0 )  
laø vaän toác trung bình – ñaïi löôïng bieåu thò ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån  
t t0  
Vttb.t  
=
ñoäng trong khoaûng thôøi gian giöõa t vaø t (hay treân quaõng ñöôøng giöõa A vaø B).  
0
Caâu hoûi gôïi vaán ñeà:  
Ñaïi löôïng naøo bieåu thò ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng taïi chính thôøi ñieåm t0?  
2) Baøi toaùn vaän toác töùc thôøi.  
Baøi toaùn : Moät chaát ñieåm chuyeån ñoäng thaúng treân truïc OS coù phöông trình laø: S = f(t)  
Tìm ñaïi löôïng bieåu thò ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng taïi chính thôøi ñieåm t0.  
YÙ töôûng:  
f (t) f (t0 )  
caøng bieåu thò trung  
t t0  
+
Neáu khoaûng thôøi gian giöõa t vaø t caøng beù thì vttb.t  
=
0
thöïc hôn ñoä nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm t0.  
f (t) f (t0 )  
(neáu coù) chính laø ñaïi löôïng bieåu thò chính xaùc nhaát ñoä nhanh chaäm  
t t0  
cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm t0.  
+
lim  
tt  
0
f (t) f (t0 )  
trôû thaønh coâng cuï cho pheùp xaùc ñònh ñoä  
t t0  
Coâng cuï: Nhö vaäy, ñaïi löôïng lim  
tt  
0
nhanh chaäm cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm t . Ñaïi löôïng naøy ñöôïc goïi laø « Vaän toác töùc thôøi »  
0
cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm t (moät khaùi nieäm môùi ra ñôøi). Ñieàu naøy daãn tôùi ñònh nghóa  
0
sau:  
39  
f (t) f (t0 )  
t t0  
Ñònh nghóa: lim  
(neáu coù) ñöôïc goïi laø vaän toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng taïi  
tt  
0
thôøi ñieåm t , kí hieäu V (t ).  
0
TT 0  
f (t) f (t0 )  
Nhö vaäy: V (t ) = lim  
TT  
0
tt  
0
t t0  
Ví duï: Cho chaát ñieåm chuyeån ñoäng thaúng coù phöông trình laø S = f(t) = t² - t  
a) Tìm vaän toác trung bình trong khoaûng thôøi gian töø t = 3s ñeán t = 3,1s  
0
1
b) Tìm vaän toác trung bình trong khoaûng thôøi gian töø t = 3s ñeán t = 3,01s  
0
1
c) Tính vaän toác töùc thôøi cuûa chuyeån ñoäng taïi thôøi ñieåm t = 3 (s). So saùnh vôùi hai vaän  
0
toác trung bình tröôùc.  
) Baøi toaùn tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong.  
.1) Ñònh nghóa  
3
3
Cho ñöôøng cong phaúng (C). M laø moät ñieåm coá ñònh treân (C). M laø ñieåm di ñoäng treân  
0
(
C).  
Ñöôøng thaúng MM goïi laø caùt tuyeán cuûa (C).  
0
Khi M di chuyeån treân (C) veà M , neáu caùt tuyeán MM tieán tôùi moät vò trí giôùi haïn  
0
0
M T, thì M T ñöôïc goïi laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng cong (C) taïi M . M goïi laø tieáp ñieåm.  
0
0
0
0
y
f(x)  
M
T
M
0
0
f(x )  
0
x
0
x
x
3
Caâu hoûi gôïi vaán ñeà : laøm sao xaùc ñònh ñöôïc tieáp tuyeán naøy?  
.2) Heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng.  
Nhaéc laïi : Trong maët phaúng toaï ñoä, cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình y = ax + b.  
Khi ñoù soá a ñöôïc goïi laø heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng d. Ngöôøi ta chöùng minh ñöôïc a = tgϕ,  
trong ñoù ϕ laø goùc hôïp bôûi ñöôøng thaúng d vôùi chieàu döông cuûa truïc hoaønh.  
Chuù yù : moät ñöôøng thaúng hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm vaø heä soá goùc. Nhö  
vaäy, tieáp tuyeán taïi M hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát heä soá goùc cuûa noù.  
0
3
.3) Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán.  
Baøi toaùn : Xaùc ñònh heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong (C) phöông trình  
y = f(x).  
YÙ töôûng : Ñöôøng cong (C) coù phöông trình laø : y = f(x).  
M naèm treân (C)  M (x ; y ) vôùi y = f(x ).  
0
0
0
0
0
0
40  
M di ñoäng treân (C) M(x ; y) vôùi y = f(x).  
Khi M  M  Heä soá goùc cuûa caùt tuyeán MM  heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán MT.  
0
0
f (x)  f (x )  
0
Heä soá goùc cuûa MM laø : tgϕ =  
.
0
x x0  
f (x) f (x0 )  
x x0  
Vaäy heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán laø : k = xlimx  
.
0
f (x) f (x0 )  
laø coâng cuï cho pheùp tìm heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán.  
x x0  
Coâng cuï : xlimx  
0
Ví duï : Cho ñöôøng cong (C) coù phöông trình y = f(x) = x².  
a) Tìm heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x = 0.  
0
0
3
b) Xaùc ñònh tieáp tuyeán cuûa (C) taïi ñieåm M coù hoaønh ñoä x =  
. Veõ tieáp tuyeán naøy.  
0
0
2
3
4
3
x² −  
x −  
Giaûi : b) k = tgϕ = lim  
= 3 ;  
3
x→  
2
2
0
k = 3  tgϕ == 3  ϕ = 60 .  
Phöông trình tieáp tuyeán (phöông trình ñöôøng thaúng qua M vaø coù heä soá goùc k) laø  
0
3
3
y = 3 (x- 2 ) +  
.
4
„
B2. Giai ñoaïn ñoái töôïng.  
f (x) f (x0 )  
laø moät coâng cuï cho pheùp giaûi  
x x0  
Nhaän xeùt vaø neâu khaùi nieäm : Giôùi haïn xlimx  
0
quyeát raát hieäu quaû caùc baøi toaùn khoâng chæ trong toaùn hoïc (xaùc ñònh tieáp tuyeán, …), trong vaät  
lí (vaän toác töùc thôøi, gia toác, …), maø trong nhieàu ngaønh khoa hoïc khaùc, chaúng haïn trong hoaù  
hoïc (nhieät dung …). Chính taàm quan troïng cuûa noù, maø caùc nhaø baùc hoïc ñaõ gaùn cho giôùi haïn  
naøy moät caùi teân : Ñaïo haøm cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0.  
Neâu ñònh nghóa, tính chaát cuûa ñaïo haøm, caùc quy taéc tính ñaïo haøm, caùc baøi taäp veà tính  
ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá.  
Nhö vaäy, khaùi nieäm ñaïo haøm naûy sinh töø söï khaùi quaùt hoaù caùc giôùi haïn daïng  
(
f (x) f (x0 )  
lim  
).  
xx  
0
x x0  
„
B3. Giai ñoaïn taùc ñoäng nhö « coâng cuï töôøng minh » : ÖÙng duïng cuûa ñaïo haøm trong  
khaûo saùt haøm soá, trong giaûi gaàn ñuùng phöông trình, trong giaûi quyeát caùc baøi toaùn cuûa vaät  
lí, …  
Chuù yù : Trong thöïc teá, caùc giai ñoaïn treân khoâng phaûi luoân luoân ñöôïc trình baøy moät caùch  
lieân tuïc vaø tuyeán tính. Moät soá pha cuûa giai ñoaïn 2 vaø 3 coù theå xen keõ vaøo nhau, chöù khoâng  
phaûi luoân luoân toàn taïi ñoäc laäp. Ñoâi khi chuùng xuaát hieän ôû nhöõng phaàn khaùc nhau, ôû nhöõng  
caáp ñoä khaùc nhau.  
6.3. Toång keát vaø nhaän xeùt veà caùc tieán trình daïy hoïc caùc khaùi nieäm toaùn hoïc  
41  
14  
Taïo ñoäng cô môû ñaàu  
„
Hoïc sinh chæ hoïc taäp moät caùch töï giaùc vaø tích cöïc, khi hoï caûm thaáy coù nhu caàu vaø höùng  
thuù giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñaët ra.  
Ñeå laøm ñöôïc ñieàu ñoù, caàn laøm cho hoï thaáy raèng mình ñang thöïc söï thieáu huït kieán thöùc,  
thaáy ñöôïc vai troø, yù nghóa vaø lôïi ích cuûa nhöõng hoaït ñoäng maø hoï saép tieán haønh hay cuûa ñoái  
töôïng kieán thöùc môùi maø hoï saép lónh hoäi. Caûm giaùc thieáu huït kieán thöùc cuøng vôùi nieàm tin vaøo  
lôïi ích maø kieán thöùc môùi coù theå mang laïi seõ laø yeáu toá kích thích, gôïi ra ôû hoïc sinh ñoäng cô,  
nhu caàu, höùng thuù giaûi quyeát vaán ñeà hay tham gia vaøo hoaït ñoäng giaûi quyeát vaán ñeà cuûa giaùo  
vieân. Ñoù chính laø böôùc « Taïo ñoäng cô môû ñaàu» (böôùc 0).  
Caùc tieán trình daïy hoïc khaùi nieäm  
Ñoái töôïng Coâng cuï  
Quy naïp  
. Taïo ñoäng cô  
Suy dieãn  
. Taïo ñoäng cô  
. Trình baøy ñònh  
nghóa khaùi nieäm 1. Giaûi caùc baøi toaùn (coâng  
. Cuûng coá, vaän  
duïng khaùi nieäm  
Coâng cuï Ñoái töôïng →  
Coâng cuï  
0. Taïo ñoäng cô  
0
1
0
1
. Nghieân cöùu caùc  
tröôøng hôïp ñôn leû,  
phaùc thaûo ñònh  
nghóa khaùi nieäm  
. Trình baøy ñònh  
nghóa khaùi nieäm  
. Cuûng coá, vaän duïng  
khaùi nieäm  
2
cuï ngaàm aån)  
2. Trình baøy ñònh nghóa,  
nghieân cöùu caùc tính chaát,  
hoaït ñoäng cuûng coá khaùi  
nieäm.  
2
3
3
. Vaän duïng khaùi nieäm vaøo  
giaûi caùc baøi toaùn (coâng  
cuï töôøng minh)  
Taïo ñoäng cô nhö vaäy  
nhaém tôùi laøm cho nhöõng muïc tieâu sö phaïm cuûa giaùo vieân bieán thaønh muïc tieâu cuûa caù nhaân  
hoïc sinh.  
Trong moät tieán trình daïy hoïc khaùi nieäm, ta thöôøng boå sung theâm böôùc « Taïo ñoäng  
cô môû ñaàu » nhö vaäy.  
Ví duï 1 : Coù theå taïo ñoäng cô cho vieäc daïy hoïc khaùi nieäm caáp soá nhaân baèng caùch xuaát  
phaùt töø baøi toaùn thöïc teá sau ñaây.  
«
Moät ngaân haøng quy ñònh nhö sau veà vieäc göûi tieàn tieát kieäm kì haïn moät thaùng :  
Laõi suaát kì haïn moät thaùng laø 0,4%.  
Khi keát thuùc kì haïn göûi tieàn maø ngöôøi göûi khoâng ñeán ruùt tieàn thì toaøn boä soá tieàn (bao  
goàm caû voán laãn laõi) seõ ñöôïc chuyeån göûi tieáp cho kì haïn moät thaùng tieáp theo.  
Em haõy giuùp ngaân haøng naøy baèng caùch tìm moät coâng thöùc cho pheùp nhaân vieân cuûa hoï  
tính thaät nhanh toång soá tieàn (bao goàm caû voán laãn laõi) caàn traû cho moät khaùch haøng baát kì, bieát  
raèng :  
1
4
Tham khaûo chi tieát khaùi nieäm « Gôïi ñoäng cô » trong Nguyeãn Baù Kim (2004).  
42  
Khôûi ñaàu khaùch haøng naøy göûi vaøo soá tieàn laø N ñoàng.  
Khaùch haøng ñaõ göûi trong thôøi gian n thaùng.  
Keå töø ngaøy göûi cho ñeán thaùng thöù n naøy, ñaây laø laàn ñaàu tieân khaùch haøng tôùi ruùt  
tieàn.”  
Baøi toaùn naøy khoâng chæ cho pheùp taïo ñoäng cô ñöa vaøo khaùi nieäm caáp soá nhaân, maø coøn  
caû ñònh lí veà toång n soá haïng ñaàu tieân cuûa noù, duø raèng ôû thôøi ñieåm taïo ñoäng cô hoïc sinh chöa  
theå giaûi ngay ñöôïc baøi toaùn.  
Ví duï 2: Duøng caùc nghòch lí ñeå taïo ñoäng cô ñi vaøo nghieân cöùu khaùi nieäm giôùi haïn  
(
Tham khaûo Leâ Vaên Tieán, 2001).  
Nhaän xeùt:  
a) Tieán trình Ñoái töôïng Coâng cuï.  
Con ñöôøng quy naïp  
Öu ñieåm : Tröïc quan, phuø hôïp vôùi con ñöôøng nhaän thöùc : “Töø tröïc quan sinh ñoäng, ñeán  
„
tö duy tröøu töôïng vaø töø tö duy tröøu töôïng ñeán thöïc tieãn, ñoù laø con ñöôøng nhaän thöùc chaân lí”.  
Do ñoù deã hieåu hôn ñoái vôùi hoïc sinh. Cho pheùp reøn luyeän caùc thao taùc tö duy (phaân tích, so  
saùnh, toång hôïp, khaùi quaùt hoaù, tröøu töôïng hoaù, …), phaùt trieån khaû naêng quan saùt. Phuø hôïp vôùi  
ñoái töôïng hoïc sinh trung bình, yeáu. Neáu toå chöùc toát, deã phaùt huy tính tích cöïc hoaït ñoäng cuûa  
hoïc sinh.  
Khuyeát ñieåm : toán nhieàu thôøi gian.  
Con ñöôøng suy dieãn  
Öu ñieåm : Ngaén goïn, roõ raøng, saùng suûa vaø tieát kieäm thôøi gian. Giaùo vieân deã laøm chuû  
tieán trình daïy hoïc.  
Khuyeát ñieåm : Khaùi nieäm ñöôïc trình baøy döôùi hình thöùc phi hoaøn caûnh hoaù, phi caù nhaân  
hoaù, phi thôøi gian hoaù. Do ñoù, noù chæ mang nghóa hình thöùc. Hoïc sinh khoâng thaáy ñöôïc nguoàn  
goác naûy sinh vaø hình thaønh khaùi nieäm. Khoù hieåu ñoái vôùi hoïc sinh trung bình vaø yeáu. Khoù phaùt  
huy ñöôïc tính tích cöïc hoaït ñoäng vaø tính saùng taïo cuûa hoïc sinh. Khoù coù ñieàu kieän phaùt trieån  
caùc naêng löïc trí tueä chung nhö phaân tích, toång hôïp, so saùnh, khaùi quaùt hoaù, …  
b) Tieán trình Coâng cuï Ñoái töôïng Coâng cuï  
Öu ñieåm : Hoïc sinh thaáy ñöôïc con ñöôøng vaø lyù do naûy sinh cuûa khaùi nieäm. Do ñoù hoï coù  
höùng thuù hôn trong hoïc taäp vaø deã daøng naém ñöôïc nghóa cuûa khaùi nieäm. Hieåu saâu hôn baûn  
chaát cuûa khaùi nieäm. Coù nhieàu khaû naêng phaùt trieån naêng löïc vaø phaåm chaát tö duy. Phuø hôïp vôùi  
moïi ñoái töôïng hoïc sinh. Ñaëc bieät, neáu caùc baøi toaùn, caùc tình huoáng ñöôïc choïn vaø toå chöùc daïy  
hoïc moâ phoûng ñöôïc phaàn naøo lòch söû, nghóa laø phaûn aùnh ñöôïc phaàn naøo con ñöôøng naûy sinh  
vaø phaùt trieån cuûa khaùi nieäm trong lòch söû, thì ñieàu naøy taïo thuaän lôïi cho vieäc hình thaønh theá  
giôùi quan duy vaät bieän chöùng ôû ngöôøi hoïc. Coù ñieàu kieän phaùt trieån caùc naêng löïc vaø phaåm  
chaát tö duy: Tích cöïc, ñoäc laäp, saùng taïo …  
Khuyeát ñieåm: toán nhieàu thôøi gian, coâng söùc cuûa thaày vaø troø.  
„
Löu yù: Trong thöïc teá, khoâng phaûi luùc naøo cuõng chæ duøng ñoäc nhaát moät tieán trình daïy  
hoïc caùc khaùi nieäm. Maø caàn coù söï keát hôïp haøi hoaø giöõa ba tieán trình. Vieäc duøng moät tieán trình  
naøo ñoù phuï thuoäc vaøo nhieàu yeáu toá : trình ñoä hoïc sinh, ñieàu kieän thôøi gian, ñaëc tröng cuûa khaùi  
nieäm, …  
43  
7
.
Hoaït ñoäng cuûng coá böôùc ñaàu khaùi nieäm  
Vieäc cuûng coá khaùi nieäm laø moät quaù trình laâu daøi, coù theå traûi qua nhieàu giai ñoaïn, caáp  
ñoä khaùc nhau, keå caû khi ñònh nghóa khaùi nieäm vaø khi vaän duïng khaùi nieäm nhö laø coâng cuï  
(ngaàm aån hay töôøng minh) ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà khaùc.  
Tuy nhieân, ngay sau khi ñöa vaøo ñònh nghóa khaùi nieäm, raát caàn thieát giuùp hoïc sinh cuûng  
coá böôùc ñaàu khaùi nieäm baèng caùch cho hoï taäp luyeän moät soá trong caùc hoaït ñoäng sau ñaây:  
Phaân tích caùc thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm.  
Nhaän daïng vaø theå hieän khaùi nieäm.  
Xaây döïng thuaät toaùn (algorithme) nhaän daïng khaùi nieäm …  
Caùc hoaït ñoäng naøy lieân quan maät thieát vôùi nhau, hoã trôï nhau vaø coù theå xen keõ nhau.  
a) Phaân tích caùc thuoäc tính baûn chaát vaø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm  
Tröôùc khi daïy hoïc moät khaùi nieäm, giaùo vieân caàn nghieân cöùu caáu truùc logic cuûa ñònh  
nghóa ñeå hieåu ñöôïc caùc thuoäc tính baûn chaát vaø ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm. Töø ñoù coù bieän phaùp  
thích hôïp laøm cho hoïc sinh naém vöõng caùc thuoäc tính naøy baèng nhieàu caùch khaùc nhau. Chaúng  
haïn,  
Ñoïc laïi nhieàu laàn ñònh nghóa,  
Neâu taùch baïch töøng thuoäc tính baûn chaát cuûa khaùi nieäm, theå hieän trong ñònh nghóa,  
Vieát ñònh nghóa döôùi daïng keânh hình, …  
b) Hoaït ñoäng nhaän daïng vaø hoaït ñoäng theå hieän khaùi nieäm  
Nhaän daïng moät khaùi nieäm laø kieåm tra xem moät ñoái töôïng ñaõ cho coù thuoäc tính ñaëc  
tröng cuûa khaùi nieäm ñoù khoâng ?  
Trong hoaït ñoäng naøy, giaùo vieân neân ñöa ra caùc ví duï vaø phaûn ví duï raát ña daïng. Ñaëc  
bieät, caùc phaûn ví duï ñoùng moät vai troø raát quan troïng cho pheùp naém vöõng hôn caùc thuoäc tính  
baûn chaát vaø thuoäc tính ñaëc tröng cuûa khaùi nieäm.  
Theå hieän moät khaùi nieäm laø taïo ra caùc ñoái töôïng coù thuoäc tính ñaëc tröng ñöôïc phaûn aùnh  
trong khaùi nieäm.  
Ví duï : Xeùt caùc khaùi nieäm haøm soá chaün, haøm soá leû.  
Hoaït ñoäng nhaän daïng :  
Trong caùc haøm soá sau, haøm soá naøo laø haøm soá chaün, haøm soá naøo laø haøm soá leû :  
2
(
1) y = lg(x + x +1)  
(2) y = sinx – cosx  
4
+ x  4  x  
x 1  
2
5
(
3) y = -x x + x  
(4) y =  
4
2
x x + 4x + 4  
x + 2  
(5) y =  
”.  
Hoaït ñoäng theå hieän :  
Cho ví duï veà moät haøm soá leû, moät haøm soá chaün vaø moät haøm soá khoâng chaün khoâng leû.  
44  
Nhö vaäy, nhaän daïng vaø theå hieän laø hai kieåu hoaït ñoäng traùi ngöôïc nhau. Nhöng lieân  
quan maät thieát vôùi nhau vaø thöôøng loàng vaøo nhau. Hoaït ñoäng “theå hieän” moät khaùi nieäm ñaõ  
bao haøm trong ñoù hoaït ñoäng “nhaän daïng” vôùi tö caùch laø hoaït ñoäng kieåm tra. Chaúng haïn trong  
ví duï neâu treân, tröôùc khi trình baøy chính thöùc moät ví duï veà haøm soá leû (theå hieän), ta phaûi kieåm  
tra laïi xem haøm soá vöøa ñöa ra coù thoaû maõn caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa haøm soá leû khoâng  
(
nhaän daïng).  
15  
c) Xaây döïng thuaät toaùn (algorithme) nhaän daïng khaùi nieäm  
Hai trong caùc lôïi ích cuûa vieäc xaây döïng vaø vaän duïng thuaät toaùn nhaän daïng khaùi nieäm  
laø :  
Cho pheùp hoïc sinh naém vöõng hôn caùc thuoäc tính baûn chaát vaø thuoäc tính ñaëc tröng  
cuûa khaùi nieäm.  
Goùp phaàn hình thaønh vaø phaùt trieån tö duy thuaät toaùn, vaên hoaù thuaät toaùn.  
Thuaät toaùn naøy coù theå ñöôïc moâ taû baèng lôøi, baèng caùch neâu leân vaø nhaán maïnh caùc vieäc  
caàn thöïc hieän, thöù töï thöïc hieän ñeå nhaän daïng moät khaùi nieäm. Trong tröôøng hôïp coù ñuû thôøi  
gian vaø cô hoäi, coù theå trình baøy noù döôùi daïng töôøng minh hôn, nhö trong ví duï sau.  
Ví duï: Thuaät toaùn nhaän bieát khaùi nieäm haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm.  
„
*
*
Cho döôùi hình thöùc ngoân ngöõ töï nhieân (baûng chæ daãn caùc böôùc caàn thöïc hieän) :  
Böôùc 1 : Xeùt xem y = f(x) coù xaùc ñònh taïi x khoâng.  
0
Neáu khoâng, keát luaän f(x) khoâng lieân tuïc taïi x0.  
Neáu coù, tính f(x ) vaø ñi tieáp böôùc 2.  
0
Böôùc 2 : Tính lim f(x) .  
xx  
0
Neáu khoâng toàn taïi giôùi haïn höõu haïn lim f(x) , keát luaän f(x) khoâng lieân tuïc taïi x .  
0
xx0  
Neáu coù, ñi tieáp böôùc 3.  
*
Böôùc 3 : Xeùt xem lim f(x) = f(x ) ?  
0
xx  
0
Neáu khoâng, keát luaän f(x) khoâng lieân tuïc taïi x0.  
Neáu coù, keát luaän f(x) lieân tuïc taïi x0.  
„
Cho döôùi daïng sô ñoà khoái.  
1
5
ÔÛ ñaây, töø “Thuaät toaùn” ñöôïc hieåu theo nghóa roäng (tham khaûo phaàn C, chöông 4)..  
45  
Baét  
ñaàu  
y = f(x) ; x = x  
0
f(x) xaùc ñònh  
-
+
taïi x  
0
+
lim f(x)  
f(x) khoâng lieân  
tuïc taïi x  
xx  
-
-
0
0
höõu haïn  
+
lim f(x) = f(x )  
0
xx  
0
+
Keát  
thuùc  
f(x) lieân tuïc taïi x  
0
8
. Daïy hoïc phaân chia vaø heä thoáng hoaù khaùi nieäm  
.1. Phaân chia khaùi nieäm laø gì ?  
Ta noùi moät khaùi nieäm coù ngoaïi dieân A ñöôïc phaân chia thaønh caùc khaùi nieäm chuûng coù  
8
ngoaïi dieân töông öùng laø A , A ,… A khi caùc ñieàu kieän sau ñöôïc thoaû maõn :  
1
2
n
A  φ, i = 1, 2, … , n.  
i
A  A = φ neáu i  j.  
i
j
n
U A = A .  
i
i=1  
Baát cöù moät söï phaân chia naøo cuõng phaûi döïa treân moät tieâu chuaån (daáu hieäu) thoáng nhaát.  
Noùi caùch khaùc phaûi coù cô sôû ñeå phaân chia.  
Ví duï :  
Neáu döïa treân daáu hieäu “coù ít nhaát hai caïch song song vôùi nhau” thì khaùi nieäm töù  
46  
giaùc loài ñöôïc phaân chia thaønh hai loaïi khaùc nhau : Hình thang vaø nhöõng töù giaùc loài  
khoâng laø hình thang.  
Khi ta noùi, haøm soá coù hai loaïi : Haøm soá chaün vaø haøm soá khoâng chaün (treân mieàn xaùc  
ñònh cuûa noù), thì ta ñaõ thöïc hieän phaân chia khaùi nieäm haøm soá theo tieâu chuaån “tính  
chaün cuûa haøm soá treân mieàn xaùc ñònh cuûa noù”.  
Ta khoâng theå phaân chia lôùp caùc haøm soá thaønh haøm soá chaün vaø haøm soá leû (döïa vaøo  
tính chaün hay leû cuûa haøm soá), vì phaân chia naøy vi phaïm caû ñieàu kieän 3 vaø ñieàu kieän  
2. Quaû thöïc, coù nhöõng haøm soá khoâng chaün khoâng leû vaø coù nhöõng haøm soá vöøa chaün  
laïi vöøa leû.  
Phöông trình ña thöùc moät aån coù theå phaân chia thaønh: Phöông trình baäc nhaát, phöông  
trình baäc hai, phöông trình baäc 3, … Tieâu chuaån cuûa phaân chia naøy laø “Luyõ thöøa cao  
nhaát cuûa aån soá”.  
Phaân chia moät khaùi nieäm thöôøng ñöôïc thöïc hieän theo hình thöùc nhò phaân (pheùp nhò phaân).  
Cuï theå, döïa vaøo daáu hieäu , theo pheùp nhò phaân moät khaùi nieäm A ñöôïc phaân chia thaønh hai  
khaùi nieäm chuûng coù ngoaïi dieän A , A thoaû maõn 3 ñieàu kieän ñaõ neâu ôû treân (ta noùi, hai khaùi  
1
2
nieäm chuûng coù quan heä maâu thuaãn nhau). Moät khaùi nieäm chuûng coù thuoäc tính , khaùi nieäm thöù  
hai khoâng coù thuoäc tính naøy (xem hình döôùi ñaây). Chaúng haïn, trong ví duï treân, chæ hai tröôøng  
hôïp ñaàu laø ñöôïc phaân chia theo pheùp nhò phaân.  
Khoâng coù daáu hieäu ℘  
A
A2  
Coù daáu hieäu ℘  
A
1
Neáu thöïc hieän lieân tieáp nhieàu pheùp phaân chia khaùi nieäm, ta seõ coù moät heä thoáng caùc  
phaân chia. Heä thoáng naøy moâ taû moái quan heä chuûng loaïi giöõa nhieàu khaùi nieäm khaùc nhau.  
Ví duï : Sô ñoà sau minh hoaï moät heä thoáng phaân chia theo pheùp nhò phaân (doøng chöõ naèm  
ngoaøi oâ chæ daáu hieäu phaân chia töông öùng).  
47  
Töù giaùc  
Coù hai caïnh song  
Töù giaùc khoâng  
laø hình thang  
Hình thang  
Hai goùc ñaùy baèng nhau  
Hình thang khoâng caân  
Hình thang caân  
Coù moät goùc vuoâng  
Hình thang, khoâng chöõ nhaät  
Hình chöõ nhaät  
Hai caïnh keà baèng nhau  
Hình chöõ nhaät, khoâng hình vuoâng  
Hình vuoâng  
Chuù yù raèng vieäc phaân chia theo pheùp nhò phaân daãn ñeán hai khaùi nieäm chuûng coù quan heä  
maâu thuaãn nhau, nhöng thoâng thöôøng ta chæ quan taâm nghieân cöùu moät trong chuùng (chaúng  
haïn, trong sô ñoà treân hình thang ñöôïc phaân chia thaønh hình thang caân vaø hình thang khoâng  
caân, nhöng ta chuù troïng vaøo hình thang caân). Moãi khaùi nieäm chuûng naøy, ñeán löôït noù laïi coù  
theå coù nhöõng phaân chia khaùc nhau. Noùi caùch khaùc, ta coù theå thöïc hieän moät phaân chia “ña giai  
ñoaïn”. Keát quaû laø taïo neân moät hoï caùc khaùi nieäm.  
Maët khaùc, moät khaùi nieäm coù theå ñöôïc phaân chia theo nhieàu tieâu chuaån khaùc nhau.  
Vì vaäy, trong daïy hoïc, ñeå hoïc sinh naém ñöôïc quan heä giöõa caùc khaùi nieäm, ta thöôøng heä  
thoáng hoaù quan heä chuûng – loaïi giöõa chuùng theo moät caáu truùc “ña giai ñoaïn”. Trong ñoù, vôùi  
moãi böôùc phaân chia theo pheùp nhò phaân, ta chæ trình baøy moät khaùi nieäm chuûng, khaùi nieäm thöù  
hai laø ngaàm aån. Ñieàu naøy cho pheùp ñôn giaûn hoaù caáu truùc phaân chia vaø do ñoù laøm roõ hôn  
quan heä giöõa caùc khaùi nieäm ñaõ ñöôïc hoïc.  
Thöïc hieän moät söï phaân chia ña giai ñoaïn nhö vaäy chính laø hoaït ñoäng heä thoáng hoaù caùc  
khaùi nieäm.  
Ví duï : Sô ñoà sau (Hình hoïc 8, NXB GD 1999, tr. 51) theå hieän moät heä thoáng phaân loaïi  
ña giai ñoaïn.  
48  
2
caïnh song song  
2
goùc ñaùy  
2 caïnh beân  
song song  
baèng nhau  
coù 1 goùc vuoâng  
2
caïnh keà  
baèng nhau  
coù 1 goùc  
vuoâng  
coù 1 goùc  
vuoâng  
2
caïnh keà  
coù 1 goùc  
vuoâng  
baèng nhau  
Ghi chuù: Caùc doøng chöõ ñi keøm chæ daáu hieäu phaân chia töông öùng.  
8.2. Vai troø cuûa daïy hoïc phaân chia khaùi nieäm  
Daïy hoïc phaân chia khaùi nieäm khoâng chæ laø giôùi thieäu cho hoïc sinh nhöõng heä thoáng phaân  
chia ñaõ coù saün, duø raèng hieåu vaø nhôù ñöôïc heä thoáng phaân chia naøy seõ goùp phaàn hieåu vaø naém  
vöõng hôn caùc khaùi nieäm coù lieân quan. Vaán ñeà coát yeáu laø toå chöùc cho hoïc sinh tieán haønh chính  
hoaït ñoäng phaân chia naøy, khoâng chæ khi oân taäp moät chöông, oân taäp moät phaàn, maø vôùi moïi cô  
hoäi coù theå. Chaúng haïn, nhaân daïy hoïc moät khaùi nieäm môùi naøo ñoù, ta coù theå ñònh vò noù so vôùi  
moät soá khaùi nieäm ñaõ hoïc tröôùc ñoù.  
Nhieàu coâng trình nghieân cöùu ñaõ chöùng toû raèng vieäc naém vöõng ñònh nghóa cuûa moät khaùi  
nieäm khoâng ñuû cho pheùp naém vöõng khaùi nieäm ñoù. Ngöôøi ta chæ coù theå hieåu ñuùng baûn chaát  
cuûa khaùi nieäm khi naém vöõng hoaït ñoäng cuûa noù, bao haøm ñoàng thôøi caùch ñöa khaùi nieäm vaøo  
moät phaïm vi naøo ñoù, hình thöùc theå hieän vaø caùch toå chöùc cuûa khaùi nieäm trong phaïm vi naøy,  
ñaëc bieät laø caùch söû duïng khaùi nieäm nhö laø coâng cuï giaûi quyeát caùc baøi toaùn vaø caùch taùc ñoäng  
cuûa khaùi nieäm vôùi caùc khaùi nieäm khaùc khoâng chæ trong phaïm vi ñang xem xeùt, maø caû trong  
caùc phaïm vi khaùc.  
Nhö vaäy, vieäc daïy hoïc moät khaùi nieäm toaùn hoïc bao haøm caû vieäc laøm roõ moái quan heä  
cuûa noù vôùi caùc khaùi nieäm khaùc, tröôùc heát laø caùc khaùi nieäm coù quan heä chuûng - loaïi vaø thuoäc  
phaïm vi toaùn hoïc. Ñieàu naøy cho pheùp laøm saùng toû hôn noäi haøm vaø ngoaïi dieän cuûa khaùi nieäm  
ñang xem xeùt.  
Chính treân quan ñieåm naøy maø phaân chia khaùi nieäm laø moät trong caùc hoaït ñoäng cho  
pheùp laøm roõ hôn caùc moái quan heä giöõa caùc khaùi nieäm coù quan heä chuûng – loaïi nhö vaäy.  
Ngoaøi ra, noù cuõng cho pheùp phaùt trieån tö duy logic cho hoïc sinh.  
Naém vöõng caùch phaân chia khaùi nieäm cuõng giuùp cho vieäc giaûi caùc baøi toaùn döïng hình,  
baøi toaùn quyõ tích, baøi toaùn bieän luaän theo tham soá, baøi toaùn chöùng minh baèng phaûn chöùng,…  
moät caùch chính xaùc vaø ñaày ñuû, khoâng boû soùt tröôøng hôïp.  
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Caâu hoûi vaø baøi taäp  
1. Khaùi nieäm « OÂtoâ » laø:  
a) Baûn thaân töø OÂtoâ.  
b) Ñònh nghóa cuûa töø OÂtoâ.  
c) Taäp hôïp taát caû caùc OÂtoâ toàn taïi treân theá giôùi.  
d) Taäp hôïp taát caû caùc thuoäc tính maø taát caû caùc OÂtoâ ñeàu coù.  
e) Tö töôûng veà OÂtoâ maø moä