Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Đăng ngày 7/21/2016 7:19:43 AM | Thể loại: Đại số 8 | Chia sẽ bởi: HẢI HOÀNG ĐỨC | Lần tải: 62 | Lần xem: 0 | Page: 1 | Kích thước: 0.00 M | Loại file: doc

Chuyên đề hằng đẳng thức và ứng dụng

Chuyên đề :

HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

I. Kiến thức vận dụng:

1. Kiến thức cơ bản

Hs biết vận dụng 7 hằng đẳng thức để làm các bài tập cơ bản, bài tạp vận dụng, bài tập nâng cao. Biết nhận dạng một số bài toán có ứng dụng của hằng đẳng thức.

2. Kiến thức nâng cao:

Gv đưa vào 5 hằng dẳng thức nâng cao và một số bài toán vận dụng hằng đẳng thức đê ứng dụng làm các bài tập nâng cao.

3. Lý thuyết cơ bản

1.3: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng: =

2. Bình phương của một hiệu: =

3. Hiệu của hai bình phương:

4. Lập phương của tổng:

5. Lập phương của hiệu:

6. Tổng hai lập phương:

7. Hiệu hai lập phương:

*2.3; Một số hằng đẳng thức tổng quát

  1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + a bn-2 + bn-1)
  2. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)
  3. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 _ … + b2k)
  4. (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2+…+a2bn-2 +n a bn-1 + bn
  5. (a -b)n = an n an-1b + an-2b2- …-a2bn-2 +n a bn-1 - bn
  1. Bài tập vận dụng tại lớp:

A. Bài tập vận dụng lý thuyết:

Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :

1

2.

3.

4.

Bài tập 2. Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Giải

a/  A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

     A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

     A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)

    A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

     A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015

b/  B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

     B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

     B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

     B = …

     B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

     B = 264 – 1 – 264

     B = - 1

* Chú ý: Quan sát và  biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất  hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải

a/  A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3

Dấu  “ =” xảy ra  x – 2 = 0 x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.

b/  B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 >  - 16

Dấu  “ =” xảy ra  x – 4 = 0 x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16  khi x = 4.

c/  C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7

   Dấu  “ =” xảy ra  x – 2 = 0 x = 2

  Vậy giá trị  lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.

* Chú ý:

      Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  ta cần:

-          Chứng minh A > m với m là một hằng số.

-          Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

-          Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

      Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  ta cần:

-          Chứng minh A <  t với t là một hằng số.

-          Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

-          Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t  (kí hiệu maxA)

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu (a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac) thì a = b = c

Giải

                     (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac)

                  a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac

                  a2 +  b2 + c2- ab - bc – ac = 0

                  2a2 +  2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

                  (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ac + a2) = 0

                  (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0

                  (a – b)2 = 0 hay (b – c)2 = 0 hay  (c – a)2 = 0

                  a =  b hay b = c hay c = a

                  a = b = c

* Chú ý:

Quan sát và  biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các  hằng đẳng thức  

(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 5. Chứng minh rằng:

a/  7.52n + 12.6n  19   ( n N)

b/  11n+2 + 122n+1 133 ( n N)

Giải

a/  7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19

Vì  (25n – 6n) (25 – 6) nên (25n – 6n) 19 và 19.6n 19

Vậy 7.52n + 12.6n 19 (n N)

b/  11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n

                                      = 12.(144n – 11n) + 133.11n  133

Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133

* Chú ý:

Quan sát và  biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các  hằng đẳng thức 

an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)     do đó   (an – bn) (a- b)

Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng:   2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

Giải

 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

   (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0

   (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

     (x + y + z)2 = 0 ; (x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0

x = - 5 ; y = -3; z = 8

* Chú ý: Quan sát và  biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các  hằng đẳng thức  

(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Bài tập 7: Cho x =  ;  y = . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta có : y = = + 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay  xy + 4 = là số chính phương.

B. Ứng dụng hằng đẳng thức

Xét bài toán phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc

                 = [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)

                 = (a + b + c) [(a + b)2 c(a + b) + c2 ]– 3ab (a + b + c)

                 = (a + b + c) (a2 + 2ab + b2 – ac - ab + c2 - 3ab)       

                 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

                 = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

              (a + b + c) [(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2] = 0

               

              Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:

              Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

              Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

              Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình

              Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.

DẠNG 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ

Bài 1:               Phân tích đa thức (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.

              Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:

              (x - y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x - y) (y - z) (z - x)

Bài 2:              Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.

              Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3

              Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:

              (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + - y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 x2) (-y2 – z2) = 3(x2 + y2) (x + z)(x - z)(y2 +z 2)

Bài 3 : Phân tích đa thức (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử

              (x + y + z)3 – x3 - y3 - z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3.

              = (x + y)3 + 3 (x + y) (x + y + z) – x3 - y3 - z3

              = x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 - y3 - z3.

              = 3(x + y) (xy + yz + xz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x)

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

              (x + y + z)3 (x + y - z)3 -(xy + z)3 -(-x + y + z)3

              Đặt x + yz = a; xy + z = b, -x + y + z = c.

              =>x + y + z = a + b + c

              =>(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(a + c) = 24xyz

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

Bài 1: Cho tính P =

              Từ =>

              => P =

Bài 2: Cho abc 0, a3 + b3 + c3 = 3abc tính A =

              Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>

              Nếu a + b + c = 0 thì A =

              Nếu a = b = c thì A = (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 8

              => A có 2 giá trị: -1 và 8

Bài 3: Cho xyz 0  thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2. Tính P =

              Đặt a = xy, b = yz, c = zx.

              Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>

              Nếu a + b + c = 0 hay xy + yz + xz = 0 thì (x+z) y = -xz

              P =

                 =

              Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8

Bài 4: Cho a + b + c = 0 tính giá trị biểu thức A = (a - b)c3 + (b - c)a3 + (c - a)b3

              Ta biến đổi b - c = ba + a - c

              Ta được A = (a - b)c3 + (b - a)a3 + (a - c)b3 = (a - b)(b - c)(a - c)(a + b + c).

              Vì a + b + c = 0 -> A = 0

Bài 5: Cho x + y + z = 0 tính giá trị biểu thức B =

              vì x + y + z = 0 => x3 + y3 + z3 = 3xyz => B =

Bài 6: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c 0 tính giá trị biểu thức. M=

              ta có a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 abbc - ca) = 0

                          =

              Mà a + b + c 0  => (a + b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 => a = b = c

              => M =

Bài 7: Cho a + b + c = 0 (a 0; b 0; c 0) tính giá trị biểu thức

              A = ;  B =  

              Ta có A =  vi  a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc

              A =

              B =

              Từ a + b + c = 0 => a + b = - c => a2 + b2 + 2ab = c2 -> c2 - a2 - b2= 2ab

              TT: a2 - b2 - c2 = 2bc; b2 - c2 - a2 = 2ac

              Nên B = ta có a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc

              -> B =

Bài 8: Cho a + b + c= 0 tính giá trị biểu thức:

A =

Đặt B =

Ta có B .

= 1 +

Tương Tự . B . B.

              Bậy A =

              Vì a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = 3 +

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình  (3x – 2)2 – (x - 3)3 = (2x + 1)3.

(3x - 2)3 – (x - 2)3 = (2x + 1)3 => (3x - 2)3 – (x - 3)3 – (2x + 1)3 = 0

=> (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 0 =>

=> Nhận xét: Ta có 3x - 2 - x + x - 2x - 1 = 0 =>

Áp dụng nhận xét ta có (3x - 2)3 + (-x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x - 2)(-x + 3)(-2x - 1) = 0

=>(x + y)(-x + 2)(-y - 2) = 2

Vì x; y Z ta có: 2 = 1.1.2 = (-2)(-1).1 = (-1)(-1).2 = (-1)..2(-1)

chỉ xảy ra trường hợp      

  Chú ý:x = 2;y = -2 => phương trình vô nghiệm

KL: Phương trình có nghiệm  x = 0; y = -1

Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

               x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1

Ta có x3 + y3 + z3 - 3xyz = 1 <=>

(x + y + z) (x2 + y2 + z2 xyxz - yz) = 1

Ta xét x2 + y2 + z2 xyxz = [(x - y2 + (y- z)2 + (z - x)2 ] 0 nên chỉ có thể xảy ra

     

Từ 1 ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 1    3

Từ 2, 3 => xy + yz + zx = 0   <2 - 3>

Nên x2 + y2 + z2 = 1

giả sử x2 y2 z2

=>z = 0; y = 0; x = 1

Nếu không t/m

NếuT/m phương trình

và TH:   

DẠNG 4: CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC

Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả mãn a3 + b3 + c3 = 3abc.

              Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

              Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc

              Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC nên a + b + c 0 nên ta có a = b = c (a, b, c >0)

              => Là tam giác đều.

Bài 2: Cho a + bc + c + d = 0 cmr a3 + b3 + c3 + d3 = 3 (d + c) (ab - cd)

              Đặt c + d = x ta có a + b + x = 0 a3 + b3 + x3 = 3abx hay a3 + b3 + (c + d)3

              =3ab(c + d) a3 + b3 + c3 + d3 = 3ab (c + d) - 3cd(c + b)

              = 3(c + d)(ab - cd)

Bài 3: CMR nếu x + y + z = 0 thì 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

              từ x + y + z = 0 -x = y + z (y + z)5 = -x5.

              y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 + 5yz4 + z5 = -x5

              x5 + y5 + z5 + 5yz (y3 + 2yzz + 2yz2 + z3) = 0

              x5 + y5 + z5 + 5yz(y + z)(y2 + yz + z2) = 0

              2(x3 + y5 + z5) -  5yzx((y2 + z2) + (y + z)2)=  0

              2(x3 + y5 + z5)- 5yzx((x2 + y2 + z2)= 0

              2(x5 + y5 + z5) = 5yzx (x2 + y2 + z2) đpcm.

C. Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi đồng chất

Bài tập 1 : Cho , biết

a/ . Tính

b/ . Tính

a. Xét . Mà

b. (Tương t) Xét

Bài tập 2:

a/ Cho . Tính

b/ Cho . Tính theo a

a/ Ta có:

Ta có:                 

Vy

b/

Bài tập 3: Cho . Tính các biểu thức sau theo a

                   

D dàng chứng minh được, khi n>1, ta có:

Ta tính được        

Bài tập 4: Phân tích các số sau ra thừa số

a/

b/ à

c/

d/

e/

f/

Gợi ý:

a/ Thay

Sau khi thay, ta được

b/ Đáp s:

c/ Đáp s:

d/ Đáp s:

e/ Đáp s:

f/ Đặt

III. Bài tập nhà :

Nhớ kỹ các hằng đẳng thức đã học, hiểu và nắm vững các dạng bài tập đã làm ,vận dụng làm các bài tập:

156-164: Bài tập nâng cao và các chuyên đ.

67-70 : Sách 500 bài toán cơ bản và nâng cao.

103-106: Các bài toán hay và khó đại số 8.

S dụng kiến thức v hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân t để làm các bài tập sau.

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của x, y, z thoả mãn đẳng thức: (x – y + z)2 = x2 – y2 + z2

Bài 2 : Tìm các cặp s nguyên sao cho tổng hai s nguyên ấy bằng tích của chúng.

Bài 3: Cho ba s thực a, b, c tho mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng P = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bằng bình phương của một s thực.

Bài 4: Chứng minh rằng nếu x là một s t nhiên l thì A = x4 + 2x3 – 16x2 _ 2x + 15 chia hết cho 16.

Bài 5:Tìm GTNN (giá tr nh nhất) của đa thức f(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2040.

Bài 6: Biết x = y = 10. Tìm GTLN (giá tr lớn nhất) của P = xy.

Bài 7:Tìm đa thức dư trong phép chia (x2005 + x200 + x20 + x2): (x2 – 1).

Bai 8: Cmr : Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC tho mãn a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì tam giác ABC đều.

Bài 9: Cmr: Nếu a, b, c là 3 s tho mãn a + b = c thì ta có đẳng thức a2 + b2 + c2 + 2( ab – ac _ bc) = 0

Bài 10: Cmr nếu n là s t nhiên l thì:

                                                              A = n3 = 3n2 _ n  _ 3 chia hết cho 8.

IV. Kiến thức bổ sung:

Hướng dẫn HS tham khảo thêm một số bài toán về chứng minh chia hết có vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân t, trong tích có chứa thừa s hoặc nhân t cần cm chia hết. Một s bài toán v tìm GTLN; GTNN.

 

1

GV: Bùi Thanh Hoa _ Trường THCS Chất lượng cao Mai Sơn_Năm học 2012-2013

Đây là bản xem thử online, xin hãy chọn download miễn phí bên dưới để xem bản đẹp dạng .doc

giáo án Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ, Đại số 8. . nslide trân trọng giới thiệu đến bạn đọc tài liệu Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ .Để cung cấp thêm cho các bạn nguồn thư viện tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy, học tập và nghiên cứu khoa học, trân trọng kính mời các bạn đang cần cùng xem , giáo án Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ trong chuyên mục Đại số 8 được giới thiệu bởi thành viên HẢI HOÀNG ĐỨC đến thành viên nhằm mục đích nâng cao kiến thức , thư viện này đã đưa vào danh mục Đại số 8 , có tổng cộng 1 page, thuộc file .doc, cùng danh mục còn có Giáo án Toán học Toán 8 Đại số 8 ,bạn có thể download free , hãy giới thiệu cho cộng đồng cùng tham khảo Chuyên đề : HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG I, cho biết thêm Kiến thức vận dụng: 1, nói thêm là Kiến thức căn bản Hs biết áp dụng 7 hằng đẳng thức để làm những bài tập căn bản, bài tạp áp dụng, bài tập nâng cao, thêm nữa Biết nhận dạng một số bài toán có ứng dụng của hằng đẳng thức,còn cho biết thêm 2, nói thêm là Kiến thức nâng cao: Gv đưa vào 5 hằng dẳng thức nâng cao và một số bài toán áp dụng hằng đẳng thức https://nslide.com/giao-an/chuong-i-3-nhung-hang-dang-thuc-dang-nho.mdom0q.html