Đại số 10

ĐẠI SỐ 10

3

Chương I - MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Chương này củng cố, mở rộng hiểu biết của hóc sinh về Lí thuyết tập hợp đã được học ở các lớp dưới; cung cấp các kiến thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo cơ sở khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt các vấn đề một cách chính xác.

4

Bài 1 – MỆNH ĐỀ

I – MỆNH ĐỀ - MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

1. Mệnh đề

Câu hỏi 1: Nhìn vào hai bức tranh ở trên, hãy đọc và so sánh các câu ở bên trái và bên phải

Các câu ở bên trái là những khẳng định có tính đúng hoặc sai, cón các câu ở bên phải không thể nói là đúng hay sai. Các câu ở bên trái là những mệnh đề, còn các câu ở bên phải không là những mệnh đề.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Câu hỏi 2: Nêu ví dụ về những câu là mệnh đề và những câu không là mệnh đề.

2. Mệnh đề chứa biến

Xét câu “n” chia hết cho 3
Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên, với mỗi giá trị của n thuộc tập số nguyên, câu này cho ta một mệnh đề. Chẳng hạn

Với n = 4 ta được mệnh đề “4 chia hết cho 3” (sai)
Với n = 15 ta được mệnh đề “15 chia hết cho 3” (đúng)
Xét câu “2 + n = 5”

5

Cũng như trên, ta thấy với mỗi giá trịn của n thuộc tập số nguyên ta được một mệnh đề. Chẳng hạn
Với n = 1 ta được mệnh đề “2 + 1 = 5” (sai)
Với n = 3 ta được mệnh đề “ 2 + 3 = 5” (đúng)
Hai câu trên là những ví dụ về mệnh đề chứa biến

Câu hỏi 3: Xét câu “x > 3”. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai

II – PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

Ví dụ 1:

Nam và Minh tranh luận về loài Dơi.
Nam nói “Dơi là một loài chim”
Minh phủ định “ Dơi khong phải  là một loài chim”
Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Ví dụ 2:

6

Câu hỏi 4: Hãy phủ định các mệnh đề sau

III – MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Ví dụ 3:

Ai cũng biết “Nếu Trái Đất không có nước thì không có sự sống”
Câu nói trên là một mệnh đề dạng “Nếu P thì Q”, ở đây P là mệnh đề “Trái Đất không có nước”, Q là mệnh đề “(Trái đất) không có sự sống

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là P => Q
Mệnh đề P => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”

Câu hỏi 5:

Ví dụ 4:

7

Câu hỏi 6:

IV – MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Câu hỏi 7: Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề dạng P => Q sau

a) Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân

b) Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 60o.

Hãy phát biểu các mệnh đề Q => P tương ứng và xét tính đúng sai của chúng.

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương
Khi đó ta kí hiệu P <=> Q và đọc là P tương đương Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q.

Ví dụ 5:

a) Tam giác ABC cân và có một góc 60o là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều

b) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại

V – KÍ HIỆU VỚI MỌI VÀ TỒN TẠI

Ví dụ 6:

Câu “ Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0 là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

8

Câu hỏi 8: Phát biểu thành lời mệnh đề sau

Ví dụ 7:

Câu “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau

Câu hỏi 9: Phát biểu thành lời mệnh đề sau

Ví dụ 8:

Nam nói “Mọi số thực đều có bình phương khác 1”
Minh phủ định “Không đúng. Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1. Chẳng han số 1”.
Như vậy, phủ định của mệnh đề

Câu hỏi 10: Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau
P: “Mọi động vật đều di chuyển được”

Ví dụ 9:

Nam nói “Có một số tự nhiên n mà 2n = 1”
Minh phản bác “Không đúng. Với mọi số tự nhiên n, đều có 2n khác 1
Như vậy, phủ định của mệnh đề

9

Câu hỏi 11: Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau
P: “Có một học sinh của lớp không thích học môn Toán”

 

Bài tập

1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a)
b)

c)
d)

2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó.

a)
b)

c)
d)

3. Cho các mệnh đề kéo theo

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên)
Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên
b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”
c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”

4. Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

10

5. Dùng kí hiệu

a)
b)
c)

6. Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a)
b)

c)
d)

7. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó

a)
b)

c)
d)

 

Bài 2 – TẬP HỢP

I – KHÁI NIỆM TẬP HỢP

1. Tập hợp và phần tử

Câu hỏi 1: Nêu ví dụ về tập hợp. Dùng các kí hiệu thuộc và không thuộc để viết các mệnh đề sau

a)
b)

Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bảng của toán học, không định nghĩa

Giả sử cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a thuộc A. Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a không thuộc A

2. Cách xác định tập hợp

Câu hỏi 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp các ước nguyên dương của 30
Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp, ta viết các phần tử của nó trong hai dấu móc {…}, ví dụ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30}

11

Câu hỏi 3: Tập hợp B các nghiệm của phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 được viết là:

Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau
a) Liệt ke các phần tử của nó
b) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven như hình 1

3. Tập hợp rỗng

Câu hỏi 4. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A

Phương trình x2 + x + 1 = 0 không có nghiệm. Ta nói tập hợp các nghiệm của phương trình này là tập hợp rỗng.

Tập hợp rỗng, kí hiệu là, là tập hợp không chứa phần tử nào.
Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử.

II. TẬP HỢP CON

Câu hỏi 5. Biểu đồ minh họa trong hình 2 nói gì về quan hệ giữa tập hợp các số nguyên Z và tập hợp các số hữu tỉ Q? Có thể nói mỗi số nguyên là một số hữu tỉ hay không?

12

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết (đọc là A chứa trong B).

Thay cho, ta cũng viết (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A) (h.3a). Như vậy

Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết

Ta có các tính chất sau:

a)

b)

c)

III. TẬP HỢP BẰNG NHAU

Câu hỏi 6. Xét hai tập hợp. Hãy kiểm tra các kết luận sau

a)
b)

Khi A chứa B và B chứa A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.

Như vậy

13

BÀI TẬP

1. a) Cho A = { x thuộc N / x < 20 và x chia hết cho 3}.
Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A

    b) Cho tập hợp B = {2,6,12,20,30}
Hãy xác định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

    c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới 1m60

2. Trong hai tập hợp A và B dưới đây , tập hợp nào là tập hợp con của tập hợp còn lại ?
    Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?

    a)  A là tập hợp các hình vuông
         B là tập hợp các hình thoi

    b) A = {n thuộc N / n là 1 ước chung của 24 và 30}
         B = { n thuộc N / n là 1 ước của 6}

3) Tìm tất cả tập hợp con của tập hợp sau

a) A = {a,b}
b) B = {0,1,2}

 

BÀI 3 :  CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

I  - GIAO CỦA HAI TẬP HỢP

Câu hỏi 1 : Cho

A = {n thuộc N / n là ước số của 12}
B = {n thuộc N / n là ước số của 18}

a) Liệt kê các phần tử của A và của B
b) Liệt kê các phần tử của tập hợp C các ước chung của 12 và 18

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

Kí hiệu C =

14

II - HỢP CỦA HAI TẬP HỢP :

Câu hỏi 2 : Giả sử A , B lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, giỏi Văn của lớp 10E. Biết

A = {Minh, Nam , Lan, Hồng, Nguyệt}
B = {Cường , Lan, Dũng , Hồng , Tuyết, Lê}
(Các học sinh trong lớp không trùng tên nhau)

Gọi C là tập hợp đội tuyển thi học sinh giỏi của lớp gồm các bạn giỏi Toán hoặc giỏi Văn. Hãy xác định tập hợp C

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B

Kí hiệu C =

III - HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP :

Câu hỏi 3 : Giả sử tập hợp A các bạn học sinh giỏi của lớp 10E là

A = {An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý}
Tập hợp B các học sinh của tổ 1 lớp 10E là

B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ , Quý}
Xác định tập hợp C các học sinh giỏi của lớp 10E không thuộc tổ 1.

Tập hợp C gổm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B

15

Kí hiệu C = A \ B (phần gạch chéo trong hình 7)

BÀI TẬP

1) Kí hiệu A là tập hợp các chữ cái (không dấu) trong câu “CÓ CHÍ THÌ NÊN”, B là tập hợp chữ cái (không dấu) trong câu “CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM”. Hãy xác định

2) Vẽ lại và gạch chéo các tập hợp

3) Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa hạnh kiểm tốt. Hỏi:

a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng , biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt ?

b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được vếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

4) Cho tập hợp A, hãy xác định

 

16

BÀI 4. CÁC TẬP HỢP SỐ

I. CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC

Vẽ biểu đồ minh họa quan hệ bao hàm của các tập hợp số đã học.

1. Tập hợp các số tự nhiên N

N = {0, 1, 2, 3, …} ; N* = {1, 2, 3, …}

2. Tập hợp các số nguyên Z

Z = {…, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Các số -1; -2; -3; …là các số nguyên âm.
Vậy Z gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm

3. Tập hợp các số hữu tỉ Q

Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân sốa/b, trong đó a, b thuộc Z, b khác 0. Hai phân số a/b và c/d biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad = bc. Số hữu tỉ cũng biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1. 5/4 = 1,25 ; 5/12 = 0,41(6)

17

4. Tập hợp các số thực R

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Cac1 số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

Ví dụ 2.

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại (h.10).

II. CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R

Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực R (h.11)

Khoảng

Đoạn

Nửa khoảng

Kí hiệu

Ta có thể viết

18

BÀI TẬP

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

1.
a) [-3 ; 1) U (0; 4]

b) (0; 2)

c)

d)

e)

2.
a)

b)

c)

d)

3.
a)

b)

c)

d)

 

BẠN CÓ BIẾT -  CAN – TO

Can – to là nhà toán học Đức gốc Do Thái.
Xuất phát từ việc nghiên cứu các tập hợp vô hạn và các số siêu hạn , Can – to đã đặt nền móng cho việc xây dựng Lí thuyết tập hợp.

Lí thuyết tập hợp ngày nay không những là cơ sở của toán học mà còn là nguyên nhân của việc rà soát lại toàn bộ cơ sở logic của toán học . Nó có một ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ cấu trúc hiện đại toán học.

Từ những năm 60 của thế kỉ XX, tập hợp đưa vào giảng dạy trong trường phổ thông ở tất cả các nước. vì công lao to lớn của Can – to đối với toán học , tên của ông đã đặt cho một miệng núi lửa trên mặt trăng.

19

BÀI 5 -  SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ

I - SỐ GẦN ĐÚNG

Ví dụ 1 : Khi tính diện tích của hình tròn bán kính r = 2 cm theo công thức S =

Nam lấy một giá trị gần đúng của pi là 3,1 và được kết quả S = 3,1 . 4 = 12,4 (cm2)

Minh lấy một giá trị gần đúng của pi là 3,14 và được kết quả  S = 3,14 . 4 = 12,56 (cm2)

Vì pi = 3,141592653 … là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn , nên ta chỉ viết được gần đúng kết quả phép tính pi.r2 bằng một số thập phân hữu hạn.

Câu hỏi 1 : Khi đọc các thong tin sau, em hiểu đó là các số đúng hay gần đúng?
Bán kính đường xích đạo của trái đất là 6378 km
Khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất là 384 400 km
Khoảng cách từ Mặt Trằng đến Trái Đất là 148 600 000 km.

Để đo các đại lượng như bán kính đường xích đạo của trái đất , khoảng cách từ trái đất đến các vì sao,… người ta phải dùng các phương pháp và dụng cụ đo đặt biệt. Kết quả của phép đo phụ thuộc vào phương pháp đo và dụng cụ được sử dụng, vì thế thường chỉ là những số gần đúng.

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được số gần đúng.

II – SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:

1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng:

Ví dụ 2 : ta hãy xem trong hai kết quả tính diện tích hình tròn (r = 2cm) của Nam (S = 3,1 . 4 = 12,4) và Minh (S = 3,14 . 4 = 12,56), kết quả nào chính xác hơn.

20

Ta thấy

Do đó

Hay

Như vậy, kết quả của Minh gần đúng với kết quả hơn, hay chính xác hơn.Từ bất đẳng thức trên ta suy ra

Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối nhỏ hơn của Nam
Nếu a là số gần đúng của số đúng

2. Độ chính xác của một số gần đúng:

Ví dụ 3: Có thể xác định được sai số tuyệt đối của các kết quả tính diện tích hình tròn của Nam và Minh dưới dạng số thập phân không?

Vì ta không viết được giá trị đúng của S = 4pi dưới dạng một số thập phân hữu hạnnên không thể tính được các sai số tuyệt đối đó. Tuy nhiên, ta có thể ước lượng chúng, thật vậy

Do đó

Từ đó suy ra

Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,04, kết quả của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,2. Ta củng nói kết quả của Minh có độ chính xác là 0,04, kết quả của Nam có độ chính xác là 0,2.

Nếu

Câu hỏi 2. Tính đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 3cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. Cho biết

21

CHÚ Ý

Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong 1 phép đo đạc đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó.

Ta xét ví dụ sau : Các nhà thiên văn tính được thời gian để trái đất quay một vòng xung quanh mặt trời là 365 ngày  +- 1/4 ngày. Nam tính thời gian bạn đó đi từ nhà đến trường là 30 phút +- 1 phút.
Trong hai phép đo trên, phép đo nào chính xác hơn?

Phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối khôn vượt quá 1/4 ngày , nghĩa là 6 giờ hay 360 phút. Phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút.

thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chính xác hơn của các nhà thiên văn (so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên, 1/4 ngày hay 360 phút là độ chính xác của phép đo một chuyển động trong 365 ngày, còn 1 phút là độ chính xác của phép đo một chuyện động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số

ta phải nói phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn nhiều.
Vì thế ngoài sai số tuyệt đối

22

III – QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG:

1. Ôn tập quy tắc làm tròn số

Trong sách giáo khoa lớp 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau:

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các số bên phải nó bởi chữ số 0.

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm tròn như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

Chẳng hạn
Số quy tròn đến hàng nghìn của x = 2841675 là x gần bằng 2842000, của y = 432415 là y gần bằng  432000.

Số quy tròn đến hàng phần trăm của x = 12,4235 là x gần bằng 12,43; của y = 4,1521 là y gần bằng 4,15.

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước

Ví dụ 4 : Cho số gần đúng a = 2 841 275 với độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a.

Giải . vì độ chính xác đến hàng trăm (d=300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên.
Vậy số quy tròn của a là 2 841 000

Ví dụ 5 . Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết

Giải . Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001)nên ta qy tròn số 3,1463 đến hàng phần trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15.

Câu hỏi 3: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau :

a) 374 529 +- 200
b) 4,1356 +- 0,001

23

BÀI TẬP

1. Biết

Viết gần đúng theo nguyên tắc làm tròn với hai, ba, bốn chữ số thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối.

2. Chiều dài một cái cầu là l = 1745,25 m . Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 1745,25.

3.
a) Cho giá trị gần đúng của

b) Cho b = 3,14, và c = 3,1416 là những giá trị gần đúng của. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của b và c.

4. Thực hiện các phép tính sau trên máy tính bỏ túi (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân)

a)
b)

Hướng dẫn cách giải câu a). Nếu dùng máy tính Casio fx-500 MS ta làm như sau:

Ấn

Ấn liên tiếp phím Mode cho đến khi màn hình hiện ra

Ấn liên tiếp

5. Thực hiện phep1 tính sau trên máy tính bỏ túi:

a)

b)

c)

Hướng dẫn cách giải câu a). Nếu dùng máy tính Casio fx-500 MS ta làm như sau

Kết quả hiện ra trên màn hình là 0.000016.

24

ÔN TẬP CHƯƠNG I

1. Xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định theo tính đúng sai của mệnh đề A.

2. Thế nào là mệnh đề đảo của mệnh đề? Nếu là mệnh đề đúng, thì mệnh đề đảo của nó có đúng không? Cho ví dụ minh họa.

3. Thế nào là hai mệnh đề tương đương?

4. Nêu định nghĩa tập hợp con của một tập hợp và định nghĩa hai tập hợp bằng nhau.

5. Nêu các định nghĩa hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp. Minh họa các khái niệm đó bằng hình vẽ.

6. Nêu định nghĩa đoạn [a; b], khoảng (a; b), nửa khoảng [a; b), (a; b],. Viết tập hợp R các số thực dưới dạng một khoảng.

7. Thế nào là sai số tuyệt đối của một số gần đúng? Thế nào là độ chính xác của một số gần đúng?

8. Cho tứ giác ABCD. Xét tính đúng sai của mệnh đề

a) P: “ABCD là một hình vuông”.
Q: “ABCD là một hình bình hành”.

b) P: “ABCD là một hình thoi”
Q: “ ABCD là một hình chữ nhật”

25

9. Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau:

A là tập hợp các hình tứ giác
B là tập hợp các hình bình hành
C là tập hợp các hình thang

D là tập hợp các hình chữ nhật
E là tập hợp các hình vuông
G là tập hợp các hình thoi.

10. Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau

a) A = { 3k – 2 | k = 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) B = { }
c) C = { }

11. Giả sử A, B là hai tập hợp số và x là một số đã cho. Tìm các cặp mệnh đề tương đương trong các mệnh đề sau:

P
Q
R

S
T
X

12. Xác định các tập hợp sau

a)
b)
c)

13. Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để tìm giá trị gần đúng a của (kết quả được làm tròn đến số thập phân thứ ba). Ước lượng sai số tuyệt đối của a.

14. Chiều cao của một ngọn đồi là h = 347,13 m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13.

15. Những mối quan hệ nào trong các quan hệ sau là đúng ?

a)
b)
c)
d)
e)

26

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

16. Chọn các số thực a, b, c, d và a < b < c < d. Ta có

(A)

(B)

(C)

(D)

17. Biết P => Q là mệnh đề đúng. Ta có

(A) P là điều kiện cần để có Q
(B) P là điều kiện đủ để có Q
(C) Q là điều kiện và đủ để có P
(D) Q là điều kiện đủ để có P.

 

BÀI ĐỌC THÊM : HỆ NHỊ PHÂN

Cách ghi số thường dùnh hiện nay (hệ ghi số thập phân) do người Hin-đu Ấn Độ phát minh vào đều thế kỷ IX. Để ghi tất cả các số tự nhiên, người Hin-đu dung 10 kí hiệu (sau này ta gọi là 10 chữ số) như sau:

Các số được ghi thành hàng , kể từ phải sang trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần trước nó.

Cách ghi số của người Hin-đu được truyền qua Ả Rập rồi sang châu Âu và nhanh chóng được thừa nhận trên toàn thế giới vì tính ưu việt của nó so với các cách ghi số trước đó. Cách ghi số cổ nhất còn được dùng ngày nay là hệ ghi số La Mã nhưng cũng chỉ mang ý nghĩa trang trí, tượng trưng.

Trải qua nhiều thế kỉ, 10 chữ số của người Hin-đu được biến đổi nhiều lần ở các quốc gia khác nhau, rồi đi tới thống nhất trên toàn thế giới là các chữ số

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9

Người Hin-đu ghi số theo nguyên tắc nào?

Ta hãy xét 1 số cụ thể , chẳng hạn số 2745. Ta nói số này gồm 2 nghìn, bảy trăm, bốn mươi , và năm đơn vị, hay có thể viết

2745 = 2.103 + 7.102 + 4.10 + 5

27

Tổng quát, cơ sở cho cách ghi số của người Hin-đu là một định lí sau

“Mỗi số tự nhiên a khác 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng

a = an.10n + an-1.10n-1 + … + a1.10 + a0

trong đó 0

Khi a có thể biểu diễn như vậy, ta viết
Và nói đó là cách ghi số a trong hệ thập phân.

Tuy nhiên, định lí trên vẫn đúng khi ta thay 10 bởi số nguyên  g > 1 tùy ý. Mỗi số tự nhiên a khác 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng

a = an.gn + an-1.gn-1 + … + a1.g + a0

trong đó
khi a có thể biểu diễn như vậy, ta viết

Và nói đó là cách ghi số a trong hệ g- phân. ; a0, a1,…,an gọi là các hữ số của số a. Vì

Để biểu diễn số tự nhiên a trong hệ g- phân, ta thực hiện phép chia liên tiếp a và các thương nhận được cho g.

Ví dụ . Biểu diễn 10 trong hệ nhị phân (g = 2)

Ta có

Viết dãy các số dư theo thứ tự từ dưới lên ta được sự biểu diễn của 10 trong hệ nhị phân. 10 = 10102

Trong hệ nhị phân chỉ có 2 chữ số 0 và 1 và mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một dãy kí hiệu 0 và 1. Một dãy kí hiệu 0 và 1 có thể biểu thị bởi một dãy bong đèn với quy ước bong đèn sang biểu thị chữ số 1, bóng đèn tắt biểu thị chữ số 0.

28

Điều đó giải thích vì sao hệ nhị phân được sử dụng trong công nghệ thông tin.
Bảng dưới đây cho sự biểu diễn các số từ 0 đến 15.

Việc thực hiện các phép tính trong hệ nhị phân cũng tương tự như trong hệ thập phânnhưng dễ dàng hơn nhiều vì bảng cộng và bảng nhân (cộng và nhân các chữ số) trong hệ nhị phân rất đơn giản.

Để cộng hai số bất kì trong hệ nhị phân, ta đặt phép tính như trong hệ thập phân và chú ý rằng 1 + 1 = 10 (viết 0 nhớ 1)

29

Ví dụ

Còn đối với phép nhân ta chỉ cần thực hiện các phép dịch chuyển và phép cộng.

Ví dụ

Như vậy, các phép tính trong hệ nhị phân được tiến hành theo những quy tắc đơn giản, do đó dễ “dạy” cho máy thực hiện. Đó cũng là lí do để sử dụng hệ nhị phân trong công nghệ thông tin.

 

BẠN CÓ BIẾT - HỆ GHI SỐ AI CẬP

Nói đến Ai Cập, ta nghĩ ngay đến các Kim tự tháp huyền bí. Chúng chứng tỏ rằng từ thời xa xưa ở nơi  đây đã có một nền văn minh rực rỡ.

Từ khoảng 3400 năm trước Công nguyên, người Ai Cập đã có một hệ thống ghi số gồm 7 kí hiệu , có giá trị tương ứng như sau

30

Từ 7 kí hiệu trên các số được ghi theo nguyên tắc cộng tính, nghĩa là giá trị của một số bằng tổng các giá trị các kí hiệu có mặt trong số đó. Ví dụ

= 1 000 000 + 100 000 + 10 000 + 10 000 + 10 + 1 + 1
= 1 120 012

31

CHƯƠNG II -  HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Trong chương trình Toán trung học cơ sở, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

Chương này ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số đã học.

32

BÀI 1 : HÀM SỐ

I – ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ :

1. Hàm số. Tập xác định của hàm số

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Ví dụ 1. BẢng dưới đây trích từ trang wweb của Hiệp hội lien loanh Việt Nam – Thái Lan ngày 26 – 10 – 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ năm 1995 đến năm 2004.

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y) và thời gian x (tính bằng năm). Với mỗi giá trị x thuộc D = { 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2004} có một giá trị duy nhất y. Vậy ta có một hàm số. Tập hợp D là tập xác định của hàm số này.

Các giá trị y = 200; 282; 295; … được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng, tại x = 1995; 1996; 1997;…

Câu hỏi 1. Hãy nêu một ví dụ thực tế về hàm số.

2. Cách cho hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau.

Hàm số cho bằng bảng.

Hàm số trong ví dụ trên là một hàm số được cho bằng bảng.

33

Câu hỏi 2. Hãy chỉ ra các giá trị của hàm số trên tại x = 2001; 2004 ; 1999.

Hàm số cho bằng biểu đồ

Ví dụ 2 : Biểu đồ dưới (h.13) (trích từ sách Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mô tả số công trình khoa học kỹ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng Tạo Khoa Học Công Nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hàng năm từ 1995 – 2001 .

Biểu đồ này xác định hai hàm số trên cùng tập xác định

D = {1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}

Câu hỏi 3 . Hãy chỉ ra các giá trị của mỗi hàm số trên tại các giá trị x thuộc D

Hàm số cho bằng công thức

Câu hỏi 4. Hãy kể các hàm số đã học ở Trung học cơ sở

Các hàm số y = ax + b , y = a/x , y = ax2 là những hàm số cho bởi công thức.

34

Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta có quy ước sau

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số f(x) =

Giải

Câu hỏi 5 . Tìm tập xác định của các hàm số sau

a)

b)

CHÚ Ý

Một hàm số có thể được xác định bởi hai, ba … công thức.

Chẳng hạn, cho hàm số y =

nghĩa là với x  0 hàm số được xác định bởi biểu thức f(x) = 2x + 1 , với x < 0 hàm số được xác định bởi g(x) = - x2.

Câu hỏi 6. Tính giá trị của hàm số ở chú ý trên tại x = -2 và x = 5

 

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M (x;f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D)

Ví dụ 4. Trong Sách giáo khoa toán 9 , ta đã biết đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b là một đường thẳng , đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 là một đường parabol.

35

Câu hỏi 7. Dựa vào đồ thị của 2 hàm số trong hình 14

y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 1/2 x2  hãy

a) Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2), g(-1), g(-2), g(0)

b) Tìm x sao cho f(x) = 2
     Tìm x sao cho g(x) = 2

Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường (đường thẳng, đường cong…). Khi đó, ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó. Chẳng hạn

y = ax + b là phương trình của một đường thẳng
y = ax2 (a khác 0) là phương trình của một đường parabol.

II - SỰ BIẾN THIÊN CỦA MỘT HÀM SỐ :

1. Ôn tập

Xét đồ thị của hàm số y = f(x) = x2 (h.15a) . Ta thấy trên khoảng (        ) đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải (h.15b) và với

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm.

Ta nói hàm số y = x2 nghịch biến trong khoảng

36

Trên khoảng () đồ thị “đi lên” từ trái sang phải (h.15b) và với

x1, x2 thuộc

Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số cũng tăng.

Ta nói hàm số y = x2 đồng biến trong khoảng

CHÚ Ý:

Khi x > 0 và nhận các giá trị lớn tùy ý thì ta nói x dần tới dương vô cực

Khi x < 0 và /x/ nhận các giá trị lớn tùy ý thì ta nói x dần tới âm vô cực

Ta thấy khi x dần tới dương vô cực hay âm vô cực thì x2 dần tới dương vô cực

Tổng quát

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

2. Bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.

37

Ví dụ 5: Dưới đây là bảng biến thiên của một hàm số y = x2

Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng)

Tại x = 0 thì  y = 0

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng

Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị của hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào)

III – TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Xét đồ thị của hàm số y = f(x) = x2 và y = g(x) = x (h.16)

Đường parabol y = x2 có trục đối xứng là Oy. Tại hai giá trị đối nhau của biến số x, hàm số nhận cùng một giá trị

f(-1) = f(1) = 1, f(-2) = f(2) = 4, …

Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng y = x . Tại hai giá trị đối nhau của biến số x , hàm số nhận hai giá trị đối nhau

g(-1) = - g(1), g(-2) = -g(2), …

38

Hàm số y = x2 là một ví dụ về hàm số chẵn
Hàm số y = x là một ví dụ về hàm số lẻ

Tổng quát

Câu hỏi 8. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

a) y = 3x2 – 2
b) y = 1/x
c) y =

CHÚ Ý

Một hàm số không nhất thiết phải là một hàm số chẵn hay một hàm số lẻ . Chẳng hạn, hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ vì giá trị của nó tại x = 1 và x = -1 tương ứng là 3 và -1 . Hai giá trị này cũng không bằng nhau và cũng không đối nhau.

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Nhận xét về đồ thị của hàm số y = x2  và y = x trong mục 1 cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Ta có kết luận sau

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

 

BÀI TẬP

1. Tìm tập xác định của các hàm số

a)

b)

c)

2. Cho hàm số

Tính giá trị của hàm số đó tại x = 3 ; x = -1 ; x = 2.

39

3. Cho hàm số y = 3x2 – 2x + 1 . Các điểm sau có thuộc đồ thị của hàm số đó không?

a) M (-1 ; 6)
b) N (1 ; 1)
c) P (0 ; 1)

4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

a) y = |x|
b) y = (x+ 2)2

c) y = x3 + x
d) y = x2 + x + 1

 

BÀI 2 :  HÀM SỐ  y = ax + b

I – ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

y = ax + x (a khác 0)

Tập xác định D = R
Chiều biến thiên
Với a > 0 hàm số đồng biến trên R
Với a < o hàm số nghịch biến trên R

Bảng biến thiên

40

Đồ thị
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ . Đường này luôn song song với các đường thẳng y = ax (nếu b khác 0) và đi qua hai điểm A(0 ; b) và B(-b/a ; 0) (h.17)

Câu hỏi 1. Vẽ đồ thị của các hàm số : y = 3x +2 ; y = -1/2x + 5

 

II – HÀM SỐ HẰNG y = b

Câu hỏi 2. cho hàm số hằng y = 2

Xác định giá trị của hàm số tại x = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2

Biểu diễn các điểm

(-2;2), (-1 ; 2), (0 ; 2), (1; 2), (1,2) trên mặt phẳng tọa độ

Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số y = 2

Đồ thị của hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b (h.18)

 

III – HÀM SỐ y = /x/

Hàm số y = /x/ có liên quan chặt chẽ với hàm bậc nhất.

1. Tập xác định

Hàm số y = /x/ xác định với mọi giá trị của x , tức tập xác định D = R

2. Chiều biến thiên

Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có

Từ đó suy ra

Hàm số  y = /x/ nghịch biến trên khoảng

Bảng biến thiên

3. Đồ thị (h.19)

Trong nửa khoảng

Trong khoảng

CHÚ Ý

Hàm số y = /x/ là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận Oy là trục đối xứng

 

BÀI TẬP

1. Vẽ đồ thị của hàm số sau

a) y = 2x – 3
b)

c) y = -3/2x + 7
d) y = /x/ - 1

42

2. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua các điểm

a) A(0 ; 3) và B(3/5 ; 0)

b) A(1 ; 2) và B(2 ; 1)

c) A(15 ; 3) và B(21 ; -3)

3. Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng

a) Đi qua hai điểm A(4 ; 3) và B(2 ; -1)

b) Đi qua điểm A(1 ; -1) và song song với Ox

4. Vẽ đồ thị của các hàm số

a)

b)

 

BÀI 3 :   HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

y = ax2 + bx + c (a khác 0)

Tập xác định của hàm số này là D = R
Hàm số y = ax2 (a khác 0) đã học ở lớp 9 là 1 trường hợp riêng của hàm số này.

 

I – ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Câu hỏi 1. Nhắc lại các kết quả đã biết về vẽ đồ thị của hàm số y = ax2

43

1. Nhận xét

1) Điểm O (0 ; 0) là đỉng của parabol y = ax2. Đó là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0     (y >= 0 với mọi x) , và là điểm cao nhất của đồ thị trong trường hợp a < 0 (y =< 0 với mọi x)

2) Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9 , ta có thể viết

y = ax2 + bx + c = a (x + b/2a)2 +

Từ đó ta có nhận xét sau

Nếu x = -b/2a

Nếu a > 0

Nếu a < 0

Như vậy, điểm I

2. Đồ thị

Dưới đây (xem bài đọc thêm) ta sẽ thấy đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c chính là đường parabol y = ax2 sau một phép “dịch chuyển” trên mặt phẳng tọa độ

44

Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a khác 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I (     ) , có trục đối xứng là đường thẳn y = -b/2a . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a >0 , xuống dưới nếu a < 0

3. Cách vẽ

Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c (a khác 0), ta thực hiện các bước

1) Xác định tọa độ đỉnh I

2) Vẽ trục đối xứng x = -b/2a

3)  Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0 ; c)) và trục hoành (nếu có)

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0 ; c) qua trục đối xứng của parabol , để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4) Vẽ parabol

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0) bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới)

45

Ví dụ : Vẽ parabol y = 3x2 – 2x – 1 .

Ta có
Đỉnh I (1/3 ; -4/3)

Trục đối xứng là đường thẳng x = 1/3
Giao điểm với Oy là A(0 ; 1)

Điểm đối xứng với A (0 ; 1) qua đường x = 1/3 là A`(2/3 ; -1)

Giao điểm với Ox là B(1 ; 0) và C(-1/3 ; 0)
Đồ thị như hình 22

Câu hỏi 2. vẽ parabol y = -2x2 + x + 3

 

II - CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Dựa vào đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a khác 0) , ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau

Từ đó ta có định lí dưới đây

ĐỊNH LÍ

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c
Nghịch biến trong khoảng

Đồng biến trong khoảng
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c

Nghịch biến trong khoảng
Đồng biến trong khoảng

 

BÀI ĐỌC THÊM :    ĐƯỜNG PARABOL

Trong bài 3, ta đã khẳng định đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a khác 0) là một đường parabol. Dưới đây ta sẽ chứng tỏ điều đó và cho thấy đường parable này được suy ra từ parabol y = ax2 như thế nào.

1. Đồ thị của hàm số y = ax2 + yo

Xét hai hàm số f(x) = ax2 và g(x) = ax2 + yo

Tại một điểm X thuộc R ta có

Y = f(X) = aX2 , g(Y) = aX2 + yo = Y + yo

Do đó nếu điểm M (X ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 thì điểm N (X ; Y + yo) thuộc đồ thị hàm số  y = ax2 + yo

Ta thấy nếu dịch chuyển (tịnh tiến) điểm M(X ; Y) song song với trục tung một đoạn bằng /yo/ đơn vị(lên trên nếu yo > 0 , xuống dưới nếy yo < 0) thì được điểm N (X ; Y + yo).

Vậy
Đồ thị của hàm số y = ax2 + yo nhận được từ đồ thị hàm số y = ax2 nhờ phép tịnh tiến song song trục tung |yo| đơn vị, lên trên nếu yo > 0, xuống dưới nếu yo < 0

2. Đồ thị của hàm số y = a(x + xo)2

Xét hai hàm số  f(x) = ax2 và g(x) = a(x + xo)2

Với X tùy ý ta có F(X) = aX2 , g(X – Xo) = a[(X – xo) + xo)]2 = aX2

Nghĩa là, giá trị của hàm số f(x) tại X bằng giá trị của hàm số g(x) tại X – xo . Vậy nếu điểm M (X ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 thì điểm N (X – xo ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = a(X – xo)2.

Ta thấy, nếu tịnh tiến điểm M (X ; Y) song song với trục hoành /xo/ đơn vị về bên trái nếu xo > 0, về bên phải nếu xo < 0 thì được điểm N (x – xo ; Y)

Vậy
Đồ thị của hàm số y = a(x + xo)2 nhận được từ đồ thị hàm số y = ax2 nhờ phép tịnh tiến song song trục hoành /xo/ đơn vị, về bên trái nếu xo > 0, về bên phải nếu xo < 0

48

3. Đồ thị của hàm số  y = ax2 + bx + c

Thực hiện phép biến đổi i73 lớp 9, ta có thể viết y = ax2 + bx + c =

Áp dụng các kết quả trên với xo = b/2a ,

Đồ thị của hàm số  y = ax2 + bx + c được suy ra từ đồ thị của hàm số y = ax2 trước hết nhờ phép tịnh tiến song song trục hoành /b/2a/ đơn vị, về bên trái nếu b/2a > 0, về bên phải nếu b/2a < 0, sau đ ó nhờ phép tịnh tiến song song trục tung /    / đơn vị, lên trên nếu     > 0, xuống dưới nếu  < 0.

49

Như vậy, đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một đường parabol

Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol, như khi chúng ta ngắm các đài phun nước , hoặc chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu , muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào,… Điều đó không chỉ đảm bảo tính bền vững mà còn tạo nên vẻ đẹp của công trình.

 

BÀI TẬP

1)Xác định tọa độ các đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành(nếu có) của mỗi parabol

a) y = x2 – 3x + 2

b) y = -2x2 + 4x – 3

c) y = x2 – 2x

d) y = -x2 + 4

2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) y = 3x2 – 4x + 1

b) y = -3x2 + 2x - 1

c) y = 4x2 – 4x + 1

d) y = -x2 + 4x – 4

e) y = 2x2 + x + 1

f) y = -x2 + x – 1

3. Xác định parabol y = ax2 + bx + c , biết rằng parabol đó

a) Đi qua 2 điểm M(1 ; 5) và N(-2 ; 8)

b) Đi qua A(3 ; -4) và có trục đối xứng là x = -3/2

c) có đỉnh là I (2 ; -2)

d) Đi qua điểm B( -1 ; 6) và có tung độ đỉnh là -1/4

4. Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(8 ; 0) và có đỉnh là I(6 ; -12)

50

ÔN TẬP CHƯƠNG II

1. Phát biểu quy tắc về tập xác định của hàm số cho bởi công thức

Từ đó hai hàm số y =

2. Thế nào là hàm số đồng biến(nghịch biến) trên khoảng (a ; b)?

3. Thế nào là một hàm số chẵn? Thế nào là một hàm số lẻ?

4. Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp a > 0, a < 0

5. Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp a > 0,      a < 0

6. Xác định tọa độ của đỉnh và phương trình của trục đối xứng của parabol  y = ax2 + bx + c

7. Xác định tọa độ giao điểm của parabol  y = ax2 + bx + c với trục tung. Tìm điều kiện để parabol này cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và viết tọa độ các giao điểm trong trường hợp đó.

8. Tìm tập xác định của các hàm số

a)

b)

c)

9. Xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

a) y = 1/2x – 1

b) y = 4 – 2x

c)

d) y = /x + 1/

51

10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

a) y = x2 – 2x – 1

b) y = -x2 + 3x + 2

11. Xác định a, b biết đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 3),  B(-1 ; 5)

12. Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c

a) Đi qua 3 điểm A(0 ; -1), B(1 ; -1) , C(-1 ; 1)

b) Có đỉnh I (1 ; 4) và qua điểm D (3 ; 0)

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

13. Tập xác định của hàm số y  =

(A)

(B)

(C)

(D)

14. Parabol y = 3x2 – 2x + 1 có đỉnh là

(A) I (-1/3 ; 2/3)

(B) I (-1/3 ; -2/3)

(C) I (1/3 ; -2/3)

(D) I (1/3 ; 2/3)

15. Hàm số y = x2 – 5x + 3

(A) Đồng biến trên khoảng

(B) Đồng biến trên khoảng

(C) Nghịch biến trên khoảng

(D) Đồng biến trên khoảng (0 ; 3)

52

CHƯƠNG III
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chương này bổ sung các kiến thức về phương trình; ôn tập và hệ thống hoá cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn; phương trình và hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, đồng thời cung cấp cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thông qua ví dụ.

53

BÀI 1 - ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I - KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH :

Câu hỏi 1. Nêu ví dụ về phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn

1. Phương trình 1 ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)  (1), trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)

CHÚ Ý
Có trường hợp khi giải phương trình ta không viết được chính xác nghiệm của chúng dưới dạng số thập phân mà chỉ viết gần đúng. Chẳng hạn, x = là nghiệm của phương trình 2x = căn 3 . Giá trị 0,866 ( ) là một nghiệm gần đúng của phương trình.

54

2. Điều kiện của một phương trình

Câu hỏi 2. Cho phương trình

Khi x = 2 vế trái của phương trình đã cho có nghĩa không? Vế phải có nghĩa khi nào?

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

Câu hỏi 3. Hãy tìm điều kiện của các phương trình

a)

b)

3. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình 1 ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3x + 2y = x2 – 2xy + 8 (2)

4x2 – xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2   (3)

Phương trình (2) là phương trình 2 ẩn (x và y), còn (3) là phương trình 3 ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì 2 vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp số (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = ( -1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong 1 phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

55

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn (m + 1)x – 3 = 0; x2 – 2x + m = 0 có thể được coi là các phương trình ẩn x chứa tham số m.

 

II - PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Câu hỏi 4. Các phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không

a)

b) x2 – 4 = 0 và 2 + x = 0 ?

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ví dụ 1. Hai phương trình 2x – 5 = 0 và 3x – 15/2 = 0 tương đương với nhau vì cùng có nghiệm duy nhất là x = 5/2.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. Định lí sua đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.

ĐỊNH LÍ:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

56

CHÚ Ý
Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

Kí hiệu. Ta dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương của cá phương trình.

Câu hỏi 5. Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau:

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x). Ta viết

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi giải phương trình, không phải lúc naò cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương 2 vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được. Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Giải. Điều kiện của phương trình (4) là x khác 0 và x khác 1.

Nhân hai vế của phương trình (4) với x(x – 1) ta đưa tới phương trình hệ quả.

57

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 0 và x = -2.

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn x = -2 thoả mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4). Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là x = -2

 

BÀI TẬP

1. Cho 2 phương trình 3x = 2 và 2x = 3. Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

2. Cho 2 phương trình 4x = 5 và 3x = 4. Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi

a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?

b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?

3. Giải các phương trình

a)

b)

c)

d)

4. Giải các phương trình

a)

b)

c)

d)

58

BÀI 2
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a khác 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu hỏi 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m(x – 4) = 5x + 2

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

Câu hỏi 2. lập bảng trên với biệt thức thu gọn

59

3. Định lí Vi-ét

Nếu phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có hai nghiệm x1, x2 thì x1 + x2 = -b/a; x1x2 = c/a. Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.

Câu hỏi 3. Khẳng định “Nếu a và c trái dấu thì phương trình (2) có hai nghiệm và 2 nghiệm đó trái dấu” có đúng không? tại sao?

II - PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương 2 vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Giải phương trình  |x – 3| = 2x + 1   (3)

Giải
Cách 1.
a) Nếu x >= 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x >= 3 nên bị loại.

b) nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành –x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = 2/3. Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

60

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2/3

Cách 2. Bình phương 2 vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

Phương trình cuối có 2 nghiệm là x = - 4 và x = 2/3. Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = 2/3. Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2/3.

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương 2 vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ 2. Giải phương trình   (4)

Giải. Điều kiện của phương trình (4) là x >= 3/2. Bình phương 2 vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

Phương trình cuối có 2 nghiệm là. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – căn 2 bị loại ( vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3 + căn 2 là nghiệm ( hai vế cùng bằng căn 2 + 1).

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x =

61

BÀI ĐỌC THÊM
PHƯƠNG TRÌNH BẬC n

Sách giáo khoa bậc THCS và THPT đã trình bày công thức giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Công thức giải phương trình bậc 3 mang tên nhà Toán học Italia Các – đa – nô, tuy nhiên Các đa nô chỉ là người lần đầu tiên công bố công thức đó trong cuốn sách “Nghệ thuật vĩ đại hay các quy tắc của đại số học” xuất bản năm 1545. Tác giả của công thức đó là nhà toán học Italia tên là Tác-ta-gli-a (Nicolo Tartaglia, 1500 – 1557).

Công thức Các-đa-nô cho các nghiệm của phương trình bậc ba x3 + px + q = 0 là

Sau khi Tác-ta-gli-a tìm ra công thức này thì một học trò của Các-đa-nô là Phe-ra-ri (Ferrari,1522 – 1565) đã tìm ra công thức giải phương trình bậc 4, công thức này cũng được công bố trong cuốn sách của Các-đa-nô nêu trên.

Sau đó nhiều nhà toán học đã cố gắng để tìm công thức giải phương trình bậc năm, nhưng phải đến thế kỷ XIX hai nhà toán học trẻ tuổi là A-ben người Na-uy và Ga-loa người Pháp mới chứng minh được rằng không thể giải được bằng căn thức phương trình đại số tổng quát bậc cao hơn 4.

Trong quá trình tìm cách giải phương trình đại số tổng quát bậc 5 bằng căn thức, A-ben đã giải thích tại sao cac1 phương trình bậc 2, 3, 4 có thể giải được bằng căn thức, còn Ga-loa tìm ra điều kiện cần và đủ để 1 phương trình có bậc đã cho (có thể lớn hơn 4) giải được bằng căn thức. Công lao to lớn của Ga-loa qua công trình này là đã đặt nền móng cho Đại số hiện đại nghiên cứu các cấu trúc Đại số như nhóm, vành, trường…

62

BÀI TẬP

1. Giải các phương trình :

a)

b)

c)

d)

2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x-2) = 3x +1

b) m2x + 6 = 4x + 3m

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

3. Có 2 rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đem sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai  bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại của rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rỗ lúc ban đầu là bao nhiêu?

4. Giải các phương trình

a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0

b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0

5. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) 2x2 – 5x – 4 = 0

b) -3x2 + 4x + 2 = 0

c) 3x2 + 7x + 4 = 0

d) 9x2 – 6x – 4 = 0

Hướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính Casio fx -500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

Màn hình hiện ra x1 = 3.137458609. Ấn tiếp

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là

6. Giải các phương trình

a) |3x – 2| = 2x + 3

b) |2x -1| = |-5x – 2|

c)

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1

63

7. Giải các phương trình

a)

b)

c)

d)

8. Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

 

BÀI 3
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1), trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Câu hỏi 1. Cặp (1; -2) có phải là 1 nghiệm của phương trình 3x – 2y = 7 không ? Phương trình đó còn có những nghiệm khác nữa không?

CHÚ Ý
a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. nếu c khác 0 thì phương trình naỳ vô nghiệm , còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0; y0) đều là nghiệm.

64

b) Khi b khác 0, phương trình ax + by = c trở thành y = -a/b . x + c/b  (2). Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là 1 đường thẳng trong tọa độ Oxy.

Câu hỏi 2. Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x – 2y = 6

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng tổng quát là, trong đó x, y là 2 ẩn; các chữ còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả 2 phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó

Câu hỏi 3. a) Có mấy cách giải hệ phương trình

b) Dùng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình

Có nhận xét gì về nghiệm của hệ phương trình này?

65

II - HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là, trong đó x, y, z là ba ẩn, các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là 1 nghiệm của hệ phương trình (4).

Chẳng hạn, (17/4; -3/4; 3/2) là nghiệm của hệ phương trình

Còn (-7/2; 5/2; -1/2) là nghiệm của hệ phương trình

Hệ phương trình (5) có dạng đặc biệt, gọi là hệ phương trình dạng tam giác.

Việc giải phương trình dạng này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được z rồi tahy vào phương trình thứ 2 ta tính được y và cuối dung thay z và y tính được vào phương trình đầu sẽ tính được x.

Câu hỏi 4. Hãy giải hệ phương trình (5) Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi đươc5 về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số (*). Chẳng hạn, sau đây là cách giải hệ phương trình (6)

66

Giải. Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất của hệ (6) với – 2 rồi cộng vào phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phương trình thứ 3 theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình (đã khử x ở 2 phương trình cuối)

Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ hai và phương trình thứ ba của hệ mới nhận được, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác.

Ta dễ dàng giải ra được

vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y; z) = (-7/2; 5/2; -1/2)

67

BÀI ĐỌC THÊM

Trong kho tang văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán “trăm trâu trăm cỏ” sau đây

Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?

Giải. Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, số trâu già là z (x; y; z là những số nguyên dương nhỏ hơn 100). Ta có hệ phương trình

Đây là hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn, nếu không tính đến điều kiện của ẩn thì hệ phương trình này có vô số nghiệm (nếu khử z ta được một phương trình bậc nhất của 2 ẩn 7x + 4y = 100)

Tuy nhiên, vì x, y, z phaỉ là những số nguyên dương nhỏ hơn 100, nên chỉ có một số hữu hạn nghiệm, cụ thể ở đây có 3 nghiệm

Bài toán dân gian ở trên thuộc loại phương trình Đi-ô-phăng (mang tên nhà toán học cổ Hi Lạp Diophante)

68

BÀI TẬP

1.Cho hệ phương trình

Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm.

2. Giải các hệ phương trình

a)

b)

c)

d)

3. Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?

4. Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngaỳ thứ nhất cả hai dây chuyền mau được 930 áo. Ngaỳ thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chueỳ6n thứ hai tăng năng suất 15% nên cả 2 dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất, mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi?

5. Giải các hệ phương trình

a)

b)

6. Một của hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngaỳ thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 đồng. ngaỳ thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?

7. Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

a)

b)

c)

d)

69

Hướng dẫn cách giải câu a).
Nếu sử dụng máy tính Casio fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím

thấy hiện ra trên màn hình x = 0.048780487

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là

Hướng dẫn cách giải câu c).
Nếu sử dụng máy tính Casio fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím

thấy hiện ra trên màn hình x = 0.217821782

Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

 

70

ÔN TẬP CHƯƠNG III

1. Khi nào 2 phương trình được gọi là tương đương? Cho ví dụ

2. Thế nào là phương trình hệ quả? Cho ví dụ

3. Giải các phương trình

a)

b)

c)

d)

4. Giải các phương trình

a)

b)

c)

5. Giải các hệ phương trình

a)

b)

c)

d)

6. Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại  1/18 bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường?

7. Giải các hệ phương trình

a)

b)

71

8. Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của 3 phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

9. Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm?

10. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi

a) 5x2 – 3x – 7 = 0

b) 3x2 + 4x + 1 = 0

c) 0,2x2 + 1,2x – 1 = 0

d)

11. Giải các phương trình

a) |4x – 9| = 3 – 2x

b) |2x + 1| = |3x + 5|

12. Tìm hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật trong 2 trường hợp

a) Chu vi là 94,4 m và diện tích là 494,55 m2

b) Hiệu của 2 cạnh là 12,1 m và diện tích là 1089 m2.

13. Hai người quét sân. Cả 2 người cùng quét sân hết 1giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

14. điều kiện của phương trình

(A)

(B)

(C)

(D)

72

15. Tập nghiệm của phương trình

(A) {-2/m}

(B)

(C) R

(D) R \ {0}

16. Nghiệm của hệ phương trình

(A)

(B)

(C)

(D)

17. Nghiệm của hệ phương trình

(A)

(B)

(C)

(C)

73

CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Hai nội dung cơ bản của chương là bất đẳng thức và bất phương trình . Các vấn đề này đã được học từ lớp dưới. chương này sẽ củng cố và hoàn thiện các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình. Ngoài các phếp biến đổi tương đương, học sinh còn học cách xét dấu nhị thức nậc nhất và tam thức bậc hai làm cơ sở cho việc giải các bất phương trình và hệ bất phương trình.

74

BÀI 1 - BẤT ĐẲNG THỨC

I - ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức

Câu hỏi 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng

a) 3,25 < 4

b) -5 > -4.1/4

c)

Câu hỏi 2. Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng

a)

b)

c)

d)

Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “a < b suy ra c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là.

Chẳng hạn, ta đã biết:

a < b và b < c suy ra a < c (tính chất bắc cầu)

a < b, c tùy ý suy ra a + c < b + c (tính chất cộng 2 vế bất đẳng thức với 1 số)

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói 2 bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là

Câu hỏi 3. Chứng minh rằng

75

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a – b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh 1 bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Điều kiện

c > 0

c < 0

a > 0, c > 0

n nguyên dương

a > 0

Câu hỏi 4. Nêu ví dụ áp dụng một trong các tính chất trên

76

CHÚ Ý. Ta còn gặp các mệnh đề dạng a <= b hoặc a >= b. Các mệnh đề dạng này cũng gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II - BẤT ĐẢNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN ( BẤT ĐẢNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si (*)

Định lí. Trung bình nhân của 2 số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

Chứng minh . Ta có

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2. Các hệ quả

Hệ quả 1. Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2

77

Hệ quả 2. Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Chứng minh. đặt S = x + y. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = S/2. Vậy tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng S2/4 khi và chỉ khi x = y = S/2

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (h.26)

Hệ quả 3. nếu x, y cùng dương và co 1tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất (h.27).

Câu hỏi 5. Hãy chứng minh hệ quả 3.

78

III - BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu hỏi 6. Nah81c lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các số sau

a) 0
b) 1,25
c) -3/4
d)

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có các tính chất cho trong bảng sau

Điều kiện

a > 0

Ví dụ.

Giải.

79

BÀI TẬP

1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng với mọi giá trị của x

a) 8x > 4x

b) 4x > 8x

c) 8x2 > 4x2

d) 8 + x > 4 + x

2. Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất

A = 5/x

B = 5/x + 1

C = 5/x – 1

D = x/5

3. Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác

a) Chứng minh (b – c)2 < a2

b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca)

4. Chứng minh rằng: x3 + y3 >= x2y + xy2, với mọi x >= 0, với mọi y >= 0.

5. Chứng minh rằng

6. Trong mặp phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

CHỈ DẪN LỊCH SỬ

Cô-si là nhà toán học Pháp. Ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Toán học khác nhau, công bố hơn 800 công trình về số học, lý thuyết số, đại số, giải tích toán học, phương trình vi phân, cơ học lý thuyết, cơ học thiên thể, vật lý toán.

Các công trình của Cô-si cho thấy rõ nhược điểm của việc dựa vào trực giác hình học để suy ra các kết quả tế nhị của giải tích. Ông định nghĩa một cách chính xác các khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số. Ông xây dựng một cách chặt chẽ lý thuyết hội tụ của chuỗi, đưa ra khaí niệm bán kính hội tụ. Ông định nghĩa tích phân là giới hạn của các tổng tích phân và chứng minh sự tồn tại tích phân của các hàm số liên tục. Ông phát triển cơ sở của lý thuyết hàm số biến số phức. Về hình học, về đại số, về lý thuyết số, về cơ học, về quang học, về thiên văn học, Cô-si đều có những cống hiến lớn lao.

80

BÀI 2
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

I - KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Câu hỏi 1. Cho 1 ví dụ về bất phương trình 1 ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này.

bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x)  (f(x) <= g(x)) (1), trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0)  (f(x0) <= g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vô nghiệm.

CHÚ Ý. Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau g(x) > f(x) (g(x) >= f(x)).

81

Câu hỏi 2. Cho bất phương trình 2x <= 3

a) Trong các số ….số nào là nghiệm, số naò không là nghiệm của bất phương trình trên?

b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

Chẳng hạn điều kiện của bất phương trình

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong 1 bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn  (2m – 1)x + 3 < 0 ; x2 – mx + 1 >= 0 có thể được coi là những bất phương trình ẩn x tham số m.

II - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm 1 số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

82

Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình

Giải. Giải từng bất phương trình ta có

Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình này ta được

Giao của 2 tập nghiệm trên là đoạn [-1; 3]. Vậy tập nghiệm của hệ là [-1; 3] hay còn có thể viết là -1 <= x <= 3.

III - MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương

Câu hỏi 3. Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không? Vì sao?

Ta đã biết 2 bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương  và dung kí hiệu để chỉ sự tương đương của 2 bất phương trình đó.

Tương tự, khi 2 hệ bất phương trình có cùng 1 tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dung kí hiệu để chỉ sự tương đương đó.

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

83

Chẳng hạn khi giải hệ bất phương trình trong ví dụ 1 ta có thể viết

Dưới đây ta sẽ lần lượt xét một số phép biến đổi thường sử dụng khi giải bất phương trình.

3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) 2 vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được 1 bất phương trình tương đương.

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

Phân tích bài toán. Khai triển và rút gọn từng vế ta được bất phương trình 2x2 + 3x – 4 <= 2x2 + 2x – 3

Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của vế phải bất phương trình này (thực chất là cộng 2 vế của bất phương trình với biểu thức – (2x2 + 2x – 3) ta được 1 bất phương trình đã biết cách giải.

Giải

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

Nhận xét. Nếu cộng 2 vế của bất phương trình  P(x) < Q(x) + f(x) với biểu thức –f(x) ta được bất phương trình P(x) – f(x) < Q(x). Do đó

Như vậy, chuyển vế và đổi dấu 1 hạng tử trong 1 bất phương trình  ta được 1 bất phương trình tương đương.

84

4. Nhân (chia)

Nhân (chia) 2 vế của bất phương trình với cùng 1 biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được 1 bất phương trình tương đương. Nhân (chia) 2 vế của bất phương trình với cùng 1 biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được 1 bất phương trình tương đương.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình

Phân tích bài toán. Mẫu thức của 2 vế bất phương trình là những biểu thức luôn dương. Nhân 2 vế của bất phương trình với 2 biểu thức luôn dương đó, ta được 1 bất phương trình tương đương.

Giải.

5. Bình phương

Bình phương 2 vế của 1 bất phương trình có 2 vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được 1 bất phương trình tương đương.

85

Ví dụ 4. Giải bất phương trình

Giải. 2 vế bất phương trình đều có nghĩa và dương với mọi x. Bình phương 2 vế bất phương trình này ta được. vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1/4

6. Chú ý

Trong quá trình biến đổi 1 bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau

1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của 1 bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy để tìm nghiệm của 1 bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

Ví dụ 5. Giải bất phương trình

Giải. Điều kiện 3 – x >= 0

Ta có

86

Kết hợp với điều kiện của bất phương trình, ta có nghiệm của bất phương trình là nghiệm của hệ

Hệ bất phương trình này có nghiệm là 1/3 < x <= 3

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là 1/3 < x <= 3

2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q (x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x). nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

Ta minh họa điều này qua ví dụ sau.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình

Giải. Điều kiện x khác 1

a) Khi x – 1 < 0 (tức là x < 1)n ta có. Do đó trong trường hợp này, mọi x < 1 đều không là nghiệm của bất phương trình hay bất phương trình vô nghiệm.

b) Khi x – 1 > 0 (tức là x > 1), nhân 2 vế của bất phương trình đã cho với x – 1 ta được bất phương trình tương đương 1 >= x – 1. Như vậy trong trường hợp này nghiệm của bất phương trình đã cho là nghiệm của hệ

Giải hệ này ta được nghiệm của hệ là 1 < x <= 2.

Kết luận. Nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 < x <= 2.

3) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương 2 vế thì ta lần lượt xét 2 trường hợp:

a) P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương 2 vế bất phương trình.

b) P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết, rồi bình phương 2 vế bất phương trình mới.

87

Ví dụ 7. Giải bất phương trình

Giải. Hai vế bất phương trình có nghĩa với mọi x

a) Khi x + 1/2  < 0 (tức là x < -1/2), vế phải của bất phương trình âm, vế trái dương nên trong trường hợp này mọi x < -1/2 đều là nghiệm của bất phương trình.

b) Khi x + 1/2 >= 0 (tức là x >= -1/2), 2 vế của bất phương trình đã cho đều không âm nên bình phương 2 vế của nó ta được bất phương trình tương đương x2 + 17/4 > x2 + x + 1/4. Như vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp này là nghiệm của hệ

Giải hệ này ta được nghiệm là -1/2 <= x < 4.

Tổng hợp lại, nghiệm của bất phương trình đã cho bao gồm x < -1/2 và -1/2 <= x < 4

Kết luận, Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 4.

 

BÀI TẬP

1. Tìm các giá trị thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau

a)

b)

c)

d)

88

2. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm

a)

b)

c)

3. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương

a) -4x + 1 > 0 và 4x – 1 < 0

b) 2x2 + 5 <= 2x – 1 và 2x2 – 2x + 6 <= 0

c)

d)

4. Giải các bất phương trình sau

a)

b)

5. Giải các hệ bất phương trình

a)

b)

89

BÀI 3 - DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là 2 số đã cho, a khác 0.

Câu hỏi 1. a) Giải bất phương trình -2x + 3 > 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó.

b) Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu x lấy giá trị trong đó thì nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị

Trái dấu với hệ số của x ;

Cùng dấu với hệ số của x.

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lý. Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ( ), trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ( ).

Chứng minh. ta có f(x) = ax + b = a(x + b/a).

Với x > -b/a thì x + b/a > 0 nên f(x) = a(x + b/a) cùng dấu với hệ số a.

Với x < -b/a thì x + b/a < 0 nên f(x) = a(x+ b/a) trái dấu với hệ số a.

90

Các kết quả trên được thể hiện qua bảng sau

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b

Khi x = -b/a nhị thức f(x) = ax + b có giá trị bằng 0, ta nói số x0 = -b/a là nghiệm của nhị thức f(x).

Nghiệm x0 = -b/a của nhị thức chia trục số thành 2 khoảng (h.28)

Minh họa bằng đồ thị

3. Áp dụng

Câu hỏi 2. Xét dấu nhị thức f(x) = 3x + 2, g(x) = -2x + 5.

Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức f(x) = mx – 1 với m là một tham số đã cho.

Giải. nếu m = 0 thì f(x) = -1 < 0, với mọi x.

Nếu m khác 0 thì f(x) là 1 nhị thức bậc nhất có nghiệm x0 = 1/m.

91

Ta có bảng xét dấu nhị thức f(x) trong 2 trường hợp m > 0, m < 0 như sau:

II - XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức

Giải. f(x) không xác định khi x = 5/3. Các nhị thức 4x – 1, x + 2, -3x + 5 có các nghiệm viết theo thứ tự là -2; 1/4; 5/3. Các nghiệm này chia khoảng ( ) thành  bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.

92

Từ bảng xét dấu ta thấy

f(x) > 0 khi

f(x) < 0 khi

F(x) = 0 khi x = -2 hoặc x = 1/4.

f(x) không xác định khi x = 5/3 (trong bảng kí hiệu bởi | | ).

Câu hỏi 3. Xét dấu biểu thức f(x) = (2x – 1)(-x + 3).

III - ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.

Ví dụ 3. Giải bất phương trình

Giải. Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

Xét dấu biểu thức ta suy ra nghiệm của của bất phương trình đã cho là 0 <= x < 1.

Câu hỏi 4. Giải bất phương trình x3 – 4x < 0.

93

2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình |-2x + 1| + x – 3 < 5

Giải. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có

Do đó ta xét bất phương trình trong 2 khoảng

a) Với x <= 1/2 ta có hệ bất phương trình

Hệ này có nghiệm là -7 < x <= 1/2

b) Với x > 1/2 ta có hệ bất phương trình

Hệ này có nghiệm là 1/2 < x < 3

Tổng hợp lại nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của 2 khoảng (-7; 1/2] và (1/2; 3)

Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là -7 < x < 3.

94

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối (bài 1) ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng |f(x)| <= a và |f(x)| >= a với a > 0 đã cho.

Ta có

 

BÀI TẬP

1. Xét dấu các biểu thức

a) f(x) = (2x – 1)(x + 3)

b) f(x) = (-3x – 3)(x + 2)(x + 3)

c)

d) f(x) = 4x2 – 1

2. Giải các bất phương trình

a)

b)

c)

d)

3. Giải các bất phương trình

a) |5x – 4| >= 6

b)

 

BÀI 4 - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Ta cũng gặp những bất phương trình nhiều ẩn số, chẳng hạn 2x + y3 – x < 3; 3x + 2y < 1. Khi x = -2; y = 1; z = 0 thì vế trái bất phương trình thứ nhất có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, ta nói bội ba số (x; y; z) = (-2; 1; 0) là 1 nghiệm của bất phương trình này.

95

Tương tự, cặp số (x; y) = (1; -2) là 1 nghiệm của bất phương trình thứ hai

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by <= c  (1) (ax + by < c; ax + by >= c; ax + by > c), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

II - BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, các bất phương trình bậc nhất 2 ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng thành 2 nửa mặt phẳng, một trong 2 nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax + by <= c, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình ax + by >= c

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by <= c (tương tự cho bất phương trình ax + by >= c)

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng : ax + by = c.

Bước 2. Lấy 1 điểm M0 (x0; y0) không thuộc delta (ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c.

Bước 4. Kết luận

Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ delta chứa M0 là miền nghiệm của ax + by <= c.

Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ delta không chứa M0 là miền nghiệm của ax + by <= c.

96

CHÚ Ý
Miền nghiệm của bất phương trình ax + by <= c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: 2x + y <= 3

Giải. Vẽ đường thẳng 2x + y = 3. Lấy gốc tọa độ O (0; 0) ta thấy O không thuộc Delta và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ delta chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền nghiệm bị tô đậm trong hình 29).

Câu hỏi 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: - 3x + 2y > 0.

III - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN

Tương tự hệ bất phương trình 1 ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn gồm 1 số bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là 1 nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

97

Giải. Vẽ các đường thẳng

(d1): 3x + y = 6
(d2) : x + y = 4
(d3) : x = 0 (trục tung)
(d4) : y = 0 (trục hoành).

Vì điểm M0 (1; 1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm M0. Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA) trong hình vẽ (h.30) là miền nghiệm của hệ đã cho.

Câu hỏi 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

IV - ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét  những hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong 1 ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Sau đây ta sẽ xét 1 bài toán đơn giản thuộc loại đó.

Bài toán. Một phân xưởng có 2 máy đặc chủng M1; M2 sản xuất 2 loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dung máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dung để sản xuất đồng thời 2 loại sản phẩm. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong 1 ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Giải: Gọi x, y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong 1 ngày (x >= 0; y >= 0). Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L = 2x + 1,6y (triệu đồng) và số giờ làm việc (mỗi ngày) của máy M1 là 3x + y và máy M2 là x + y. Vì mỗi ngày máy M1 chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy M2 không quá 4 giờ nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình (2)

98

Bài toán trở thành.

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (2), tìm nghiệm (x = x0; y = y0) sao cho L = 2x + 1,6y lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) là tứ giác OAIC kể cả miền trong (gọi là miền tứ giác OAIC) xem ví dụ ở mục III hình 30.

Người ta chứng minh được rằng biểu thức L = 2x + 1,6y đạt được giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC (xem bài đọc thêm). Tính giá trị của biểu thức L = 2x + 1,6y tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAIC, ta thấy L lớn nhất khi x = 1, y = 3.

Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.

99

BÀI ĐỌC THÊM
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC F = ax + by TRÊN MỘT MIỀN ĐA GIÁC

Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by (a, b là 2 số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các điểm thuộc miền đa giác A1A2…AiAi+1…An. Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Giải (h.31). Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 và chỉ xét trường hợp b > 0 (các trường hợp còn lại xét tương tự). Giả sử M(x0; y0) là 1 điểm đã cho thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = 0. Trong các đường thẳng đó, đường thẳng qua điểm M có phương trình ax + by = ax0 + by0 và cắt trục tung tại điểm N (0; ax0 + by0 / b). Vì b > 0 nên ax0 + by0 lớn nhất khi và chỉ khi

Trên hình 31, F = ax + by lớn nhất khi (x; y) là tọa độ của điểm A1, bé nhất khi (x; y) là tọa độ điểm A4. Tóm lại, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác.

BÀI TẬP

1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau

a) –x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)

b) 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3

2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau

a)

b)

100

3. Có 3 nhóm máy A, B, C dung để sản xuất ra 2 loại sản phẩm I và II. Để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dung các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong 1 nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất 2 loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp giải trong mục IV.

 

BÀI 5 - DẤU CỦA TAM THỨC BẬC II

I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC II

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc 2 đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a khác 0.

Câu hỏi 1.
1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(-1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.

2) Quan sát đồ thị hàm số y = x2 – 5x + 4 (h.32a) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.

101

3) Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối quan hệ về dấu của giá trị f(x) = ax2 + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức

2. Dấu của tam thức bậc 2

Người ta đã chứng minh được định lí về dấu tam thức bậc 2 sau đây

ĐỊNH LÍ. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a khác 0)

CHÚ Ý. Trong định lí trên, có thể thay biệt thức bằng biệt thức thu gọn.

102

Minh họa hình học

Định lí về dấu của tam thức bậc 2 có minh họa hình học sau (h.33)

a > 0

a < 0

3. Áp dụng

Ví dụ 1
a) Xét dấu tam thức f(x) = -x2 + 3x – 5.

b) Lập bảng xét dấu tam thức f(x) = 2x2 – 5x + 2.

Giải
a) f(x) có

b) f(x) = 2x2 – 5x + 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1/2, x2 = 2, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau

103

Câu hỏi 2. xét dấu các tam thức

a) f(x) = 3x2 + 2x – 5

b) g(x) = 9x2 – 24x + 16

Tương tự như tích, thương của những nhị thức bậc nhất, ta có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc 2.

Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức

Giải. Xét dấu các tam thức 2x2 – x – 1 và x2 – 4 rồi lập bảng xét dấu f(x) ta được

II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Bất phương trình bậc 2 

Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c <= 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c >= 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a khác 0.

2. Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc 2 ax2  + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).

Câu hỏi 3. Trong các khoảng nào

a) f(x) = -2x2  + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x2 ?

b) g(x) = -3x2 + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x2 ?

104

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau

a) 3x2 + 2x + 5 > 0

b) -2x2 + 3x + 5 > 0

c) -3x2 + 7x – 4 < 0

d) 9x2 – 24x + 16 >= 0

Giải.
a) Tam thức f(x) = 3x2 + 2x + 5 có

Do đó tập nghiệm của bất phương trình 3x2 + 2x + 5 > 0 là

b) Tam thức f(x) = -2x2 + 3x + 5 có 2 nghiệm là x1 = -1; x2 = 5/2, hệ số a = -2 < 0, nên f(x) luôn dương với mọi x thuộc khoảng (-1; 5/2). Vậy bất phương trình -2x2 + 3x + 5 > 0 có tập nghiệm là khoảng (-1; 5/2).

c) Tam thức f(x) = -3x2 + 7x – 4 có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 4/3, hệ số a = -3 < 0, nên f(x) luôn âm với mọi x thuộc khoảng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -3x2 + 7x – 4 < 0 là

d) Tam thức f(x) = 9x2 – 24x + 16 có hệ số a = 9

Vậy bất phương trình 9x2 – 24x + 16 >= 0 nghiệm đúng với mọi x.

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu 2x2 – (m2 – m + 1)x + 2m2 – 3m – 5 = 0.

105

Giải. Phương trình bậc 2 sẽ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số a và c trái dấu, tức là m phải thỏa mãn điều kiện 2(2m2 – 3m – 5) < 0

Vì tam thức f(m) = 2m2 – 3m – 5 có 2 nghiệm là m1 = -1, m2 = 5/2 và hệ số của m2 dương nên 2m2 – 3m – 5 < 0

Kết luận. Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi -1 < m < 5/2.

 

BÀI TẬP

1. Xét dấu các tam thức bậc 2

a) 5x2 – 3x + 1

b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x = 36

d) (2x – 3)(x + 5)

2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(-8x2 + x – 3)(2x + 9)

d) f(x)

3. Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 – x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 >= 0

c)

d) x2 – x – 6 <= 0.

4. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

106

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

1. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau

a) x là số dương

b) y là số không âm

c) Với mọi số thực a, |a| là số không âm

d) Trung bình cộng của 2 số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

2. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của 2 số a và b nếu biết

a) ab > 0
b) a/b > 0
c) ab < 0
d) a/b < 0

3. Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

(A)

(B)

(C)
(D)

4. Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05 kg, người ta cho biết kết quả là 26,4 kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.

5. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 – x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn

a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x) < g(x)

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

6. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

107

7. Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là 2 bất phương trình tương đương

8. Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by <= c.

9. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc 2.

10. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng

11. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 – x2 + 6x – 9 và g(x) = x2 – 2x – 4/(x2 – 2x)

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau x(x3 – x + 6) > 9.

12. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc 2, chứng minh rằng b2x2 – (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0, với mọi x.

13. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

14. Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình

(A): 2x + 1 > 1 – x

(B) : (2x + 1)(1 – x) < x2

(C) :

(D) : (2 – x)(x + 2)2 < 0

108

15. Bất phương trình tương đương với bất phương trình

(A)

(B)

(C)

(D)

16. Bất phương trình mx2 + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi

(A) : m = 1
(B) : m = 3
(C) : m = 0
(D) : m = 0,25

17. Hệ bất phương trình sau vô nghiệm

(A)

(B)

(C)

(D)

109

CHƯƠNG V - THỐNG KÊ

Thống kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập, phân tích và xử lí các số liệu nhằm phát hiện các quy luật thống kê trong tự nhiên và xã hội. Chương này giúp học sinh nắm vững một số phương pháp trình bày số liệu (bằng bảng, biểu đồ) và thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng.

110

BÀI 1 - BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT

I - ÔN TẬP

1. Số liệu thống kê

Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.

Ví dụ 1. Khi điều tra “Năng suất lúa hè thu năm 1998” của 31 tỉnh, người ta thu thập được các số liệu ghi trong bảng dưới đây.

Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh - Bảng 1

Tập hợp các đơn vị điều tra là tập hợp 31 tỉnh, mỗi 1 tỉnh là một đơn vị điều tra. Dấu hiệu điều tra là năng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh. Các số liệu trong bảng 1 gọi là các số liệu thống kê, còn gọi là các giá trị của dấu hiệu.

2. Tần số

Trong 31 số liệu thống kê ở trên, ta thấy có 5 giá trị khác nhau là

x1 = 25; x2 = 30; x3 = 35; x4 = 40; x5 = 45.

Giá trị x1 = 25 xuất hiện 4 lần, ta gọi n1 = 4 là tần số của giá trị x1.

Tương tự, n2 = 7; n3 = 9; n4 = 6; n5 = 5 lần lượt là tần số của các giá trị x2; x3; x4; x5.

111

II - TẦN SUẤT

Trong 31 số liệu thống kê ở trên, giá trị x1 có tần số là 4, do đó chiếm tỷ lệ là 4/31

Tỉ số 4/31 hay 12,9% được gọi là tần suất của giá trị x1. Tương tự, các giá trị x2; x3; x4; x5 lần lượt có tần suất là

Dựa vào kết quả đã thu được, ta lập bảng sau: Năng suất lúa hè thu năm 1998 của 31 tỉnh - Bảng 2

Bảng 2 phản ánh tình hình năng suất lúa của 31 tỉnh, được gọi là bảng phân bố tần số và tần suất. Nếu trong bảng 2, bỏ cột tần số ta được bảng phân bố tần suất, bỏ cột tần suất ta được bảng phân bố tần số.

III - BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT GHÉP LỚP

Ví dụ 2. Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

Chiều cao của 36 học sinh (đơn vị: centimét) _ Bảng 3

112

Để xác định hợp lí số lượng quần áo cần may cho mỗi kích cỡ, ta phân lớp các số liệu trên như sau

Lớp 1 gồm những số đo chiều cao từ 150 cm đến dưới 156 cm, kí hiệu là [150 ; 156).

Lớp 2 gồm những số đo chiều cao từ 156 cm đến dưới 162 cm, kí hiệu là [156 ; 162).

Lớp 3 gồm những số đo chiều cao từ 162 cm đến dưới 168 cm. kí hiệu là [162 ; 168).

Lớp 4 gồm những số đo chiều cao từ 168 cm đến 174 cm, kí hiệu là [168 ; 174).

Ta thấy có 6 số liệu thuộc lớp 1, ta gọi n1 = 6 là tần số của lớp 1. Cũng vậy, ta gọi n2 = 12 là tần số của lớp 2, n3 = 13 là tần số của lớp 3, n4 = 5 là tần số của lớp 4.

Các tỉ số …

được gọi là tần suất của các lớp tương ứng. Các kết quả trên được trình bày gọn trong bảng dưới đây

Chiều cao của 36 học sinh - Bảng 4

113

Bảng 4 được gọi là bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp. Nếu trong bảng 4 bỏ cột tần số thì sẽ có bảng phân bố tần suất ghép lớp, bỏ cột tần suất thì sẽ có bảng phân bố tần số ghép lớp.

Bảng 4 ở trên cho ta cơ sở để xác định số lượng quần áo cần may của mỗi cỡ (tương ứng với mỗi lớp). Chẳng hạn, vì số học sinh có chiều cao thuộc lớp thứ nhất chiếm 16,7% tổng số học sinh, nên số quần áo cần may thuộc cỡ tương ứng với lớp đó chiếm 16,7% số lượng quần áo cần may. Ta cũng có kết luận tương tự đối với các lớp khác. Nếu lớp học kể trên đại diện cho toàn trường thì có thể áp dụng kết quả đó để may quần áo cho học sinh cả trường.

Câu hỏi. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau: Tiền lãi (nghìn đồng) của mỗi ngày trong 30 ngày được khảo sát ở 1 quầy bán báo _ Bảng 5

Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp như sau: [29,5 ; 40,5), [40,5 ; 51,5), [51,5 ; 62,5), [62,5 ; 73,5), [73,5 ; 84,5), [84,5 ; 95,5].

 

BÀI TẬP

1. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau

Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ)

a) Lập bảng phân bố tần số và bảng phân bố tần suất.

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy đưa ra nhận xét về tuổi thọ của các bóng đèn nói trên.

114

2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp.

b) Dựa vào kết quả câu a), hãy nêu rõ trong 60 lá dương xỉ được khảo sát: số lá có độ dài dưới 30cm chiếm bao nhiêu phần trăm? Số lá có độ dài từ 30cm đến 50cm chiếm bao nhiêu phần trăm?

3. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau

Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g)

Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau [70 ; 80); [80 ; 90); [90 ; 100); [100 ; 110); [110 ; 120].

4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau

Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị : m)

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp, với các lớp sau [6,5 ; 7,0) ; [7,0 ; 7,5) ; [7,5 ; 8,0) ; [8,0 ; 8,5) ; [8,5 ; 9,0) ; [9,0 ; 9,5].

b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét về chiều cao của 35 cây bạch đàn nói trên.

115

BÀI 2 - BIỂU ĐỒ

I - BIỂU ĐỒ TẦN SUẤT HÌNH CỘT VÀ ĐƯỜNG GẤP KHÚC TẦN SUẤT

Ta có thể mô tả một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc.

1. Biểu đồ tần suất hình cột

Ví dụ 1. Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp (bảng 4) trong bài 1, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cộ sau (h.34)

116

2. Đường gấp khúc tần suất

Bảng phân bố tần suất ghép lớp kể trên (bảng 4) cũng có thể được mô tả bằng 1 đường gấp khúc, vẽ như sau. Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci ; fi), i = 1, 2, 3, 4 trong đó ci là trung bình cộng 2 mút của lớp i (ta gọi ci là giá trị đại diện của lớp i). Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci ; fi) với điểm (ci+1 ; fi+1), i = 1, 2, 3 ta thu được 1 đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất (h.35).

Câu hỏi 1. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau: Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm) – Bảng 6

Hãy mô tả bảng 6 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất.

117

3. Chú ý

Ta cũng có thể mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp bằng biểu đồ tần số hình cột hoặc đường gấp khúc tần số . Cách vẽ cũng như cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột hoặc đường gấp khúc tần số, trong đó thay trục tần suất bằng trục tần số.

II - BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT :

Người ta còn dung biểu đồ hình quạt để mô tả bảng cơ cấu trong  ví dụ dưới đây

Ví dụ 2 : Cho bảng 7
Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 1997, phân theo thành phần kinh tế

Hình 36a dưới đây là biểu đồ hình quạt mô tả bảng 7

CHÚ Ý
Các bảng phân bố tần suất ghép lớp cũng có thể mô tả bằng biểu đồ hình quạt, chẳng hạn hình 36b mô tả bảng 6.

118

Câu hỏi 2. Dựa vào biểu đồ hình quạt cho ở hình 37 dưới đây, hãy lập bảng cơ cấu như trong ví dụ 2

 

BÀI TẬP

1. Hãy mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở bài tập số 2 của bài 1 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất .

2. Xét bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã được lập ở bài tập số 3 của bài 1

a) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất.

b) Hãy vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số.

c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu a), hãy nêu nhận xét về khối lượng của 30 củ khoai tây được khảo sát.

3. Dựa vào biểu đồ hình quạt dưới đây (h.38), hãy lập bảng cơ cấu như trong ví dụ 2

119

BÀI 3 -  SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT

Để thu được các thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn. Các số đặc trưng nàyphản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra.

 

I - SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (HAY SỐ TRUNG BÌNH)

Ví dụ 1

a) Áp dụng công thức tính số trung bình cộng đã học ở lớp 7, ta tính được chiều cao trung bình của 36 học sinh trong kết quả điều tra được trình bày ở bảng 3 của bài 1 là

b) Sử dụng bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, ta tính gần đúng chiều cao trung bình của 36 học sinh trong kết quả điều tra được trình bày ở bảng 4 của bài 1 theo hai cách sau

Cách 1 . Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp

Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần số của lớp đó, cộng các kết quả lại rồi chia cho 36 , ta được

Kết quả này có nghĩa là chiều cao trung bình của 36 học sinh kể trên là

Ta cũng nói 162 chứng minh là số trung bình cộng của bảng 4

Cách 2. Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp

Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần suất của lớp đó rồi cộng các kết quả lại ta cũng được

120

Vậy ta có thể tính số trung bình cộng của các số liệu thống kê theo các công thức sau đây

Trường hợp bảng phân bố tần số , tần suất

Trong đó ni, fi lần lượt là tần số , tần suất của giá trị xi, n là số các số liệu thống kê ( n1 + n2 + …+ nk = n)

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Trong đó ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n).

Câu hỏi 1. Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau:

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm) - Bảng 8

a) hãy tính số trung bình cộng của bảng 6 và bảng 8

b) Từ kết quả đã tính được ở câu a), có nhận xét gì về nhiệt độ ở Thành phố Vinh trong tháng 2 và tháng 12 (của 30 năm được khảo sát).

II - SỐ TRUNG VỊ

Ví dụ 2.

Điểm thi toán cuối năm của 1 nhóm 9 học sinh lớp 6 là 1 ; 1 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10.

Điểm trung bình của cả nhóm là

121

Ta thấy hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình và có những điểm vượt xa. Như vậy, điểm trung bình x không đại diện được cho trình độ học lực của các em trong nhóm.

Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện cho các số liệu đó. Khi đó, ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn , đó là số trung vị .

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy số giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.

Trong ví dụ 2 ta có Me = 7

Ví dụ 3 :

Điểm thi toán của 4 học sinh lớp 6 được xếp thành dãy không giảm là 1 ; 2,5 ; 8 ; 9,5

Trong dãy này có hai số đứng giữa là 2,5 và 8.

Khi đó, ta chọn số trung vị là trung bình cộng của hai số này

Câu hỏi 2 . Trong bảng phân bố tần số , các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo thứ tự của chúng.

Hãy tìm số trung vị của các số liệu thống kê cho ở bảng 9

III - MỐT

Ở lớp 7 ta đã biết 
Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là MO

Nếu trong bảng phân bố tần số có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của các giá trị khác thì chọn mốt là giá trị nào ? Ta xét bảng 9 ở trên.

122

Trong bảng 9, có hai giá trị là 38 và 40 cùng có tần số lớn nhất là 126, trong trường hợp này ta coi rằng có 2 mốt là

Kết quả vừa thu được cho thấy rằng trong kinh doanh , cửa hàng nên ưu tiên nhập hai cỡ áo số 38 và số 40 nhiều hơn.

 

BÀI TẬP

1. Tính số trung bình cộng của các bảng phân bố đã được lập ở bài tập số 1 và bài tập số 2 của bài 1

2. Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn toán của hai lớp 10A và 10B , người ta cho hai lớp thi toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây

Điểm thi Toán của lớp 10A

Điểm thi Toán của lớp 10B

Tính các số trung bình cộng của hai bảng phân bố trênvà nên nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp.

123

3. Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may , ta có bảng phân bố tần số sau

Tiền lương của 30 công nhân xưởng may

Tìm mốt của bảng phân bố trên. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được.

4. Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công y du lịch là: 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị : nghìn đồng)

Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được.

5. Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 của 3 hợp tác xã ở địa phương V như sau

Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên.

 

BÀI 4 -  PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I – PHƯƠNG SAI

Ví dụ 1:

Cho biết giá trị tành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân của tổ 1 là

180, 190, 190, 200, 210, 210, 220           (1)

Còn của 7 công nhân của tổ 2 là

150, 170, 170, 200, 230, 230, 250            (2)

124

Ta thấy số trung bình cộng

Tuy nhiên, khi so sánh dãy (1) và dãy (2) ta thấy các số liệu ở dãy (1) gần với số trung bình cộng hơn , nên chúng đồng đều hơn. Khi đó ta nói các số liệu thống kê ở dãy (1) ít phân tán hơn dãy (2).

Để tìm số đo độ phân tán (so với số trung bình cộng ) của dãy (1) ta tính

Các độ lệch của mỗi số liệu thống kê đối với số trung bình cộng

(180 – 200) ; (190 – 200) ; (190 – 200) ; (200 – 200) ; (210 – 200) ; (210 – 200) ; (220 – 200)

Bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng ta được

Số

Tương tự phương sai

Ta thấy phương sai của dãy (1) nhỏ hơn phương sai của dãy (2) . Điều đó biểu thị độ phân tán của các số liệu thống kê ở dãy (1) ít hơn ở dãy (2)

Ví dụ 2 :

Tính phương sai của các số liệu thống kê ở bảng 4, bài 1 (cũng gọi là phương sai của bảng 4)

Số trung bình cộng của bảng 4 là

Mỗi số liệu thống kê thuộc một lớp được thau thế bởi giá trị đại diện của lớp đó.

a) Phương sai của bảng 4 (bảng phân bố tần số và tần số ghép lớp ) được tính như sau

125

Hệ thức (3) biểu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần số .

b) Từ (3) ta có

hay

Hệ thức (4) biểu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần suất

CHÚ Ý
a) Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình cộng ) của các số liệu thống kê càng bé.

b) Có thể tính phương sai theo các công thức sau

Trường hợp bảng phân bố tần số , tần suất

Trong đó ni, fi lần lượt là tần số , tần suất của giá trị xi, n là số các số liệu thống kê ( n1 + n2 + …+ nk = n); x là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Trong đó ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n); x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho.

126

Ngoài ra, người ta còn chứng minh được công thức sau

Trong đó

Câu hỏi 1 . Hãy tính phương sai của bảng 6 (ở bài 2)

II - ĐỘ LỆCH CHUẨN

Trong Ví dụ 2 ở trên, ta đã tính được phương sai của bảng 4 (ở bài 1) bằng. nếu để ý đến đơn vị đo thì ta thấy đơn vị đo của (bình phương đơn vị đo của dấu hiệu được nghiên cứu ). Muốn tránh điều này, có thể dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn (của bảng 4) và kí hiệu là sx. Vậy

Phương sai và độ lệch chuẩn sx đều được dung để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so ới số trung bình cộng ). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng sx, vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

Câu hỏi 2. Hãy tính độ lệch chuẩn ở bảng 6(ở bài 2)

127

BÀI ĐỌC THÊM
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO fx – 500MS ĐỂ TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN    

Ví dụ. Cho bảng phân bố tần số

Khối lượng của 30 con thằn lằn

Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx – 500MS, ta tìm số trung bình cộng và độ lệch chuẩn của bảng phân bố đã cho như sau

1. Chọn MODE cho phép tính thống kê

2. Xóa những bài thống kê cũ ấn lần lượt

3. Nhập dữ liệu

4. Gọi kết quả
a) Để tìm x…

b) Để tìm s…

5. Chú ý
a) Không cần nhập đúng thứ tự của số liệu. Để gọi dữ liệu (đã nhập), ấn. Có thể hiệu chỉnh số liệu hoặc tần số như sau.

Gọi số liệu (hay tần số) đó, rồi nhập giá trị mới và ấn =, giá trị mới sẽ thay thế giá trị cũ.

Có thể xóa 1 dữ liệu bằng cách gọi nó lên

b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp, ta sử dụng các giá trị đại diện của các lớp và làm tương tự.

128

BÀI TẬP

1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của bài 1.

2. Hai lớp 10C, 10D của 1 trường trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Văn theo cùng 1 đề thi. Kết quả thi được trình bày ở 2 bảng phân bố tần số sau đây

Điểm thi văn của lớp 10C

Điểm thi văn của lớp 10D

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, của các bảng phân bố tần số đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Văn ở lớp nào là đồng đều hơn?

3. Cho 2 bảng phân bố tần số ghép lớp

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1

Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2

a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho

b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho

c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn?

 

ÔN TẬP CHƯƠNG V

1. Chỉ rõ các bước để
a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp
b) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp

129

2. Nêu rõ cách tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.

3. Kết quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số con của mỗi hộ gia đình được ghi trong bảng sau

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất

b) Nêu nhận xét về số con của 59 gia đình đã được điều tra.

c) Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho.

4. Cho các số liệu thống kê được ghi trong 2 bảng sau

Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ 1

Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ 2

a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 1 với các lớp là [630 ; 635); [635 ; 640) ; [640 ; 645) ; [645 ; 650) ; [650 ; 655].

b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ hai với các lớp là [638 ; 642) ; [642 ; 646) ; [646 ; 650) ; [650 ; 654].

c) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã dược lập ở câu a) bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất.

d) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã được lập ở câu b), bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số.

e) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã lập được. Từ đó xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn.

130

5. Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau

Mức lương hàng năm của các cán bộ và nhân viên trong 1 công ty (đơn vị: nghìn đồng)

Tìm mức lương bình quân của các cán bộ và nhân viên trong công ty, số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của số trung vị.

6. Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3, 4, 5 của một loại sản phẩm mới được sản xuất ở 1 nhà máy. Dưới đây là bảng phân bố tần số theo số phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên.

a) Tìm mốt của bảng phân bố tần số đã cho
b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào?

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

7. Cho bảng phân bố tần số

Tiền thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên trong 1 công ty

Mốt của bảng phân bố tần số đã cho là

(A) 2 triệu đồng
(B) 6 triệu đồng
(C) 3 triệu đồng
(D) 5 triệu đồng

131

8. Cho bảng phân bố tần số

Tuổi của 169 đoàn viên thanh niên

Số trung vị của bảng phân bố tần số đã cho là

(A) 18 tuổi
(B) 20 tuổi
(C) 19 tuổi
(D) 21 tuổi

9. Cho dãy số liệu thống kê : 21, 23, 24, 25, 22, 20

Số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho là

(A) 23,5
(B) 22
(C) 22,5
(D) 14

10. Cho dãy số liệu thống kê : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Phương sai của các số liệu thống kê đã cho là

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4

11. BA nhóm học sinh gồm 10 người, 15 người, 25 người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là 50 kg, 38 kg, 40 kg. Khối lượng tring bình của 3 nhóm học sinh là

(A) 41,4 kg
(B) 42,4 kg
(C) 26 kg
(D) 37 kg

 

BÀI TẬP THỰC HÀNH DÀNH CHO CÁC NHÓM HỌC SINH (mỗi nhóm từ 3 đến 5 học sinh)

Chọn 1 lớp học trong trường rồi thực hiện các hoạt động sau

1. Điều tra và thu thập các số liệu thống kê trên lớp học đã chọn theo 1 dấu hiệu nào đó do nhóm tự lựa chọn (ví dụ như số anh chị em ruột của từng gia đình; thời gian dành cho học toán ở nhà của mỗi học sinh; chiều cao của mỗi người trong lớp; điểm kiểm tra toán của từng học sinh trong kì kiểm tra gần nhất;…)

2. Trình bày, phân tích, xử lí các số liệu thống kê đã thu thập được.

3. Rút ra kết luận và đề xuất các ý kiến.

132

CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Trong chương này, học sinh được cung cấp các khai niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm các hàm số lượng giác ở lớp 11. Cũng trong chương này, học sinh được học các công thức lượng giác cơ bản nhất và biết vận dụng các công thức này để thực hiện các biến đổi lượng giác.

133

BÀI 1 -  CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm O và đường kính AA’. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t’t, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính R = 1

Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t’t chuyển thành điểm M1 trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm M2, …; điểm -1 thành điểm N1, … (h.39).

Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn.

Nhận xét

a) Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm M1, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vòng nữa thì có một điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm M1.

b) Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn như trên hình 39 thì mỗi số thực dương t ứng với một điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tương tự, nếu cuốn tia At’ theo đường tròn thì mỗi số thực âm r ứng với một điểm M trên đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ.

134

Ta đi tới khái niệm đường tròn định hướng sau đây:

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương (h.40)

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.

Hình 41 cho ta hình ảnh của bốn cung lượng giác khác nhau có cùng điểm đầu A, điểm cuối B.

Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tô đậm trên hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41a), nếu nó dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gặp B lần thứ hai nó tạo nên cung tô đậm trên hinh 41b)…

Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tô đâmj trên hình 41b) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu,…

Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và dừng lại ở điểm B,  ta được một cung lượng giác điểm đầu A điểm cuối B. Như vậy:

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có cô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB

135

Chú ý: Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoăc cung bé) hoàn toàn xác định

Kí hiệu AB chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.

2. Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD (h.42). Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD)

3. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1 (h.43)

Đường tròn này cắt hai trục toạ độ tại bốn điểm A(1; 0), A’(-1; 0); B(0; 1); B’(0; -1). Ta lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A)

II - SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Độ và rađian

a) Đơn vị rađian

Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là rađian (đọc là ra-đi-an)

136

Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ AM1 bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài bán kính. Ta nói số đo của cung AM1 (hay số đo của góc ở tâm AOM1) bằng 1 rađian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát:

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

b) Quan hệ giữa độ và rađian

Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là  R, nên trong hình 43 số đo của cung AA’(hay góc bẹt AOA’) là  rad (vì R = 1). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết 180 =  rad

Suy ra:

Chú ý:
Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung /2 được hiểu là cung /2 rad.

Bảng chuyển đổi thông dụng:

Câu hỏi 1. Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang rađian và ngược lại. Nếu dùng máy tính CASIO fx-500MS ta làm như sau

(a)

(b)

137

c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là  rad và có độ dài là R. Vậy cung có số đo  rad của đường tròn bán kính R có độ dài l = R.

2. Số đo của một cung lượng giác

Ví dụ: Xét cung lượng giác AB trong hình 44a). Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung ¼ đường tròn, ta nói cung này có số đo /2, sau đó đi tiếp một vòng tròn nữa (thêm 2), ta được cung lượng giác AB có số đo là /1 + 2 = 5/2

Tương tự, cung lượng giác AB trong hình 44b) có số đo là

Cung lượng giác AC trong hình 44c) lại có số đo là

138

Từ các ví dụ nêu trong hình 44 ta thấy số đo của một cung lượng giác AM (A khác M) là một số thực am hay dương.

Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM

Câu hỏi 2. Cung lượng giác AD (h.45) có số đô là bao nhiêu?

Ghi nhớ:
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2. Ta viết:

Trong đó  là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M

Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta có

Người ta cũng viết số đo bằng độ. Công thức tổng quát của của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là

3. Số đo của một góc lượng giác

Ta định nghĩa:
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.

139

Câu hỏi 3. Tìm số đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung A’B’, AP = 1/3 AB). Viết số đo này theo đơn vị rađian và theo đơn vị độ

Chú ý:
Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ này về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = 

Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt là

a)
b)

Giải

a)

b)

140

BÀI TẬP

1. Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trường hợp này xảy ra?

2. Đổi số đo của các góc sau đây ra rađian

a) 18o
b) 57o30’
c) -25o
d) -125o45’

3. Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây

a)
b)
c)
d)

4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo

a)
b)
c)
5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo

a)
b)
c)
d)

6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)

a)
b)
c)

7. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM= … Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung AM1. AM2, AM3.

141

BÀI 2 - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘ CUNG

I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 

Câu hỏi 1. Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc ,… Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  (h.48)

Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin 

Hoành độ x = OH của điểm M gọi là cosin của  và kí hiệu là cos

Nếu cos khác 0,

Nếu sin khác 0,

Các giá trị của sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục cosin

142

Chú ý:
1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu …. thì các giá trị lượng giác của góc  chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10

Câu hỏi 2.

2. Hệ quả

(1) sin và cos xác định với mọi  thuộc R. Hơn nữa, ta có:

(2) Vì

(3) Với mọi m thuộc R…

(4) tan xác định với mọi …

Thật vậy, tan không xác định khi và chỉ khi cos = 0, tức là điểm cuối M của cung AM trùng với B hoặc B’ (h.48), hay …

(5) cot xác định với mọi …

(6) Dấu của các giá trị lượng giác của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM =  trên đường tròn lượng giác (h.49)

143

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

 

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

Câu hỏi 3. Từ định nghĩa của sin và cos, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

1. Ý nghĩa hình học của tan 

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lựong giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị i= OB

144

Cho cung lượng giác AM có số đo là . Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At (h.50)

Giả sử T không trùng với A. Vì MH // AT, ta có… Từ đó suy ra

Vì…

Khi T trùng A thì  = k và tan = 0. Vậy tan = AT

Tan  được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t’AT. Trục t’AT được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của cot

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng OA

Cho cung lượng giác AM có số đo là . Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs (h.51).

Lí luận tương tự mục trên, ta có: cot = BS

cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang

145

Câu hỏi 4. Từ ý nghĩa hình học của tan và cot hãy suy ra với mọi số nguyên k,

tan( + k) = tan , cot ( + k) = cot

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

Câu hỏi 5. Từ định nghĩa của sin , cos hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.

2. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1.

Giải.

Vì

Ví dụ 1.

146

Giải.

Suy ra

Vì

Từ đó

Ví dụ 3.

Chứng minh rằng

Giải. Vì

Ta có

3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau:  và -

Các điểm cuối của hai cung  = AM và - = AM’ đối xứng nhau qua trục hoành (h.52), nên ta có:

cos(-) = cos
sin(-) = - sin
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot

147

2) Cung bù nhau:  và  - .

Các điểm cuối của hai cung  = AM và  -  = AM’ đối xứng nhau qua trục tang (h.53), nên ta có:

sin( - ) = sin
cos( - ) = - cos
tan( - ) = - tan
cot( - ) = - cot

3) Cung hơn kém :  và ( + )

Các điểm cuối của hai cung  và ( + ) đối xứng qua gốc tọa độ O (h.54), nên ta có

sin( + ) = - sin
cos( + ) = - cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot

4) Cung phụ nhau:  và (/2 - )

Các điểm cuối của hai cung  và (/2 - ) đối xứng nhau qua phân giác d của góc xOy (h.55), nên ta có

sin(/2 - ) = cos
cos(/2 - ) = sin
tan(/2 - ) = cot
cot(/2 - ) = tan

148

Câu hỏi 6. Tính cos

BÀI TẬP

1. Có cung  nào mà sin nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) – 7
b) 4/3
c) căn 2
d) căn 5 chia 2

2. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a)

b)

c)

3. Cho 0 <  < /2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác

a)
b)

c)
d)

4. Tính các giá trị lượng giác cảu góc , nếu

a)

b)

c)

d)

5. Tính  biết

a) cos = 1
b) cos = -1
c) cos = 0
d) sin = 1
e) sin = -1
f) sin  = 0

 

149

BÀI 3 – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I – CÔNG THỨC CỘNG

Công thức cộng là những công thức biểu thị cos(a +/- b), sin(a +/- b), tan(a +/- b), cot(a +/- b) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b. Ta có:

Cos(a – b) = cosacosb + sinasinb

Cos(a + b) = cosacosb – sinasinb

Sin(a – b) = sinacosb – cosasinb

Sin(a + b) = sinacosb + cosasinb

Tan(a – b) =

Tan(a + b) =

Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa.

Ta thừa nhận công thức đầu. Từ công thức đó có thể chứng minh dễ dàng các công thức còn lại. Chẳng hạn

Cos(a + b) = cos[a – (-b)] = cosacos(-b) + sinasin(-b)
   = cosacosb – sinasinb

Sin(a – b) =

Câu hỏi 1: Hãy chứng minh công thức sin(a + b) = sinacosb + cosasinb.

150

Ví dụ 1:

Giải: Ta có

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

Giải. Ta có

Chia cả tử và mẫu của vế phải cho cosacosb, ta được điều phải chứng minh.

II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Cho a = b trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau:

Sin2a = 2sinacosa

Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

Tan2a = 2tana / 1 – tan2a

Từ các công thức nhân đôi suy ra các công thức:

cos2a =
sin2a =
tan2a =

Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc

151

Ví dụ 1: Biết sina + cosa = ½, tính sin2a

Giải: Ta có 1 = sin2a + cos2a = (sina + cosa)2 – 2sinacosa =

Ví dụ 2:

Giải: Ta có

Suy ra

Vậy

Vì

III -  CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

Cosacosb =

Sinasinb =

Sinacosb =

Các công thức trên được gọi là các công thức biến đổi tích thành tổng

152

Câu hỏi 2:  Từ các công thức cộng hãy suy ra các công thức trên

Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức

Giải: Ta có

A =

B =

2. Công thức biến đổi tổng thành tích

Câu hỏi 3: Bằng cách đặt u = a – b , v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Ta gọi các công thức sau đây là các công thức biến đổi tổng thành tích

Cosu + cosv =

Cosu – cosv =

Sinu + sinv =

Sinu – sinv =

153

Ví dụ 2: Tính A =

Giải: Ta có A =

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có sinA + sinB + sinC =

Giải: Trong tam giác ABC ta có A + B + C = pi. Từ đó suy ra

Vì vậy

Bây giờ ta có: sinA + sinB + sinC =

 

BÀI TẬP

1. Tính

a)

b)

154

2. Tính

a)

b)

c)

3. Rút gọn các biểu thức

a)

b)

c)

4. Chứng minh các đẳng thức

a)

b)

c)

5. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết

a)

b)

c)

6. Cho sin2a = … Tính sina và cosa.

155

7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a)
b)

c)
d)

8. Rút gọn biểu thức A =

 

ÔN TẬP CHƯƠNG VI

1. Hãy nêu định nghĩa của sin() cos() và giải thích ví sao ta có

2. Nêu định nghĩa của tan(), cot() và giải thích vì sao ta có

3. Tính

a)

b)

c)

d)

4. Rút gọn các biểu thức

a)

b)

c)

d)

156

5. Không sử dụng máy tính, hãy tính

a)

b)

c)

d)

6. Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh

a)

b)

c)

d)

7. Chứng minh các đồng nhất thức

a)

b)

c)

d)

8. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x

a)

b)

c)

d)

157

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng trong các bài tập sau

9. Giá trị sin() là

(A)
(B)
(C)
(D)

10. Cho cosa = …. Giá trị tana là

(A)
(B)
(C)
(D)

11. Cho a = … Giá trị của biểu thức…. là

(A)
(B)
(C)
(D)

12. Giá trị của biểu thức A =… là

(A)
(B)
(C)
(D)

13. Cho cota = ½. Giá trị của biểu thức B = … là

(A)
(B)
(C)
(D)

14. Cho tana = 2. Giá trị của biểu thức C = … là

(A)
(B)
(C)
(D)

158

CHỈ DẪN LỊCH SỬ

Như mọi khoa học khác, Lượng giác phát sinh từ nhu cầu của đời sống. Sự phát triển của ngành Hàng hải đòi hỏi phải biết xác định vị trí của tàu bè ngoài biển khơi theo Mặt Trời lúc ban ngày và theo các vì sao lúc ban đêm. Các cuộc chiến tranh đòi hỏi phải biết xác định những khoảng cách lớn và lập những bản đồ. Người nông dân cần biết sự thay đổi của thời tiết trong năm để sản xuất cho kịp thời vụ, nên phải có lịch, vv…

Các nhu cầu kể trên đã làm cho môn Lượng giác phát sinh và phát triển. Trước hết các nhà toán học Hy Lạp đã góp phần đáng kể vào việc phát triển môn Lượng giác và sau đó Ơ-Le là người đã xây dựng Lí thuyết hiện đại về Hàm số lượng giác trong cuốn “Mở đầu về Giải tích các đại lượng vô cùng bé” xuất bản năm 1748.

Ơ-LE

Ơ-le là một trong những nhà toán học lớn nhất từ xưa đến nay. Ông sinh tại Ba-lơ (Thuỵ Sỹ). Ông đã phát triển tất cả các ngành Toán học, từ những vấn đề rất cụ thể như đường tròn Ơ-le, cho tới những khái niệm hiện đại nhất nằm ở mũi nhọn của tiến bộ trong thời đại ông.

Ơ-le đã tiến hành nghiên cứu những đề tài khoa học rất đa dạng như Cơ học, Lí luận âm nhạc, Lí thuyết vẽ bản đồ địa lí, Khoa học hàng hải, các vấn đề về nước triều lên xuống, … Ông thường bổ sung, hoàn bị những lí thuyết Toán học cũ, và nghiên cứu thêm những lí thuyết Toán học mới.

Trong cuộc đời mình, Ơ-le đã viết trên 800 công trình về Toán học, Thiên văn và Địa lí. Ông đã đặt cơ sở cho nhiều ngành Toán học hiện nay đang được dạy ở bậc đại học.

Ơ-le là người rất say mê và cần cù trong công việc. Ông không từ chối bất kì việc gì, dù khó đến đâu. Chẳng hạn, để giải một bài toán thiên văn, mà nhiều nhà toán học khác đòi hỏi một thời gian và ba tháng, thì ông đã giải xong chỉ trong ba ngày. Do những cố gắng phi thường đó ông đã mắc bệnh và hỏng mất mắt phải. Về sau, ông bị mù cả hai mặt. Tuy thế, ông vẫn tiếp tục lao động sáng tạo và không ngừng cống hiến xuất sắc cho khoa học trong suốt 15 năm cuối đời mình.

Tên của Ơ-le được đặt cho một miệng núi lửa ở phần trông thấy được của Mặt Trăng.

159

ÔN TẬP CUỐI NĂM

I – Câu hỏi

1. Hãy phát biểu các khẳng định sau đây dưới dạng điều kiện cần và đủ

Tam giác ABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2

Tam giác ABC có các cạnh thoả mãn hệ thức BC2 = AB2 + AC2  thì vuông tại A.

2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

a)

b)

c)

3. Phát biểu quy tắc xét dấu một nhị thức bậc nhất. Áp dụng quy tắc đó để giải bất phương trình:

4. Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c.

Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá trị của m để tam thức sau luôn luôn âm.

f(x) = - 2x2 + 3x + 1 – m

5. Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất đó, hãy so sánh các số 23000 và 32000

6. a) Em hãy thu thập điểm trung bình học kì I về môn Toán của từng học sinh lớp mình.

b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp để trình bày các số liệu thống kê thu thập được theo các lớp [0 ; 2), [2 ; 4), [4 ; 6), [6 ; 8), [8 ; 10]

7. Nêu các công thức biến đổi lượng giác đã học

8. Nêu các giải hệ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ

II – Bài tập

1. Cho hàm số f(x) =

a) Tìm tập xác định A của hàm số f(x)

b) Giả sử B =… Hãy xác định các tập…

160

2. Cho phương trình mx2 – 2x – 4m – 1 = 0

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m khác 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m để -1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

3. Cho phương trình x2 – 4mx + 9(m – 1)2 = 0

a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình có nghiệm

b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4

4. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a)

b)

c)

5. Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tam giác

6. a) Xét dấu biểu thức f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1)

161

b) Lập biến thiên và sẽ trong cùng một hệ toạ độ vuông góc các đồ thị củ các hàm số

y = 2x(x + 2)  (C1)

y = (x + 2)(x + 1)  (C2)

Tính toạ độ các giao điểm A và B của (C1) và (C­2).

c) Tính các hệ số a, b, c để hàm số

y = ax2 + bx + c

có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B

7. Chứng minh các hệ thức sau

a)

b)

c)

d)

8. Rút gọn các biểu thức sau

a)

b)

c)

9. Tính

a)

b)

c)

162

10. Rút gọn

a)

b)

11. Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có

a)

b)

12. Không sử dụng máy tính, hãy tính

163

ĐÁP SỐ

CHƯƠNG I

Bài 1.

1. a) Mệnh đề

b) Là mệnh đề chứa biến

c) Là mệnh đề chứa biến

d) Mệnh đề

5. a)

b)

c)

7. a)

b)

c)

d)

Bài 2.

1. a)

b)

2.
a)
b)

3. a)

b)

Bài 3.

1.

3. a)
b)

4.

Bài 4.

1.
a)
b)
c)
d)

2.
a)
b)
c)
d)

3.
a)
b)
c)
d)

Bài 5.

2. l = 1745,3

3.
a)

b)

4. b)

5.
b)
c)

Ôn tập chương I

8. a) Đúng; b) Sai

9.

10.
a)

b)

c)

11.

12
a)
b)
c)
d)

13. a)

14.

15. a) Đúng; c) Đúng; e) Đúng

16. (A)

17. (B)

CHƯƠNG II

Bài 1.

1.
a)
b)
c)

2. x = 3, y = 4; x = -1, y = -1; x = 2, y = 3

3
a) M thuộc đồ thị
b) N không thuộc đồ thị
c) P thuộc đồ thị

4.
a) Hàm số chẵn
b) Không là hàm số chắn, không là hàm số lẻ
c) Hàm số lẻ
d) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

Bài 2.

2
a)
b)
c)

3.
a)
b)

Bài 3.

3.

a)

b)

c)

d)

4.
a)
b)

Ôn tập chương II

8.
a)
b)

11. a)

12
a)
b)

13. (C).

14. (C)

15. (B)

CHƯƠNG III

Bài 1.

3.
a)
b)
c)
d) Vô nghiệm

4.
a)
b)
c)
d)

Bài 2.

1.
a)
b) Vô nghiệm
c)
d)

2.
a)

b)

c)

3. 45 quả

4.
a)

b)

5.
b)

c)

d)

6.
a)

b)

c)

7.
a)
b)
c)
d)

8.

Bài 3.

2.
a)

b)

c)

d)

3. Giá mỗi quả quýt là 800 đồng, giá mỗi quả cam là 1400 đồng.

4. Dây chuyền thứ nhất : 450 áo
Dây chuyền thứ hai : 480 áo

5.
a)

b)

6. Giá một áo là 98000 đồng, giá một quần là 125000 đồng, giá một váy là 86000 đồng

7.
b)

d)

Ôn tập chương III

3.
a)
b) Vô nghiệm
c)
d) Vô nghiệm

4.
a)
b)
c)

5.
a)

b)

c)

d)

6. Người thứ nhất sơn xong sau 18 giờ, người thứ hai sơn xong sau 24 giờ

7.
a)

b)

8. Ba phân số đó là…

9. 432 sản phẩm.

166

10. Nếu làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba thì kết quả là

a)

b)

c)

d)

11.
a) Vô nghiệm
b)

12.
a) Chiều dài là 31,5cm, chiều rộng là 15,7m
b) Chiều dài là 39,6cm, chiều rộng là 27,5m

13. Người thứ nhất quét sân một mình hết 4 giờ, người thứ hai quét sân một mình hết 2 giờ

14. (C); 15. (A); 16. (C); 17. (D)

CHƯƠNG IV

Bài 1.

1. d)

2. Số C

3.
a)

b)

4.

6.

Bài 2.

1.
a)
b)
c)
d)

4.
a)
b) Vô nghiệm

5.
a)
b)

Bài 3.

2.
a)

b)

c)

d)

3.
a)

b)

Bài 4.

3. Để có lãi cao nhất, xí nghiệp cần lập phương án sản xuất các sản phẩm I và II theo tỉ lệ 4 : 1

Bài 5.

1.
a)

b)

c)

d)

167

3.
a) Vô nghiệm

b)

c)

d)

4
a)
b)

Ôn tập chương IV

1.
a)
b)
c)
d)

2.
a)
b)
c)
d)

3. (C)

4. Gọi P là khối lượng thức vật. Ta có 26,35 < P < 26,45

5.
a)
b)
c)

6.

11.
a)

b)

12.

14. (B); 15. (C); 16. (C); 17. (C)

CHƯƠNG V

Bài 1.

2. b)

Bài 3

1. 1170 giờ; 31cm

2. 6,1 điểm; 5,2 điểm
Điểm trung bình công của lớp 10A cao hơn, nên có thể nói học sinh của lớp 10A có kết quả làm bài thi cao hơn.

3. Có hai mốt là

4. Số trung vị Me = 720 nghìn đồng

5. 38,15 tạ/ha

Bài 4.

1.

2.
a)

b)

168

3.
a)

b)

c)

Ôn tập chương V

3. c)

4. e)

5.

6. a)

7. (C); 8. (B); 9. (C); 10. (D); 11. (A)

CHƯƠNG VI

Bài 1.

2.
a)
b)
c)
d)

3.
a)
b)
c)
d)

4.
a)
b)
c)

7.

Bài 2.

4.
a)

b)

c)

d)

5.
a)

b)

c)

d)

e)

f)

169

Bài 3.

1.
a)

b)

2.
a)

b)

c)

3.
a)
b)
c)

5.
a)

b)

c)

6.

7.
a)

b)

c)

d)

8.

Ôn tập chương VI

3.
a)
b)
c)
d)

4.
a)
b)
c)
d)

5.
a)
b)
c)
d)

9. (D); 10. (B); 11. (C); 12. (D); 13. (C); 14. (B)

ÔN TẬP CUỐI NĂM

I – Câu hỏi

3.

4.

5.

170

II – Bài tập

1.
a)
b)

2. b)

3.
a)

b)

c)

5.

6.
a)

b)

c)

8.
a)
b)
c)

9. a) 2; b) 9; c) 4

10.
a)

b)

12. -5

171

BẢNG TRA CỨU THUẬT NGỮ

Bảng biến thiên –  36

Bảng phân bố tần số -   111

Bảng phân bố tần suất –  111

Bảng phân bố tần số và tần suất –  111

Bảng phân bố tần số ghép lớp –  113

Bảng phân bố tần suất ghép lớp –  113

Bảng xét dấu  90

Bất đẳng thức  74

Bất đẳng thức hệ quả -  74

Bất đẳng thức tương đương –  75

Bất phương trình một ẩn x –  80

Bất phương trình bậc hai một ẩn –  103

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn –  95

Bất phương trình tương đương –  82

Biến số -  32

Biểu đồ -  115

Biểu đồ tần số hình cột –  117

Biểu đồ tấn suất hình cột –  117

Biểu đồ hình quạt –  117

Công thức cộng –  149

Công thức biến đổi tích thành tổng –  151

Công thức biến đổi tổng thành tích –  152

Công thức hạ bậc –  151

Công thức nhân đôi –  150

Cung lượng giác –  134

Điểm đầu của cung lượng giác  -  134

Điểm cuối của cung lượng giác –  134

Điều kiện cần –  6

Điều kiện cần và đủ -  7

Điều kiện đủ -  6

Điều kiện của bất phương trình –  81

Điều kiện của phương trình –  54

Đoạn [a ; b] -   17

Đồ thị của hàm số -  34

Độ lệch chuẩn –  126

Độ chính xác của một số gần đúng –  20

Đường gấp khúc tần suất  116

Đường gấp khúc tần số -  117

Đường tròn định hướng –  134

Đường tròn lượng giác –  135

Giá trị của hàm số f tại x –  32

Giá trị đại diện của lớp –  116

Giải bất  phương trình –  81

Giải hệ bất phương trình –  81

Giải và biện luận phương trình –  55

Giao (của hai tập hợp)  13

Giá trị lượng giác của cung –  141

Góc lượng giác –  135

Hai mệnh đề tương đương –  7

Hàm số -  32

Hàm số bậc hai –  42

Hàm số bậc nhất –  39

Hàm số chẵn –  37

Hàm số cho bằng bảng –  32

Hàm số cho bằng công thức –  33

Hàm số đồng biến (tăng) –  36

Hàm số hằng –  40

Hàm số lẻ -  37

Hàm số nghịch biến (giảm) –  36

Hàm số y = |x| -  40

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn –   81

Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn –  65

Hiệu (của hai tập hợp) –  14

Hợp (của hai tập hợp) –  14

Khoảng (a ; b) –  17

Kí hiệu với mọi và tồn tại –  7

Mệnh đề -  4

Mệnh đề đảo –  7

Mệnh đề chứa biến –  4

Mệnh đề kéo theo P => Q –  6

Mệnh đề phủ định – 5

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn –  95

Mốt –  121

Nghiệm của bất phương trình –  80

Nghiệm của hệ phương trình –  65

Nghiệm của phương trình nhiều ẩn –  65

Nghiệm ngoại lai –  56

173

Nhị thức bậc nhất –  89

Nửa khoảng –  17

Phần bù (của B trong A) –  15

Phép biến đổi tương đương phương trình –  55

Phép biến đổi tương đương bất phương trình –  82

Phương sai –  124

Phương trình bậc hai –  58

Phương trình bậc nhất hai ẩn –  63

Phương trình bậc nhất –  58

Phương trình hệ quả -  56

Phương trình một ẩn –  53

Phương trình nhiều ẩn –  54

Phương trình tương đương –  55

Rađian –  136

Sai số tuyệt đối –  19

Sai số tương đối –  21

Số trung vị -  121

Số trung bình cộng –  119

Tam thức bậc hai –  100

Tần số -  110

Tần số của lớp –  112

Tần suất –  111

Tấn suất của lớp –  112

Tập hợp (tập) –  10

Tập hợp bằng nhau –  12

Tập hợp con (tập con) –  11

Tập hợp rỗng (tập rỗng) - 11

Tập xác định của hàm số -  32

Tham số -  54

Trục côsin –  141

Trục côtang –  144

Trục sin –  141

Trục tang –  144

174

MỤC LỤC

Chương I – MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

Bài 1 – Mệnh đề -  4

Bài 2 – Tập hợp –  10

Bài 3 – Các phép toán tập hợp –  13

Bài 4 – Các tập hợp số -  16

Bài 5 – Số gần đúng. Sai số -  19

Ôn tập chương I –  24

Chương II – HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Bài 1 – Hàm số -  32

Bài 2 -  Hàm số y = ax + b  39

Bài 3 – Hàm số bậc hai –  42

Ôn tập chương II –  50

Chương III – PHƯƠNG TRINH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 – Đại cương về phương trình –  53

Bài 2 – Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai –  58

Bài 3 – Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn –  63

Ôn tập chương III –  70

Chương IV -  BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 – Bất đẳng thức –  74

Bài 2 – Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn –  80

Bài 3 – Dấu của nhị thức bậc nhất –  89

Bài 4 – Bất phương trình bậc nhất hai ẩn – 94

Bài 5 – Dấu của tam thức bậc hai –  100

Ôn tập chương IV –  106

Chương V – THỐNG KÊ

Bài 1 – Bảng phân bố tần số và tần suất –  110

Bài 2 – Biểu đồ -  115

Bài 3 – Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt –  119

Bài 4 – Phương sai và độ lệch chuẩn –  123

Ôn tập chương V –  128

Chương VI – CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC -  CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1 – Cung và góc lượng giác –  133

Bài 2 – Giá trị lượng giác của một cung –  141

Bài 3 – Công thức lượng giác –  149

Ôn tập chương VI –  155

Ôn tập cuối năm –  159

 

Bản quyền thuộc Nhà Xuất bản Giáo dục Bộ Giáo dục và Đào tạo

Ban Biên tập:
TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ biên) – VŨ TUẤN (Chủ biên) – DOÃN MINH CƯỜNG – ĐỖ MẠNH HÙNG – NGUYỄN TIẾN TÀI

Biên tập nội dung:
NGUYỄN KIM THƯ – LÊ THỊ THANH HẰNG

Biên tập kĩ thuật: NGUYẾN THỊ THANH HẢI

Trình bày bìa: BÙI QUANG TUẤN

Sửa bản in:
PHÒNG SỬA BẢN IN (NXB GIÁO DỤC TẠI HÀ NỘI)

Chế bản: 
PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC TẠI HÀ NỘI)

 

Chịu trách nhiệm xuất bản:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO

 

ĐẠI SỐ 10 – Mã số CH001m6. Số XB: 51-2006/CXB/1-30/GD. Số in: 44/LSX. In xong và nộp lưu chiểu tháng 7 năm 2006.