Đại số & Giải tích 12

Chứng minh Vì a = e lna nên y = ax = e x lna . Vậy

(ax)’ = (e x lna)’ = e x lna (x.lna)’= e x lna. lna = ax.lna

Chú ý: Đối với hàm số hợp au, ta có (au)’ = au.lna.u’

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = ex2 +1

Giải: Ta có y’ = ex2 +1 (x2 +1)’ = ex2 +1. 2x = 2x. ex2 +1

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = 8 x2 + x+1

Giải: Ta có y’ = (8 x2 + x+1)’ = 8 x2 + x+1 (x2 + x +1)’ ln8 = 8 x2 + x+1 (2x+1)ln8

       3) Đạo hàm của hàm số lorarít

a) Định lý 1: Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi x thuộc R+* và (lnx)’ =1/x

32

Chứng minh: Cho x > 0

Chú ý:  Đối với hàm số hợp lnu, ta có (lnu)’ = u’/u

(ln|x|)’ =1/x (x khác 0)

Thật vậy, ta có : ln|x| = lnx nếu x>0

              = ln (-x) nếu x<0

Vậy nếu x > 0 thì (ln|x|)’ = (lnx)’ = 1/x

nếu x < 0 thì (ln|x|)’ = (ln(-x))’ = (1/-x)(-1) = 1/x

33

b)  Định lý 2:

Hàm số...

Chứng minh: Vì

Chú ý: Đối với hàm số...

Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của hàm số y = ln(x2 + 3x + 9)

Giải: Vì x2 + 3x + 9 luôn luôn dương (do... và hệ số của x2 dương), nên hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc R. Ta có:

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số...

Giải: Để hàm số đã cho có nghĩa, ta phải có 2x + 1 > 0, tức là... Khi đó

34

        4) Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Định lý: Hàm số lũy thừa  y =       có đạo hàm với mọi x thuộc R*+

Chứng minh :   Với x > 0 ta có x = e lnx , vì vậy

Từ đó

Ví dụ 1 : (x1/2)’ = 1/2 x1/2-1= 1/2x-1/2= 1/ (2x1/2)  (x > 0)

Ví dụ 2 :

Ví dụ 3 :

Chú ý :

    1) Nếu x < 0 mà m lẻ thì ta vẫn có

Thật vậy, vì x < 0 nên –x > 0, ta có

Với m lẻ và x < 0  ta có

    2) Đối với hàm số hợp

35

BẢNG CÁC ĐẠO HÀM

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm số hợp ( dưới đây u = u(x) )

36

BÀI TẬP

1) Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) y = 5sinx – 3cosx

b) 

c) y = xcotgx  

d) y = sinx / x + x / sinx

e) y = tg [(x+1)/2 ]

g) y = xsinx / (1+tgx)

h)

i) y = sin(sinx)

k)

l)

m) y = sin2(cos3x)

n) y = ln4(sinx)

2) Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) y = (x – 1). ex

b) y =  ex / x2

c)  y = (x2 - 2x + 2) ex

d) y = 1/2 (ex + e-x)

e) y = ln2x

 g) y = 1/x + 2lnx – lnx / x

 h) y = lnx . lgx – lna . logax

i)

3)  Chứng minh rằng hàm số y = ln (1 / 1+x) thỏa mãn hệ thức x.y’ + 1 = ey

4)  Tính

5)  Cho hàm số f(x) = 2cos2(4x – 1). Tìm tập giá trị của f ’(x)

37

6)  Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x:

        a) y = sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x

        b)

7)  Giải phương trình : f ’(x) = 0 biết rằng f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x

BÀI 4 : ĐẠO HÀM CẤP CAO

1. Định nghĩa :

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’= f ’(x). Đạo hàm này có thể lại có đạo hàm . Đạo hàm của y’ = f ’(x) được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số y = f(x) và được ký hiệu là y” hay      f ”(x). Nếu đạo hàm cấp 2 lại có đạo hàm thì đạo hàm ấy được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) và được ký hiệu là y’’’ hay f ’’’(x) .v.v... Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) và ký hiệu là y(n) hay f(n)(x).

  Vậy f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’    (n >= 2)

Ví dụ : 1)  y = x5    ,   y’ = 5x4    ,     y’’ = 5.4x3      ,      y’’’ = 5.4.3x2 = 60 x2

   y(4) = 5.4.3.2x = 120x    y(5) = 5.4.3.2.1 = 120

   y(n) = 0  với  n > 5

38

              2)  y = ex ,     y’ = ex     ,     y’’ = ex      ,.... ,    y(n) = ex

              3) y = sinx   ,    y’ = cosx    ,    y’’ = -sinx   ,     y’’’= -cosx     ,    y(4) = sinx

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai :

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = f(t)  (f(t) là 1 hàm số có đạo hàm)

Vận tốc ở thời điểm t của chuyển động là v(t) = f ’(t)

Nhưng v(t) =  f ’(t) nên

Vậy đạo hàm cấp 2 của hàm số biểu thị chuyển động là gia tốc tức thời của chuyển động

 Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình

           Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động

Giải. Ta có:

Vậy gia tốc y(t)tại thời điểm t là:

39

BÀI TẬP

1. Tìm đạo hàm cấp đã cho của mỗi hàm số sau:

a) f(x) = (x + 10)6 ,   f ’’(2) = ?

b) f(x) = x.ex2    ,   f ’’(1) = ?

c)  f(x) = cos2x  ,   f(4)(x) = ?

d)  f(x)

2. Tìm đạo hàm cấp n của mỗi hàm số sau:

a) y = 1/ (1+x)

b) y = ln(1+x)

c) y = 1/ x(1-x)

d) y = sinax   (a là hằng số)

e) y = sin2x

3. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thõa mãn hệ thức tương ứng đã cho:

y = e4x + 2.e-x ;  y’’’ – 13y’ -12y = 0

4. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

   S = 1/2 (3t2 + t4)   (t được tính bằng giây, S được tính bằng mét)

 Tìm vận tốc và gia tốc của chuyển động tại t = 4s

40

BÀI 5: VI PHÂN

1. Định nghĩa:

 Cho hàm số y = f(x) xác định tr6n khoảng (a ;b) và có d0ạo hàm tại x thuộc (a;b).

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x thì

Vì vậy ta có:

Ví dụ: d(x3 -2x2 +1) = (3x2 -4x)dx

          d(e2x) = 2e2xdx

          d(sin2x) = sin2xdx

2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có

Do đó

41

Hay

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

Ví dụ:

Giải:

BÀI TẬP:

1. Tìm vi phân của mỗi hàm số sau

   a)

   b)

   c) y = tg2x

   d)

   e)

   g)

42

2. Chứng minh rằng nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm xo thì tại điểm đó ta có

d(u+v) = du +dv

d(uv) = vdu +udv

d(u/v)

3. Biết ln781 ~ 6,6606, tính ln782

3. Tính gần đúng các giá trị sau:

   a)

   b)cos61o

   c) e0,2

ÔN TẬP CHƯƠNG I

1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

   a) y = x3/3 – x2/2 + x - 5

   b)

   c)

   d)

   e)

   g)

2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

   a) y = excosx

   b) y = x3 lnx – x3/3

43

c) y = 2x + 5cos3x

   d)

   e)

3. Cho hàm số

4. Cho các hàm số f(x) =tgx

5. Cho hàm số

6. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

S = t3 -3t2 -9t +2 ở đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét

   a) Tính vận tốc khi t = 2s

   b) Tính gia tốc khi t =3s

   c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu

   d) tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu

7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau

   a)

   b)

44

8. Tìm b và c sao cho đồ thị của hàm số y = x2 +bx + c tiếp xúc với đường thẳng y=x tại điểm (1;1) (tức là đường thẳng y =x là tiếp tuyến của parapol y = x2 +bx+c tại điểm (1;1)

9. Cho hai hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa 2 tiếp tuyến kể trên.

CHỈ DẪN LỊCH SỬ CHƯƠNG I

Bài toán tìm tiếp tuyến của 1 đường cong là 1 nguồn gốc của phép tính đạo hàm. Bài toán này được đặt ra 1 cách tự nhiên sau khi Đêcac đã phat1 minh ra sự biểu diễn các hàm số bằng đồ thị.

Ngay từ nửa đầu thế kỷ XVII, Fecma (Fermat) và Đêcac (Descartes) đã biết những phương pháp báo hiệu sự ra đời của phép tính vi tích phân. Niutơn (Newton) ở Anh và Laipnit (Leibniz) ở Đức độc lập với nhau, đã sáng lập ra phép tính vi tích phân, công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán về cơ học đặt ra ở nửa sau của thế kỷ XVII.

NIUTƠN (NEWTON)

Niutơn (1643-1727) là nhà toán học, vật lý học, cơ học và thiên văn học vĩ đại người Anh.

Sinh ra thiếu tháng, Niutơn là 1 đứa trẻ yếu ớt, quặt quẹo. Lớn lên Niutơn cũng không phải là một câu bé khỏe mạnh. Cậu thường phải tránh những trò chơi hiếu động của đám bạn bè cùng lứa tuổi. Thay vào đó cậu tự sáng chế ra những trò chơi cho riêng mình, qua đó cũng thấy được tài năng thực nghiệm của cậu sớm được bộc lộ. Khi thì cậu làm ra những đồ chơi cơ học, như chiếc đồng hồ bằng gỗ chạy được. Khi thì cậu sáng chế ra chiếc cối xay gió, bên trong để con chuột đóng vai trò của người thợ xay. Có lần vào ban đêm, cậu đã thả 1 chiếc diều mang đèn lồng chiếu sáng, khiến cho dân làng hoảng sợ. Và ngay từ lúc nhỏ, Niutơn đã rất chịu khó đọc sách và ghi chép cẩn thận những điều lý thú cậu đọc d0ược trong sách.

45

Ở trường trung học, lúc đầu Niutơn chưa quan tâm mấy đến bài vở. Một hôm cậu bị một bạn đấm 1 cú rất mạnh. Từ hôm đó, để tỏ ra không thua kém bạn bè trong bất kì việc gì kể cả việc học tập, cậu học rất chăm, và chỉ một thời gian ngắn sau đó, cậu đã đứng đầu lớp.

Năm 1661. 18 tuổi, Niutơn vào học trường đại học Cambrit. Thầy dạy toán của Niutơn thừa nhận cậu sinh viên xuất sắc của mình đã vượt mình, và năm 1669 ông nhường chức vụ giáo sư cho người học trò lỗi lạc ấy. Niutơn giữ chức này cho đến năm 1701.

Cac1 mối quan tân khoa học của Niutơn được hình thành vào các năm 1661-1669 lúc Niutơn trên dưới 20 tuổi.

Cống hiến lớn lao của Niutơn đối với toán học là, đồng thời và độc lập với Laipnit, ông đã sáng lập ra phép tính vi phân và tích phân. Ngay từ các năm 1665-1666, lúc 22, 23 tuổi, Niutơn đã xây dựng cơ sở của phép tính này mà ông gọi là “phương pháp thông lượng”, và ông đã áp dụng phương pháp đó để giải những bài toán về cơ học. Niutơn và Laipnit cả 2 đều phát hiện ra liên hệ sâu sắc giữa tích phân và nguyên hàm. Đồng thời Niutơn đã có những phát minh cơ bản về dãy vô hạn, đặc biệt ông mở rộng định lý, ngaỳ nay gọi là định lý nhị thức Niutơn, ra cho trường hợp số mũ là một số thực bất kì.

Vế đại số, Niutơn đưa ra phương pháp giải bằng số các phương trình đại số, ngày nay gọi là “phương pháp Niutơn”. Ông cũng chứng minh nhiều định lý quan trọng về hàm đối xứng của các nghiệm của phương trình đại số, về sự tách nghiệm và tính bất khả quy của đa thức v.v...

Vế hình học, Niutơn đã phát triển lý thuyết các thiết diện cônic, cần thiêt cho việc nghiên cứu chuyển động của các hành tinh trong vũ trụ. Niutơn đã phân loại các đường cong này, mở rộng các khái niệm đường kính và tâm. Ông đã chỉ ra các phương pháp dựng các đường cong bậc 2 và bậc 3. Công trình naỳ đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của hình học giải tích và hình học xạ ảnh.

Về cơ học, Niutơn đã phát biểu nhiều định luật cơ bản. Từ các định luật đó, Niutơn suy ra tất cả các định lý của cơ học. Nhờ phát minh ra định luật vạn vật hấp dẫn, Niutơn đã giải thích được rất nhiều hiện tượng như trọng trường, chuyển động quay của Mặt Trang xung quanh Trái Đất, chuyển động quay của các hành tinh xung quanh Mặt Trời, chuyển động của sao chổi, hiện tượng thủy triều v.v...

Về vật lý, Niutơn đã có những phát minh cơ bản trong quang học, đặc biệt trong việc giải thích nguyên lý truyền ánh sáng. Niutơn đã chứng minh rằng ánh sáng trắng bị phân tích thành bảy sắc của cầu vồng khi đi qua lăng kính. Các nghiên cứu naỳ đã đưa Niutơn đến việc sáng chế ra kính thiên văn gương đầu tiên (1688). Niutơn cũng nghiên cứu sự giao thoa ánh sáng.

46

Mặc dù có những cống hiến vĩ đại trong khoa học, Niutơn vẫn là một người hết sức khiêm tốn. Ông nói về mình nhu sau: “Tôi chẳng biết đối với mọi người tôi là người như thế nào. Riêng tôi, tôi tự thấy mình chẳng khác naò một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, vui sướng mỗi khi nhặt được 1 viên sỏi, hoặc 1 vỏ sò đẹp hơn bình thường, trong lúc đại dương chân lý trải ra trước mặt tôi mà tôi không biết đến.

Có người đã hỏi Niutơn: “ Làm thế naò để phát minh ra định luật vạn vật hấp dẫn?”. Ông trả lời : “Lúc naò cũng nghĩ về nó”. Ông giải thích phương pháp nghiên cứu của mình như sau: “Lúc nào tôi cũng để tâm nghiên cứu và tôi chờ đợi đến khi sự việc dần dần hiện rõ ra và trở nên hoàn toàn sáng tỏ”.

Để ghi nhớ công lao to lớn của Niutơn đối với khoa học, người ta đã quy ước đơn vị lực trong hệ thống đơn vị quốc tế là “Niutơn”.

Tên của Niutơn đã được đặt cho một miệng núi lửa trên phần trông thấy của Mặt Trăng và cho một miệng núi lửa trên Hỏa Tinh.

47

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

- Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Cực đại và cực tiểu

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

- Tiệm cận

- Sơ đồ khảo sát hàm số

- Khảo sát một số hàm số

- Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Giả sử hàm số y = f(x) xáx định trên khoảng (a;b)

Ta nói:

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.

48

Dễ dàng nhận thấy rằng:

f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

Từ đó suy ra rằng:

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:

Ta thừa nhận định lý sau

Định lý Lagrăng (Lagrange)(1)

Nếu hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại 1 điểm c thuộc khoảng (a;b) sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b-a)   hay f’(c)

Ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng

Xét cung AB của đổ thị hàm số y = f(x) trong đó tọa độ của điểm A (a; f(a)), của điểm B là (b;f(b)) (h.5)

49

Hệ số góc của cát tuyến AB là

Đẳng thức

Có nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c;f(c)) bằng hệ số góc của cát tuyến AB. Vậy nếu các giả thiết của định lý Lagrăng được thỏa mãn thì tồn tại 1 điểm C của cung AB sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB. Sau đây là dấu hiệu (điều kiện đủ) của tính đơn điệu của hàm số

Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)

a) Nếu f’(x) >0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

Chứng minh: Lấy 2 điểm x1,x2 (x1 < x2) trên khoảng (a;b)

Áp dụng định lý Lagrăng cho hàm số y= f(x) trên đoạn [x1;x2], khi đó tồn tại 1 điểm c thuộc (x1;x2) sao cho:

f(x2) – f(x1) = f’(c)(x2-x1)

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì f’(c) > 0, mặt khác x2-x1 > 0 nên f(x2) –f(x1) > 0 tức là f(x2) > f(x1). Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

b) Chứng minh tương tự

Ta thừa nhận định lý mở rộng sau đây của định lý 1

Định lý 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). nếu f’(x) >= 0 ( hoặc f’(x) <= 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.

50

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số y = x2 – 2x +3

Giải: Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc R

Đạo hàm y’ = 2x -2 = 2(x-1) cũng xác định trên R. Nó dương khi x>1, âm khi x < 1.

Chiều biến thiên của hàm số được cho trong bảng sau đây, gọi là bảng biến thiên của hàm số

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3x + 3/x +5

Giải: Hàm số xác định với mọi x khác 0, x thuộc R

Đạo hàm của hàm số là

51

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng

3. Điểm tới hạn

Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 thuộc khoảng (a;b). Điểm x0 được gọi là 1 điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0.

Ví dụ 1: Xét hàm số y= 3x +3/x + 5

Ví dụ 2: Hàm số

Đạo hàm của nó là:

Hàm số đã cho có 2 điểm tới hạn là x = 0 và x = 2

Đối với các hàm số f(x) thường gặp, f’(x) là liên tục trên khoảng xác định của nó. Khi đó giữa 2 điểm tới hạn kề nhau x1 và x2, f’(x) giữ nguyên một dấu.

52

Thật vậy, nếu trong khoảng (x1;x2) có 2 điểm

Các điểm tới hạn chia tập xác định của hàm số thành những khoảng trong đó đạo hàm của hàm số giữ nguyên 1 dấu. Do đó, để tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số thông qua bảng biến thiên, ta tiến hành theo các bước sau :

1) Tìm các điểm tới hạn

2) Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.

3) Từ đó suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.

Chú thích: (1) Lagrange, nhà toán học Pháp (1736-1813)

BÀI TẬP

1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số

a) y = 2x2 – 3x + 5

b) y = 4 + 3x – x2

c) y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 2

d) y = x4 -2x2 + 3

53

2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a)

b)

c)

d)

e) y = xlnx

g) y = x2 e-x

h) y = x + sinx

3. Chứng minh rằng hàm số

4. Chứng minh rằng hàm số

BÀI 2: CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và xo thuộc khoảng (a;b)

a)

b) Điểm xo được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận

Lúc đó, ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm xo ; f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số và ký hiệu bởi fCĐ = f(xo), còn điểm M(xo; f(xo)) thì được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

54

c) Điểm xo được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận

Lúc đó, ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo ; f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số và ký hiệu bởi fCT = f(xo), còn điểm M(xo; f(xo)) thì được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Hình 6 mô tả đồ thị của hàm số với điểm cực đại M1 và điểm cực tiểu M2.

d) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị của hàm số tại điểm cực trị được gọi là cực trị của hàm số đã cho.

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Sau đây, ta luôn luôn giả thiết rằng hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và xo thuộc khoảng (a;b).

Định lý Fecma (Fermat)

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại điểm đó thì f ’(xo) = 0.

55

Chứng minh

a) Giả sử hàm số đạt cực đại tại xo

Suy ra   (1)

Suy ra   (2)

Từ (1) và (2) và từ giả thiết f’(xo) tồn tại suy ra

f’(xo) = f’(xo+) = f’(xo-) = 0

b) Trường hợp hàm số đạt cực tiểu tại xo , chứng minh tương tự

Ý nghĩa hình học của định lý Fecma

Nếu f(x) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(xo; f(xo)) song song với trục hoành (h.6).

Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn của hàm số đó.

Thật vậy, giả sử xo là 1 điểm cực trị của hàm số y= f(x). Nếu tại xo đạo hàm không tồn tại thì đó là một điểm tới hạn của hàm số đã cho. Còn nếu f’(xo) tồn tại thì theo định lý Fecma f’(xo) = 0, vậy đó cũng là  1 điểm tới hạn của hàm số đã cho.

56

Chú ý. Một điểm tới hạn thì không nhất thiết là điểm cực trị (xem ví dụ 2 trang 57).

3. Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trị

 1) Dấu hiệu 1

Định lý 1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm xo (có thể trừ tại xo)

    1) Nếu f’(x) > 0

    2) Nếu f’(x) < 0

Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua xo , đạo hàm đổi dấu thì xo là 1 điểm cực trị.

Tính chất của cực trị được thể hiện trong bảng biến thiên sau

Chứng minh

    1) Ta phải chứng minh rằng f(x) < f(xo)

Vì hàm số f(x) liên tục trên đoạn [x ; xo] và có đạo hàm trên khoảng (x ; xo) nên theo định lý Lagrăng, ta có: f(x) – f(xo) = f’(c)(x-xo)  với một số c nào đó thuộc khoảng (x ; xo).

57

Vì f’(c) >0 và (x –xo) < 0 (theo giả thiết), cho nên:

Lập luận tương tự cho trường hợp

Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại xo.

    2) Chứng minh tương tự

Áp dụng dấu hiệu I, ta có quy tắc I sau đây để tìm các điểm cực trị của hàm số

Quy tắc I:

   1) Tìm f’(x)

   2) Tìm các điểm tới hạn

   3) Xét dấu cua đạo hàm

   4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = 3x +3/x +5

Giải. Từ ví dụ 2 trong bài 1, ta thấy x = -1 là điểm cực đại và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3

Giải. Tập xác định R

y’ = 3x2 , y’ = 0

y’> 0 trừ tại điểm x = 0. Vậy hàm số luôn luôn đồng biến. Do đó, hàm số không có điểm cực trị.

Chú ý. Như vậy, điểm tới hạn x = 0 không phải là điểm cực trị.

58

Ví dụ 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Từ bảng biến thiên của hàm số, đã lập khi tìm các khoảng đơn điệu của hàm số này ở cuối bài 1, ta kết luận rằng hàm số đã cho có điểm cực đại x = 0 và fCĐ = f(0) = 0 và điểm cực tiểu x =2 với fCT = f(2)

2) Dấu hiệu II

Định lý 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại xo và f ’(xo) = 0 , f’’(xo) khác 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số

Hơn nữa,

1) Nếu f ’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu

2) Nếu f ’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại

Nói cách khác,

Chứng minh

   1) Giả sử f”(x) >0. Vì hàm số f”(x) liên tục tại xo, nên f”(x)> 0 trong 1 lân cận nào đó của xo (1), vì vậy trên lân cận đó, hàm số f’(x) đồng biến. Nhưng f’(xo) = 0 cho nên:

- Nếu x < xo thì f’(x) < f’(xo) = 0

- Nếu x > xo thì f’(x) > f’(xo) = 0

tức là đạo hàm của x đổi dấu từ âm sang dương khi x chuyển qua xo. Do đó xo là điểm cực tiểu theo dấu hiệu I.

   2) Chứng minh tương tự.

Áp dụng dấu hiệu II, ta có quy tắc II sau đây để tìm các điểm cực trị của hàm số

59

Quy tắc II

    1) Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi xi (i = 1,2,...) là các nghiệm.

    2) tính f”(x)

    3) Từ dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu II

Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số  f(x) = x4/4 – 2x2 +6

Giải. Hàm số xác định với mọi x thuộc R

    1) f’(x) = x3 -4x = x(x2 -4) = 0

    2) f”(x) = 3x2 – 4

    3)

Kết luận: f(x) đạt cực tiểu

                F(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = f(0) = 6

Ví dụ 2 . Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2x

Giải. Tập xác định R

    1) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x = 0

    2) f”(x) = 2cos2x

    3)

60

Kết luận.

BÀI TẬP

1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số sau

a) y = 2x3 + 3x2 – 36x -10

b) y = x4 +2x2 -3

c) y = x + 1/x

d)

e) y = x e-x

g) y = x3 (1-x)2

2. Áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị của hàm số

a) y = x4 – 2x2 +1

b) y = sin2x –x

c)

d) y = sin2x + cos2x

e) y = x2lnx

3. Chứng minh rằng hàm số

4. Xác định m để hàm số

5. Chứng minh rằng hàm số

6. Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a2x3 +2ax2 – 9x +b đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

61

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng

Bài toán. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết luận. Nếu tr6en khoảng (a;b) hàm số có 1 cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất (giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên khoảng (a;b)

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x – 5 + 1/x (x > 0)

62

Giải.

Bảng biến thiên

Qua bảng biến thiên, ta nhận thấy trên khoảng... hàm số có một cực trị duy nhất là cực tiểu, và đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy:... thì rõ ràng không tồn tại.

Ví dụ 2. Cho 1 tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc 4 hình vuông bằng nahu, rồi gập tấm nhôm lại như trên hình vẽ (h.7) để được 1 cái hộp không nắp. Tìm cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp lớn nhất.

Giải. Gọi x là cạnh của các hình vuông bị cắt, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a/2 (h.7). Thể tích của khối hộp là : V(x) = x(a-2x)2 (0 < x < a/2)

63

Ta phải tìm x thuộc khoảng (0;a/2) sao cho V(x) có giá trị lớn nhất

Xét hàm số V(x) = x(a-2x)2 trên khoảng (0;a/2)

V’(x) = 12x2 -8ax +a2 = 0

Bảng biến thiên

Qua bảng biến thiên, ta nhận thấy trong khoảng (0 ; a/2) hàm số V(x) có một cực trị duy nhất là cực đại và có giá trị bằng 2a3/27. Vậy cạnh của các hình vuông bị cắt bằng a/6 thì thể tích của khối hộp lớn nhất.

3. Giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Baì toán. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữa hạn điểm tới hạn trên đoạn đó.

Cách giải. Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận. Song ta còn có thể áp dụng cách giải đơn giản hơn dưới đây.

64

Trước hết, ta chú ý rằng, khác với trường hợp của bài toán trên, theo tính chất hàm số liên tục tr6en 1 đoạn.

Nếu f(x) không có điểm tới hạn nào trên đoạn [a;b] thì f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn đó. Do đó, tr6en đoạn [a;b], f(x) hoặc đồng biến hoặc nghịch biến.

Nếu f(x) có 1 số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn [a;b] thì chúng chia đoạn [a;b] thành 1 số hữu hạn đoạn nhỏ đó là các giá trị của hàm số tại các đầu mút.

Từ các nhận xét trên, ta suy ra quy tắc:

Quy tắc

    1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2,...., xn của f(x) trên đoạn [a;b].

    2) Tính f(a), f(x1), f(x2),...., f(xn), f(b).

    3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x3 + 3x2 – 1 trên các đoạn và nửa đoạn sau đây:

65

Giải: f’(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1) = 0 tương đương x = -1, x = 0. Vậy các điểm tới hạn là x1 = -1, x2 = 0.

a) [ -2; -1/2 ]

b) [ -1/2 ; 1]

c) [1; 3)

Giải. f’(x) = 6x2 + 6x = 6x (x+1)

a)

b)

c) Trên nửa đoạn [1;3) không có điểm tới hạn nào. Vì f’(2) = 36 > 0 nến f’(x) > 0 trên nửa đoạn [1;3). Do đó, f(x) đồng biến trên nửa đoạn [1;3)

66

BÀI TẬP

1. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = 1 + 8x – 2x2

b) y = 4x3 – 3x4

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = (x+2)2 / x (x > 0)

b) y = x2 + 2/x (x > 0)

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x3 -3x2 -9x + 35 trên đoạn [-4;4]

b) y = | x2 -3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

c)

d) y = sin2x – x

4. Cho trước chu vi hình chữ nhật là p = 16cm, dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

5. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

BÀI 4. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

1. Khái niệm về tính lồi lõm và điểm uốn

Xét đồ thi ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hìn dưới đây. Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến.

67

Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn luôn ở phía tr6en của cung AC. Ta nói cung AC là 1 cung lồi. Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của C thì khoảng (a;c) được gọi là 1 khoảng lồi của đồ thị.

Tại mỗi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới cung CB. Ta nói cung CB là 1 cung lõm. Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của B thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị

Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn. Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình 8 là một điểm uốn.

2. Dấu hiệu lồi lõm và điểm uốn

Ta thừa nhận dâú hiệu lồi lõm sau đây

Định lý 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b)

1) Nếu f”(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.

2) Nếu f”(x) > 0 với mọi x thuộc a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.

Áp dụng định lý trên, ta có thể chứng minh được dấu hiệu điểm uốn sau đây:

68

Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 1 lân cận nào đó của điểm xo và có đạo hàm tới cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua xo thì điểm Mo(xo;f(xo)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.

Chứng minh. Giả sử f”(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo. Thế thì:

Với x < xo và x đủ gần xo ta có f”(x) < 0, do đó theo dấu hiệu lồi, lõm , đồ thị của hàm số đã cho lồi bên trái điểm Mo(xo;f(xo)).

Với x > xo và x đủ gần xo ta có f”(x) > 0, do đó đồ thị của hàm số đã cho lõm bên phải điểm M0(xo;f(xo)).

Vậy điểm Mo(xo;f(xo) là điểm uốn.

Chứng minh tương tự cho trường hợp f”(x) đổi dâú từ dương qua âm

Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = 2x3 -6x2 +2x

Gaỉi .tập xác định R

Ta có y’= 6x2 -12x +2

          y” = 12x -12

Bảng xét dấu của y”

Chú ý.Tại điểm uốn C tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị.

Ví dụ 2. tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

69

Giải. Tập xác định R

Bảng xét dấu của y”

Ví dụ 3: Tìm các khoảng lồi lõm của đồ thị hàm số

Giải. tập xác định R \ {0}

Bảng xét dấu của y”

Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số không xác định tại điểm x = 0

70

BÀI TẬP

1. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số:

a) y = 3 + 2x – x2

b) y = lnx

c) y = 2x4 + x2 -1

2. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = 3x2 –x3 lõm trên khoảng

3. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x3 + 6x – 4

b) y = x4/4 + x2/2 -2

c) y = 3x5 -5x4 +3x -2

4. Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = x3 –ax2 +x +b nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.

5. Tìm a để đồ thị của hàm số y = x4 –ax2 +3

a) có 2 điểm uốn

b) không có điểm uốn

6. Chứng minh rằng đường cong

71

BÀI 5. TIỆM CẬN

1. Định nghĩa

a) Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M (x;y) là 1 điểm thay đổi trên (C).

Ta nói (C) có  1 nhánh vô cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa độ x;y của điểm M(x;y) dần tới vô cực

b) Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực. Cho đường thẳng d. Kí hiệu MH là khoảng cách từ điểm M(x;y) thuộc (C) đến đường thẳng d.

D được gọi là đường tiêm cận hay tiêm cận của (C) nếu MH dần đến 0 khi M dần tới vô cực trên (C).(h.9)

Nói cách khác

2. Cách xác định tiệm cận

1) Tiệm cận đứng

Định lý.

72

Chứng minh. Giả sử M(x;y) thuộc (C)

Nhưng khi đó

Vì vậy đường thẳng d có phương trình x =xo là 1 tiệm cận của (C)

Trong trường hợp này ta gọi đường thẳng x = xo là 1 tiệm cận đứng của đồ thị (C).

Ví dụ. Cho hàm số

Chú ý

2) Tiệm cận ngang

Định lý

Chứng minh. Khoảng cách MH từ M(x;y) thuộc (C) đến d là MH = |y –yo|

Trong trường hợp này ta gọi đường tah83ng y = yo là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

73

Trong trường hợp này ta gọi đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).

Ví dụ 1. Đồ thị (C) của hàm số

Ví dụ 2. Cho hàm số

Chú ý.

3) Tiệm cận xiên

Giả sử M(x;y) thuộc đồ thị (C) dần tới vô cực khi cả 2 tọa độ x và y đều dần tới vô cực. Giả sử đường thẳng d có phương trình là y = ax + b.

a) Định lý . Điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng d là 1 tiệm cận của đồ thị (C) là

Chứng minh

Giả sử M(x;f(x)) thuộc (C), P(x;ax +b) thuộc d.  MI là khoảng cách từ M đến d

74

Trong tam giác vuông MIP ta có:

Theo định nghĩa ta có

Ta gọi đường tiệm cận y = ax +b với a khác 0 là 1 tiệm cận xiên của đồ thị (C)

Chú ý

75

Ví dụ. Đồ thị của hàm số y = 2x -1 + 2/(x-1)  có tiệm cận xiên (2 bên) là đường thẳng y = 2x – 1 là vì

b) Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax + b

Ta có thể tìm hệ số a và b của đường tiệm cận xiên như sau:

Mặt khác ta có

Vậy các công thức để xác định các hệ số a và b của tiệm cận xiên là

Chú ý

76

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Giải.

Vậy đường thẳng y = 2x-1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Chú ý. Nếu ta viết y dưới dạng

Thì ta có

Vậy đường thẳng y = 2x -1 là một tiệm cận xiên của đồ thị.

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Giải

1) trường hợp

Vậy y = x là tiệm cận xiên bên phải

77

2 ) trường hợp

Vậy y = -x là tiệm cận xiên bên trái

BÀI TẬP

1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = x / (2-x)

b)

c)

78

2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau

3. Tìm các tiệm cận của đồ thị của mỗi hàm số sau:

a)

b)

c)

BÀI 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

   1) Tìm tập xác định của hàm số (Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có))

   2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số

a) Xét chiều biến thiên của hàm số

Tính đạo hàm

Tìm các điểm tới hạn

Xét dấu của đạo hàm

Suy ra chiều biến thiên của hàm số

b) Tính các cực trị

c) tìm các giới hạn của hàm số

- Khi x dần tới vô cực

- Khi x dần tới, bên trái và bên phải, các giá trị tại đó hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận (nếu có)

d) Xét tính lồi lõm, và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với các hàm số trong chương trình)

79

- Tính đạo hàm cấp 2

- Xét dấu của đạo hàm cấp 2

- Suy ra tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

e) Lập bảng biến thiên ( ghi tất cả các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

   3) Vẽ đồ thị

- Chính xác hóa đồ thị (xem chú ý dưới đây)

- Vẽ đồ thị

Chú ý

1) Nếu hàm số là tuần hoàn với chu kì T, thì chỉ cần khảo sát hàm số trên 1 chu kì rồi cho tịnh tiế đồ thị theo trục Ox.

2) Để chính xác hóa đồ thị, nên tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ và nên lấy thêm 1 số điểm của đồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở 1 số điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn v.v...Nêu nhận xét các yếu tố đối xứng: tâm đối xứng, trục đối xứng ( nếu có). Việc chứng minh các tính chất đối xứng là không bắt buộc.

3) Đối với các hàm số trong chương trình, cần:

- Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d

y = ax4 + bx2 + c

( các hàm số này không có tiệm cận)

- Tìm tiệm cận của các hàm số

Không yêu cầu xét tính lồi lõm của đồ thị các hàm số này

80

2. Một số hàm số đa thức

1) Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)

Ví dụ 1 . Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 -4

Giải.

   1) tập xác định R

   2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên

y’ = 3x2 + 6x = 3x(x+2)

y’ = 0

y’ > 0

y’ < 0

b) Cực trị

Hàm số đạt cực trị tại x = -2 , yCĐ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = -4

c) Giới hạn

d) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

y” = 6x + 6 = 6(x+1)

81

e) Bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Vì x3 + 3x2 -4 = (x-1)(x+2)2 = 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I(-1;-2) là : y’(-1) = -3

Chú ý. Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI, thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và toạ độ mới (X,Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức (gọi là công thức đổi trục)

Thay vào hàm số đã cho, ta được Y = X3 -3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng.

82

Ví dụ 2. Khảo sát hàm số  y = -x3 +3x2 -4x + 2

Giải.

   1) Tập xác định R

   2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên

y’ = -3x2 +6x -4 = -3(x-1)2 -1 < 0  với mọi x thuộc R

b) Cực trị . Hàm số không có cực trị

c) Giới hạn

d) Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

y” = -6x +6 = 6(-x +1) = 0

83

e) Bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Giao điểm với trục Ox : (1;0)

Giao điểm với trục Oy : (0;2)

Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc là  y’(1) = -1

Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số y= ax3 + bx2 + cx + d

   1) tập xác định R

   2) Đạo hàm y’ = 3ax2 +2bx + c ; y” = 6ax + 2b

Luôn luôn có một điểm uốn. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn.

84

y’ = 0 có hay nghiệm phân biệt

y’ = 0 có nghiệm kép

y’ = 0 vô nghiệm

2) Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a khác 0)

Ví dụ 1. Khảo sát hàm số y = x4 -2x2 + 2

Giải,

   1) Tập xác định : R. Hàm số chẵn

   2) Sự biến thiên

85

a) Chiều biến thiên

y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2-1)

b) Cực trị

Hai điểm cực tiểu

Điểm cực đại x = 0; yCĐ = y (0) = 2

c) Giới hạn

d) Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị

e) Bảng biến thiên

86

   3) Đồ thị

Hàm số đã cho là chẵn, do đó đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2)

Ví dụ 2. Khảo sát hàm số y = -x4/2 – x2 + 3/2

Giải.

   1) Tập xác định R. Hàm số chẵn

   2) Sự biến thiên

a)Chiều biến thiên

b) Cực trị

Điểm cực đại x = 0; yCĐ = y(0) = 3/2. Không có điểm cực tiểu.

c) Giới hạn

d) Tính lồi lõm của đồ thị

y” = -6x2 -2 = -2(3x2 +1) < 0  với mọi x thuộc R

87

e) Bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng (y là 1 hàm số chẵn)

Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm x1 = -1, x2 = 1

88

Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a khác 0)

1) Tập xác định R, hàm số chẵn

2) y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

3)

y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

y’ = 0 có 1 nghiệm

89

3. Một số hàm số khác

1) Hàm số

Ví dụ 1. Khảo sát hàm số

Giải.

   1) Tập xác định: R\ {-1/2}

   2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên

b) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

c) Giới hạn

90

d) Bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm A (0;2) và cắt trục hoành tại điểm B(2;0)

Chú ý. Giao điểm của 2 tiệm cận là I (-1/2; 1/2). nếu tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vectơ OI thì theo công thức đổi trục

91

Đó là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là điểm I.

Ví dụ 2. Khảo sát hàm số

Giải.

   1) Tập xác định : R \{-1}

   2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên

b) Cực trị.

Hàm số không có cực trị

c) Giới hạn

d) Bảng biến thiên

92

   3) Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-1) và cắt trục hoành tại điểm (1;0).

Chú ý. Giao điểm của 2 tiệm cận là I(-1;1)

Áp dụng công thức đổi trục

Đó là hàm số lẻ nên đồ thị có tâm đối xứng là I.

Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số

93

1) Tập xác định R \ {-d/c}

   2) Đồ thị có 1 tiệm cận đứng (x= -d/c), 1 tiệm cận ngang ( y = a/c) và có tâm đối xứng là giao điểm của 2 tiệm cận I( -d/c; a/c)

2) Hàm số

Ví dụ 1. Khảo sát hàm số

Giải.

   1) Tập xác định : R \ {1}

   2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên

y’ không xác định khi x = 1

b) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và yCĐ = y(-1) = -5.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và yCT = y(3) = 3

94

c) Giới hạn

Vì vậy đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng.

Ta hãy tìm tiệm cận xiên. Muốn vậy ta chia đa thức x2 – 3x + 6 cho x-1; x2 -3x + 6 = (x-1)(x-2) + 4

d) bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm A (0;-6)

Gọi I(1;-1) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên. Nếu ta tịnh tiến các trục tọa độ theo vectơ OI thi áp dụng công thức đổi trục

95

Vậy đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng

Ví dụ 2. Khảo sát hàm số

Giải.

   1) Tập xác định : R \ {1}

   2) Sự biến thiên. Ta có : y = -x + 1 + 2/(x-1)

a) Chiều biến thiên

y’ = -1 – 2/ (x-1)2 < 0 với mọi x khác 1

b) Cực trị

Hàm số không có cực trị

c) Giới hạn

Vì vậy đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng.

96

d) Bảng biến thiên

   3) Đồ thị

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0;-1). Đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm (x1; 0) và (x2; 0)

Đồ thị đi qua các điểm (-2; 7/3), (-1;1), (2;1), (3; -1)

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gaio điểm I(1;0) của 2 tiệm cận.

97

Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số

   1) Tập xác định : R\ {-b’/a’}

   2) Đồ thị có một tiệm cận đứng x = -b’/a’, một tiêm cận xiên y = kx + l

Giao điểm I của 2 tiệm cận trên là tâm đối xứng của đồ thị.

y’ = 0 có 2 nghiệm

y’ = 0 vô nghiệm

98

BÀI 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Bài toán 1. Tìm giao điểm của 2 đường

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị (C1). Hãy tìm giao điểm của (C) và (C1).

Giải. Rõ ràng Mo(xo;yo) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (xo;yo) là nghiệm của hệ phương trình

Do đó, để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải phương trình

f(x) = g(x)   (1)

Nếu xo,x1,...là nghiệm của (1) thì các điểm Mo(co;f(xo)), M1(x1;f(x1))... là các giao điểm của (C) và (C1)

Ví dụ 1. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số

Giải. Xét phương trình

99

Biện luận:

1) m = 8. Phương trình (2) có dạng :0x -19 = 0

2) m khác 8. Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Nghiệm này khác -2

Ví dụ 2.

a) Vẽ đồ thị của hàm số  y = f(x) = x3 + 3x2 -2

b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình   x3 +3x2 – 2 = m     (3)

Giải.

a) Đồ thị của hàm số y = x3 +3x2 -2 là hình 19.

b) Số nghiệm của phương trình (3) bằng số giao điểm của đồ thị các hàm số y= x3 + 3x2 -2 và y = m.

Do đó, dựa vào đồ thị, ta suy ngay ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (3)

100

Biện luận:

   m > 2 : (3) có 1 nghiệm

   m = 2 : (3) có 2 nghiệm ( một đơn, một kép)

   -2 < m < 2 : (3) có 3 nghiệm

   m = -2 : (3) có 2 nghiệm ( một đơn, một kép)

   m < -2 : (3) có một nghiệm.

2. Bài toán 2 : Viết phương trình của tiếp tuyến

cho hàm số y = f(x)

a) Gọi (C) là đồ thị của nó , hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm Mo (xo; f(xo)).

b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua M(x1 ; y1) và tiếp xúc với (C)

c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C)

Cách giải

a) Ta đã biết phương trình của tiếp tuyến của (C) tại Mo (xo; yo) (yo = f(xo)) là :     y – yo = f ’(xo).(x-xo)

101

b) Đường thẳng d đi qua M 1 (x1;y1) và có hệ số góc k có phương trình là :

y – y1 = k(x- x1) tương đương   y = k(x – x1) + y1

Để cho đường thẳng d tiếp xúc với (C) , hệ phương trình sau phải có nghiệm

Hệ phương trình này cho phép xác định hoành độ xo của tiếp điểm, và hệ số góc k = f ’(xo) của tiếp tuyến.

Chú ý . Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung. Cho 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) , gọi (C) và (C’) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị (C) và (C’) được gọi là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung , nếu tại điểm đó có cùng một tiếp tuyến. Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau có nghiệm:

Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

y = (2 – x2)2      (C)

biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0;4)

Giải . Đường thẳng d với hệ số góc k đi qua điểm A(0;4) có phương trình là y = kx + 4 . Trong trường hợp d tiếp xúc với (C) , để tìm hoành độ của tiếp điểm của d và (C) ta giải hệ phương trình

102

Thay k trong (b) vào (a), ta được :

x2 – 4x2 = x(4x2 – 8x)

Suy ra

Vậy có 3 tiếp tuyến đi qua A là :

c) Với k đã cho , giải phương trình f ’(x) = k

ta tìm được hoành độ các tiếp điểm x0, x1 ... từ đó suy ra phương trình các tiếp điểm phải tìm

y – yi = k(x – xi)   (i = 0,1,...)

Ví dụ : Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/4 x + 3  và tiếp xúc với đồ thị của hàm số : y = f(x) = -x3 + 3x2 – 4x + 2

Giải . Ta có       f ’(x) = -3x2 + 6x – 4

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 1/4.x + 3 có hệ số góc k = -4.

103

Để tìm hoành độ các tiếp điểm của d với đồ thị của hàm số đã cho, ta giải phương trình :

-3x2 +6x – 4 = - 4

Vậy với x1 = 0, ta có y1 = f(x1) = 2. Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến tương ứng phải tìm là :

y – 2 =  - 4x

Vậy x2 = 2, ta có y2 = f(x2) = -2 .Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến tương ứng phải tìm là :

y + 2 =  - 4(x – 2)

BÀI TẬP

1) Khảo sát các hàm số sau :

a) y = x2 – 2x – 3

b) y = -x2 + 4x + 5

c) y = -x3 + x2 – x -1

d) y = 2x3 – 3x2 + 1

e) y = x4/2 –x2 – 3/2

g) y = 2x2 – x4

2. Khảo sát các hàm số sau:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

104

3. a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1 (1)

b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1), biện luận về số nghiệm của phương trình sau đây theo m

x3 – 3x + m = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -9x + 1.

4. Cho hàm số

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A.

c) Khảo sát hàm số khi m = 2

5. Cho hàm số

a) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)

b) Khảo sát hàm số khi m = 1

ÔN TẬP CHƯƠNG II

1. Hàm số bậc hai

   1.a) Khảo sát hàm số:  y = 1/4 x2 – x + 2

      b) Chứng minh rằng từ điểm A (7/2; 0) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số đã cho và 2 đường thẳng này vuông góc với nhau.

105

      c) Gọi d là đường thẳng đi qua B (1;-1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k, vị trí tương đối của d và (C).

   2. Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + 2mx + m -1, m là tham số; đồ thị là (Cm).

       a) Khảo sát hàm số khi m = 1, m = 2

       b) xác định m sao cho hàm số:

          1) Đồng biến trong khoảng

          2) Có cực trị trong khoảng

       c) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M, N. Xác định m sao cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Hàm số bậc ba

    3. a) Khảo sát hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2        (1)

        b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) có tâm đối xứng

        c) Gọi a là hoành độ của tâm đối xứng, hãy giải bất phương trình:

f(x – a) >= 2

    4. a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1        (1)

        b) Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị của (1). Viết phương trình các tiếp tuyến đó.

        c) Dựa vào đồ thị (1), biện luận số nghiệm của phương trình sau đây theo m: x3 + 3x2 + m = 0

     5. a) Khảo sát hàm số y = x3 -3x2 + 2.

106

        Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho

         b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C)

         c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0;3)

     6. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m -1)x + 1, đồ thị là (Cm).

         a) Khảo sát hàm số  y = x3 – 3x2 + 3x + 1

         b) Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định

         c) Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tính tọa độ của điểm cực tiểu.

3. Hàm số trùng phương

    7. a) Khảo sát hàm số  y = 1/4x4 – 3x2 + 3/2

        b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại các điểm uốn.

        c) Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3/2)

    8. Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 2m + 1   (Cm)

        a) Biện luận theo m, số cực trị của hàm số

        b) Khảo sát hàm số  y = -x4 + 10x2 – 9.

        c) xác định m sao cho (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có các hoành độ lập thành một cấp số cộng. Xác định cấp số cộng này.

4. Hàm số phân thức

107

    9. a) Khảo sát hàm số     (1)

        b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên

        c) Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị đó.

        d) Dựa vào đồ thị (C), vẽ các đường sau:

   10. a) Khảo sát hàm số

         b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.

         c) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

         d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt 2 đường tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

   11. a) Khảo sát hàm số y = x – 1/ (x+1)

         b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các tọa độ của tâm đối xứng của đồ thị (C)

 108

        c) Chứng minh rằng trên (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

         d) Xác định m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm A và B sao cho

   12. a) Khảo sát hàm số

         b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các điểm trên (C) có các tọa độ là các số nguyên.

         c) Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m (d) luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.

         d) Giả sử đường thẳng d cắt 2 tiệm cận của (C) tại P và Q. chứng minh rằng 2 đoạn MN và PQ có cùng trung điểm.

   13. Cho hàm số

          a) Khảo sát hàm số khi m = 1.

          b) xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của (Cm) đi qua gốc tọa độ.

          c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm của phương trình:

   14. Cho hàm số

          a) Xác định m để hàm số có 2 cực trị

          b) Khảo sát hàm số đã cho khi m = -1

          c) Gọi (C) là đồ thị của hàm số trên. Giả sử tiếp tuyến tại M thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng MP = MQ

109

CHỈ DẪN LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Trong lịch sử toán học,  thế kỷ XVII là một bước ngoặt. Đầu thế kỷ này Đêcac (Descartes 1596 – 1650) đưa ra phương pháp tọa độ để nghiên cứu các đường cong trong mặt phẳng. Sự phát triển của khoa học tự nhiên đòi hỏi phải nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số, đặc biệt là các hàm số biểu thị sự phụ thuộc vào thời gian của tọa độ các vật thể chuyển động và các đại lượng vật lý khác.

Đạo hàm được ứng dụng để tìm cực trị của các hàm số và tiếp tuyến của các đường cong.

Những công trình đầu tiên của các nhà toán học Pháp: Đêcac, Pascan (Pascal 1623-1662) và Fecma (Fermat 1601 -1665), về thực chất, đã chứa đựng các quy tắc tìm đạo hàm của bất kì đa thức nào.

Việc nghiên cứu một cách có hệ thống về đạo hàm được phát triển ở nửa sau của thế kỷ XVII bởi nhà toán học và triết học Đức Laipnit (Leipniz 1646 – 1716) và nhà toán học Anh Niutơn ( Newton 1643 – 1727)

FECMA (FERMAT)

Nhà toán học Pháp Fecma sinh ngaỳ 17-8-1601.

Fecma là một luật gia ham thích toán học. Ông sống cuộc đời thanh thản của một ủy viên Pháp viện tối cao ở thành phố Tuluzơ phía nam nước Pháp. Trong những lúc rỗi rãi, ông đọc sách Toan1 và ghi chú vào các tác phẩm của nhà toán học cổ Hi Lạp Điôphăng (Diophante, thế kỉ thứ III). Con người hiền hậu trung thực, cân bằng và công minh ấy đã viết ra những trang tuyệt đẹp trong lịch sử toán học thuộc các lĩnh vực: lý thuyết số, phép tính vi tích phân và lý thuyết xác suất.

Về lý thuyết số, gắn với tên của Fecma có nhiều phát minh lớn trong đó phải kể đến 2 định lý nổi tiếng: định lý nhỏ Fecma, và định lý lớn Fecma. Câu chuyện về định lý lớn Fecma như sau:

Trong lúc đọc tác phẩm của Điôphăng, khi bình luận về baì toán thứ 8 trong sách “Số học” của Điôphăng về việc tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình x2 + y2 = z2, Fecma viết: “Trái lại, không thể phân tích một lập phương trình một tổng của 2 lập phương, một lũy thừa bậc 4 thành một tổng của 2 lũy thừa bậc 4, và một cách tổng quát, một lũy thừa bậc bất kì thành một tổng của hai lũy thừa cùng bậc. Tôi đã phát minh ra một phép chứng minh tuyệt diệu, nhưng lề của cuốn sách này nhỏ quá, nên không thể ghi ra được”.

110

Đó là nội dung của định lý lớn Fecma. Định lý này khẳng định rằng: Nếu n là một số tự nhiên lớn hơn 2, thì phương trình xn + yn = zn không có lời giải là những số tự nhiên khác 0.

Suốt hơn 300 năm từ ngày Fecma phát biểu định luật này, nhiều nhà toán học lỗi lạc trên thế giới đã tìm cách chứng minh nó, nhưng họ chỉ thành công với những giá trị nhỏ của n và không đưa ra được phep1 chứng minh trọn vẹn. Năm 1976, nhờ máy tính, người ta kiểm chứng định lý với tất cả số tự nhiên x, y, z <= 25000 và với mọi số nguyên tố n < 125000, nhưng phép chứng minh trọn vẹn thì vẫn chưa tìm được.

Ngày 23-6-1993, nhà toán học trẻ 40 tuổi người Anh Andriu Oailơ (Andrew Wiles) đã công bố phép chứng minh trọn vẹn dài hơn 200 trang của định lý lớn Fecma, trước những chuyên gia lớn nhất trong lĩnh vực này. Sau một thời gian nghiên cứu phép chứng minh, các chuyên gia phát hiện ra một chỗ chưa chặt chẽ. Sau đó tác giả khắc phục được thiếu sót này. Và như vậy, định lý Fecma đã được chứng minh hoàn toàn.

Fecma và Đêcac đồng thời sáng lập ra môn hình học giải tích.

Công trình “Phương pháp tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất” của Fecma ( viết năm 1635, đến 1675 mới xuất bản) giữ một vị trí quan trọng trong vị trí vi tích phân.

Ngoài các lĩnh vực toán học nói trên, Fecma còn nghiên cứu lý thuyết xác suất và một số vấn đề vật lý. Ông để lại “nguyên lý Fecma” là nguyên lý cơ bản của Quang hình học.

Fecma mất ngaỳ 12 – 1- 1665 ở tuổi 64.

111

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

- Nguyên hàm

- Tích phân

- Phương pháp tính tích phân

- Ứng dụng

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

Ở chương I bài 1 ta đã thấy rằng nếu hoành độ s của một chất điểm chuyển động thẳng được xác định theo thời gian t bởi phương trình s = f(t), trong đó f(t) là một hàm số có đạo hàm, thì vận tốc tại thời điểm t là đạo hàm của hàm số f(t):  v(t) = f’(t).

Trong thực tế, nhiều khi ta phải giải bài toán ngược lại: biết vận tốc v(t), tìm phương trình s = f(t) của chuyển động. Vấn đề ở đây là tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó.

Một cách tổng quát, bài toán đặt ra như sau:

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm các hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x) = f(x).

112

1. Định nghĩa

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x thuộc khoảng (a; b), ta có F’(x) = f(x).

Nếu thay cho khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải có thêm F’(a+) = f(a) và F’(b-) = f(b).

Ví dụ

a) F(x) = x2 là một nguyên hàm của f(x) = 2x trên R vì (x2)’ = 2x, với mọi x thuộc R.

b) G(x) = tgx là 1 nguyên hàm của g(x) = 1/cos2x

Nhận xét.      Mọi hàm số F(x) = x2 + C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của f(x)= 2x trên R và mọi hàm số G(x)= tgx + C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của g(x)= 1/cos2x trên mỗi khoảng của R\{ }.

Ta sẽ chứng minh tính chất đó trong trường hợp tổng quát.

Định lý. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì:

   1) Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó.

   2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số.

Nói cách khác: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b)

113

Để chứng minh định lý ta cần đến bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu F’(x) = 0 trên khoảng (a; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

Chứng minh. Xét một phần tử cố định xo thuộc khoảng (a; b). Với mọi x thuộc khoảng (a; b), nếu x = xo thì F(x) = F(xo), nếu x khác xo thì theo định lý Lagrăng tồn tại một số c nằm giữa x và xo sao cho

F(x) – F(xo) = F’(c)(x –xo)

Vì c thuộc khoảng (a; b) nên F’(c) = 0. Vậy ta có:

F(x) – F(xo) = 0 hay F(x) = F(xo)

Như vậy, với mọi x thuộc khoảng (a; b), ta có F(x) = F(xo). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a; b).

Chứng minh định lý

1) Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b). Vì vậy, F’(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a; b). Do đó, (F(x) + C)’ = F’(x) + 0 = f(x). Vậy F(x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).

2) Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b) tức là G’(x) = f(x) với mọi x thuộc khoảng (a; b). Khi đó

(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0.

Theo bổ đề, hiệu G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a; b). Vậy với mọi x thuộc (a; b), ta có G(x) – F(x) = C, C là hằng số nào đó, tức là G(x) = F(x) + C.

Theo định lý trên, nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x), thì có có vô số nguyên hàm, và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x) + C, trong đó, C là hằng số tùy ý. Vậy để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào đó của nó. Nêú đã tìm được một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm khác đều suy ra được từ nguyên hàm đó bằng cách cộng vào nó một hằng số nào đó.

Người ta kí hiệu họ tất cả nguyên hàm của hàm số f(x)

114

Ta có

Ví dụ

2. Các tính chất của nguyên hàm

1)

Tính chất này suy ra từ định nghĩa

2)

Chứng minh

Vì (aF(x))’ = aF’(x) = af(x) nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x). Vì a khác 0 và C là một hằng số tùy ý, nên aC cũng là một hằng số tùy ý.

115

Do đó, đẳng thức trên chứng tỏ rằng

3)

Chứng minh tương tự như tính chất 2)

4)

Nói cách khác: Nếu F(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x))u’(x).

Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng (F(u(x)))’ = f(u(x))u’(x)

Thật vậy, đặt u = g(x), theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có (F(u(x)))’ = F’(u)u’(x). Vì theo giả thiết F’(t) = f(t) nên F’(u) = f(u) = f(u(x)). Do đó

(F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)

Chú ý, Vì u’(x)dx = du nên đặt u = u(x) thì tính chất 4 có thể phát biểu như sau:

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Ta thừa nhận định lý sau:

Định lý. Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

Từ đây trở đi, ta giả thiết tất cả các hàm số được xét đều liên tục, do đó chúng đều có nguyên hàm.

116

4. Bảng các nguyên hàm

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp ( dưới đây u = u(x))

5. Vài ví dụ về tính nguyên hàm

Vận dụng các tính chất của nguyên hàm ta có thể đưa việc tính một số nguyên hàm phức tạp về những nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ 1.

117

Ví dụ 2.

Ví dụ 3.

Ví dụ 4.

Ví dụ 5.

Ví dụ 6.

Ví dụ 7.

118

BÀI TẬP

1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = x3 -3x + 1/x

b)

c)

d)

2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = ex (1 – e-x)

b)

c)

3. Tính

a)

b)

c)

d)

e)

g)

h)

i)

119

BÀI 2. TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

Ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác, do đó có thể tính được diện tích mọi đa giac1 phẳng.

Bây giờ ta xét baì toán tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong.

Nếu trong một tam giác vuông ta thay cạnh huyền của nó bởi một cung đường cong thì ta được một hình phẳng gọi là một tam giác cong. nếu trong một hình thang vuông ta thay cạnh bên, không vuông góc với cạnh đáy, bởi một cung đường cong, thì ta được một hình phẳng, gọi là một hình thang cong.

Rõ ràng ta luôn luôn có thể đưa việc giải bài toán trên về việc tính diện tích một số hình thang cong ( hay tam giác cong) như đã minh họa trong hình vẽ (h.20).

Bài toán. Hãy tính diện tích của hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), f(x) >= 0, trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b.

120

Nhận xét rằng ta có thể chia đoạn [a; b] thành những đoạn con sao cho hàm số y = f(x) đơn điệu trong mỗi đoạn con đó (h.21). Do đó ta chỉ cần giải baì toán trên với giả thiết rằng hàm số y = f(x) đơn điệu, chẳng hạn y = f(x) đồng biến trên đoạn [a; b] (h.22).

Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng đi qua các điểm a và x ( a< x <= b) trên trục hoành và song song với Oy.

Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Thật vậy, giả sử xo là một điểm tùy ý thuộc khoảng (a; b) ta sẽ chứng minh rằng S(x) có đạo hàm tại xo và S’(xo) = f(xo).

Xét 2 trường hợp:

1) xo < x <= b (h.22). Khi đó S(x) – S(xo) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), Ox và hai đường thẳng song song với Oy đi qua xo và x. Dễ thấy rằng:

121

2) a<= x < xo (h.23). Trong trường hợp này ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

Vì f(x) liên tục tại xo, cho nên

Do đó, từ (3) suy ra rằng

Điều đó có nghĩa là tồn tại đạo hàm S’(x) tại xo và S’(xo) = f(xo)

Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).

122

Nếu xo = a thì phép chứng minh trường hợp 1 cho ta S’(a+) = f(a), nếu xo = b thì trường hợp 2 suy ra S’(b-) = f(b). Vậy S(x) là một nguyên hàm trên cả đoạn [a; b].

Từ chứng minh trên ta thấy ngay diện tích hình thang cong aABb là: S = S(b)

Nếu F(x) là nguyên hàm nào đó của f(x) trên đoạn [a; b] thì tồn tại một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C

Với chú ý rằng S(a) = 0, ta có:

S(a) = F(a) + C = 0

Từ đó: C = -F(a)

Vậy S(x) = F(x) – F(a)

Do đó, diện tích S của hình thang cong aABb bằng :

S = S(b) = F(b) – F(a)

Tóm tắt kết quả trên, ta có thể phát biểu định lý sau:

Định lý. Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) >= 0 trên đoạn [a; b]. Thế thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x= a, x =b là :

S = F(b) –F(a)

trong đó F(x) là nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a; b].

2. Định nghĩa tích phân

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là 2 phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được kí hiệu là.

123

Vậy theo định nghĩa ta có:

Ví dụ.

Chú ý.

Vì vậy ta có thể viết

Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a và x = b.

124

3. Các tính chất của tích phân.

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là 3 điểm của K, dựa vào định nghĩa của tích phân, ta dễ dàng chứng minh được các tính chất:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

125

Chứng minh. Vì các tính chất trên được chứng minh tương tự, cho nên ta chỉ chứng minh vài công thức. Những công thức còn lại dành cho học sinh tự chứng minh, coi như bài tập.

a) Chứng minh công thức (4)

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). G(x) là một nguyên hàm của g(x) thì F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f(x) + g(x). Theo định nghĩa, ta có:

b) Chứng minh công thức (6) và (7)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có: F’(x) = f(x) >= 0 trên đoạn [a; b]. Do đó F(x) không giảm trên đoạn [a; b]. Vì vậy:

Công thức (7) là hệ quả của (6).

Theo (6) ta có:

126

c) Chứng minh công thức (8)

Vì m, M là hằng số nên

Áp dụng (7), ta có

Chú ý. Áp dụng các tính chất nêu trên, ta có thể dễ dàng tính được một số tích phân đơn giản.

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

127

Ví dụ 4. Chứng minh rằng

Giải.

128

Cho nên

BÀI TẬP

1. Tính các tích phân:

a)

b)

c)

d)

2. Tính các tích phân:

a)

b)

c)

d)

3. Chứng minh rằng:

a)

b)

129

c)

d)

4. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

BÀI 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Sử dụng định nghĩa tích phân và bảng các nguyên hàm, ta có thể tính được một số tích phân, trực tiếp bằng công thức Niutơn – Laipnit ( xem ví dụ cuối bài 2)

Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng các phương pháp khác

1. Phương pháp đổi biến số

Giả sử ta phải tính

Trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

130

a) Đổi biến số dạng 1

Định lý. Nếu

1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn   (1)

2) hàm số hợp f(u(t)) được xác định trên đoạn    (1)

3)

Chứng minh. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Khi đó

Mặt khác, vì F(x) là một nguyên hàm của f(x), nên theo tính chất (4) của nguyên hàm, F[u(t)] là một nguyên hàm của f[u(t)]u’(t) và do đó:

Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1)

Từ định lý trên suy ra quy tắc đổi biến số dạng 1 như sau:

1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục

2) Biến đổi f(x)dx = f[u(t)]u’(t)dt = g(t)dt

3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4) Tính

131

5) Kết luận

Một số ví dụ về đổi biến số dạng 1

Ví dụ 1. Tính

Giải.

dx = costdt, do đó:

Ví dụ 2. Tính

Giải

132

Vậy ta đặt x = tgt

Ta có

Ví dụ 3. Tính

Giải

Vậy ta đặt x = sint

dx = costdt. Do đó:

133

Ví dụ 4. Tính

Giải. Ta có x2 + x + 1 = (x +1/2)2 + 3/4

Vậy

Đặt x + 1/2 =

Khi x = 0 thì

Khi x = 1 thì

Ta có: (x + 1/2)2 + 3/4 = 3/4 (tg2t + 1)

Do đó:

134

Ví dụ 5. Chứng minh rằng

Giải. Đặt

Ta có dx = -dt,

Do đó

b) Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân, nhiều khi người ta lấy một hàm số t =v(x) làm biến số mới.

Khi đó ta biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g(v(x))v’(x). Đặt t = v(x), thì dt = v’(x)dx. Do đó, ta có: f(x)dx = g(v(x))v’(x)dx = g(t)dt.

Nếu G(t) là một nguyên hàm của g(t) thì theo tính chất (4) của nguyên hàm, G(v(x)) là một nguyên hàm của g(v(x))v’(x). Vậy ta có :

135

Từ nhận xét trên, ta suy ra quy tắc đổi biến số dạng 2 sau:

1) Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục.

2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt

3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

4) Tính

5) Kết luận

Một số ví dụ về đổi biến số dạng 2

Ví dụ 1. Tính

Giải. đặt t = 2x + 1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3.

Chú ý. Ta có thể trình bày một cách thuận tiện cac1h giải trên mà không cần đưa ra biến t như sau:

136

Ví dụ 2. Tính

Giải.

Ta có dt = 3dx

Chú ý. Cách tính sau đây không cần phải đưa ra biến t

137

Ví dụ 3. Tính

Giải. Đặt t = lnx. Khi x = e thì t = 1, khi x = e2 thì t = 2

Chú ý. Cách tính sau đây không cần phải đưa ra biến t

Ví dụ 4. Tính

Để tính các tích phân này, ta có thể đặt t = 2x- 1.

Học sinh hãy tự làm tiếp xem như bài tập. Cách sau đây không cần phải đưa ra biến t:

138

Ví dụ 5. Tính

Để tính tích phân này, ta có thể đặt t = x2 + x + 1. Học sinh hãy tự làm tiếp, xem như bài tập. Cac1h sau đây không cần phải đưa ra biến t.

Ta có

Ví dụ 6. Tính

Giải. Ta có x2 – x – 6 = (x -3)(x+2)

Ta tìm 2 số A và B sao cho

Đồng nhất hóa tử thức của 2 phân thức đầu và cuối, ta được:

5(x-1) = A(x +2) + B(x-3)

Từ đó suy ra 2 phương trình để tính A và B

Giải hệ phương trình này ta được A =2, B = 3.

Vậy

139

Từ đó

( Học sinh hãy tính các tích phân này bằng cách đổi biến số).

2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì

Chứng minh. Ta có

140

Vì du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx nên ta có:

Ví dụ 1.

Giải

Do đó

Ví dụ 2.

Giải

141

Ví dụ 3.

Giải

BÀI TẬP

1. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

2. Tính các tích phân sau

a)

b)

c)

142

3. Tính các tích phân :

a)

b)

c)

d)

4. Tính các tích phân sau (với a> 0)

a)

b)

5. Tính:

a)

b)

c)

d)

6. Tính

a)

b)

143

c)

d)

e)

BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích của hình phẳng

1) Cho hàm số y = f(x), liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Ta đã biết rằng diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành (h.24) bằng:

Nếu f(x) <= 0 trên đoạn [a; b] thì – f(x) >= 0 trên đoạn ấy và diện tích của hình thang cong A’B’B1AÁ là hình đối xứng của hình thang cong đã cho qua trục hoành (h.25).

144

Khi đó ta có ( theo công thức (1)):

Vậy từ (1) và (2) ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là:

Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [ ] và trục hoành (h.26)

Giải. Ta có

Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng xác định bởi đồ thị hàm số y = sin2x ( ) và trục Ox (h.27)

Giải. Ta có

145

2) Từ công thức tính diện tích hình thang cong, dễ thấy rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng x = a, x= b và đồ thị của 2 hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] được cho bởi công thức

Để tính diện tích S theo công thức trên, trước hết ta tìm các nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 thuộc đoạn [a; b].

Khi đó ta có

Để tính tích phân

Nếu f1(x) – f2(x) > 0 thì ta có:

146

Nếu f1(x) – f2(x) < 0 thì ta có:

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có:

Tương tự đối với

Do đó công thức (2) trở thành:

Ví dụ 1. Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đường

y = x3, y = 0, x = -1, x = 2

Giải. Đặt f1(x) = x3, f2(x) = 0, ta có f1(x) – f2(x) = x3 = 0

147

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng nằm giữa 2 đường f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x

Giải. Ta có f1(x) – f2(x) = x3 – 4x = x(x2 -4) = 0

3) Diện tích của hình tròn và hình elip

Ví dụ 1. Tính diện tích hình tròn bán kính R

Giải. Đường tròn có thể xem là hợp các đồ thị của 2 hàm số

Vậy diện tích hình tròn bằng (h.28)

148

Do đó

Chú ý. Hiển nhiên, ta có thể tính diện tích của hình tròn theo công thức

Ví dụ 2. Tính diện tích của hình elip

Giải. Phương trình elip la

Diện tích cần tìm là: S = 4S1 (S1 là diện ctích của một phần tư elip ứng với y >= 0 nên S1 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( 0 <= x <= a), đường thẳng x = 0 và trục Ox (h.29))

149

Do đó:

Áp dụng phương pháp của ví dụ 1, ta tìm được

2. Tính thể tích của các vật thể

1) Công thức tính thể tích

Giả sử vật thể T được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song (h.30).

Ta chọn trục Ox sao cho nó vuông góc với các mặt phẳng.Gọi giao điểm của Ox với ( ) là a, với ( ) là b (a < b). giả sử mặt phẳng ( ) vuông góc với trục Ox và cắt Ox tại điểm có hoành độ x ( a<= x <= b) cắt vật thể theo một thiết diện có diện tích S(x). Giả thiết rằng S(x) là một hàm số liên tục của x.

150

Người ta chứng minh rằng thể tích V của vật thể T được cho bởi công thức:

2) Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối chóp cụt

a) Thế tích khối nón và khối chóp

Xét khối nón (khối chóp) đỉnh S và có diện tích mặt đáy là B. Từ S ta kẻ đường vuông góc SI với mặt phẳng đáy (P) và chọn trục Sx hướng theo chiều từ S đến I. Đường cao của khối nón ( khối chóp) là SI = h. Một mặt phẳng (Q) song song với (P) cắt khối nón ( khối chóp) theo một thiết diện vị tự với đáy trong phép vị tự tâm S và tỉ số x/h, trong đó x là hoành độ của (Q) với trục Sx. Gọi S(x) là diện tích của thiết diện, ta có S(x) = B.x2/h2. Do đó, nếu gọi V là thể tích của khối nón ( khối chóp) thì (h.31):

Ta thấy lại rằng, thể tích của một khối nón (khối chóp) bằng 1/3 tích của diện tích đáy và chiều cao.

151

b) Thể tích khối nón cụt ( khối chóp cụt)

Xét khối nón cụt (khối chóp cụt) giới hạn bởi các mặt phẳng đáy có hoành độ SI = h và SI’ = h’ (h > h’) (h.31). Thể tích V của nó bằng

Gọi B’ là diện tích của đaý thứ hai, ta có B’ = B.h’2/ h2. Gọi H là chiều cao của khối chóp cụt, H = h – h’, ta thấy lại công thức của hình học sơ cấp

3) Thể tích của vật thể thể tròn xoay

a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0, quay xung quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay T. Ta hãy tìm thể tích của vật thể tròn xoay đó (h.32).

Thiết diện của vật thể T, với mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính y ( y = f(x)) nên diện tích thiết diện S(x)

Ví dụ. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và đường y = sinx (h.33)

152

Giải. Theo công thức (1), ta có

b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b].

Nếu hình giới hạn bởi các đường x = g(y), y = a, y = b và x = 0 quay xung quanh trục Oy thì thể tích V tròn xoay sinh ra được tính theo công thức (h.34)

Ví dụ. Tính thể tích của vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi các đường y = x2/2, y = 2, y = 4 và x = 0.

Giải. Theo công thức (2) ta có (h.35):

153

4) Thể tích của khối cầu

Khối cầu là một vật thể tròn xoay. Nó được sinh ra do quay hình tròn có tâm tại O và giới hạn bởi đường tròn có phương trình x2 + y2 = R2 xung quanh Ox (h.36).

Theo công thức (1), ta có:

3. Ứng dụng vào vật lý

Sau đây ta sẽ áp dụng phép tính tích phân đế giải bài toán vật lý lớp 12.

Bài toán 1. Một dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có điện trở thuần R. Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T, theo công thức:

Giải.

154

Bài toán 2. Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều. Khi đó trong mạch có dòng điện xoay chiều. Hãy tính công của dòng điện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T theo công thức

Giải. Ta có

BÀI TẬP

1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) x = 0, x= 1, y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3

b) y = x2 + 1, x + y = 3

c) y = x2 + 2, y = 3x

155

d) y = 4x – x2, y = 0

e) y = lnx, y = 0, x = e

g) x = y3, y = 1, x = 8

2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:

a)

b) y = x(x-1)(x-2), y = 0

3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x2 – 2x + 2 tiếp tuyến với nó tại điểm M(3; 5) và trục tung.

4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox

a) y = 0, y = 2x – x2

b) y = cosx, y = 0, x= 0, x =

c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x =

d) y = xex/2, y = 0, x =0, x = 1.

5. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x = khi nó quay xung quanh trục Ox.

6. Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình elip khi nó quay xung quanh trục Ox.

7. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bợi các đường y = 2x2 và y = x3 quanh trục Ox.

156

ÔN TẬP CHƯƠNG III

1. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

e)

g)

h)

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a ( a> 0)

b) y = ex, y = e-x, x=1

3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

y = -x2 + 4x -3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm  M1( 0; -3) và M2(3; 0).

4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi các hình phẳng giơí hạn bởi các đường:

a) y = x1/2 ex/2, x = 1, x = 2, y = 0 khi nó quay xung quanh trục Ox.

157

b) y = lnx, x = 1, x=2, y = 0 khi nó quay xung quanh trục Ox

c) y2 = x3, y = 0, x =1 khi nó quay xung quanh

- trục Ox

- trục Oy.

CHỈ DẪN LỊCH SỬ CHƯƠNG III

Ra đời trên những cơ sở trực giác, phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng trước thế kỉ 18. Đến thể kỉ 19, Côsi (Cauchy) và Riman (Riemann) mới xây dựng được một lý thuyết chính xác về tích phân. Lý thuyết này về sua được Lơbegơ (Lebesgue) (1875 – 1941) và Đăngjoi (Denjoy) (1884 – 1974) hoàn thiện.

Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học thế kỷ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn. Tahy vào đó, họ nói “ tổng của một số vô cùng lớn những số hạng vô cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kêple (Kepler) (1572 – 1630) đã tính một cách đúng đắn nhiều diện tích (thí dụ diện tích hình elip) và thể tích. Các nghiên cứu này được Cavalieri (1598 – 1647) tiếp tục phát triển.

Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Laipnit định nghĩa và đưa vào ký hiệu. Tên gọi tích phânlà do Bernuli (Bernoulli), một học trò của Laipnit đề xuất.

Như vậy tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niutơn và Laipnit.

Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích phân là của Côsi và Riman.

LAIPNIT (LEIPNIZ)

Laipnit là nhà toán học , vật lý học, triết học người Đức, một trong hai nhà toán học vĩ đại đã san1g tạo ra phép tính vi tích phân, ông sinh ngaỳ 1 -7 – 1646, mất ngày 14 – 11 – 1716.

Năm 1661, 15 tuổi, Laipnit vào học khoa pháp lý tại trường Đại học Tổng hợp Laipxich. Ngoài khoa pháp lý, ông còn nghiên cứu triết học và toán học. Ông bảo vệ luận văn tiến sĩ luật học lúc 20 tuổi. Ông nghiên cứu hóa học, địa chất học, ông chế tạo động cơ chạy bằng sức gió để bơm nước từ giếng lên. Hoạt động khoa học của Laipnit trong lĩnh vực toán học rất có hiệu quả.

158

Năm 1666, Laipnit công bố công trình toán học đầu tiên của mình: “Những suy nghĩ về nghệ thuật tổ hợp”.

Laipnit sáng chế ra maý tính, không những thực hiện được phép cộng và phép trừ như máy tính của Pascan (Pascal), mà còn thực hiện được phép nhân, phép chia, phép nâng lên lũy thừa và phép khai phương và khai căn bậc ba. Laipnit đã không ngừng hoàn thiện sáng chế của mình trong suốt 40 năm. Như vậy, Laipnit có thể dược xem là người đã khởi xướng ra máy tính điện tử hiện đại.

Cống hiến quan trọng nhất của Laipnit là đã sáng tạo ra phép tính vi phân đồng thời và độc lập với Niutơn. Ông đã giải quyết tỉ mỉ hơn Niutơn một số vấn đề của toán học cao cấp. Những kí hiệu và thuật ngữ trong ph1p tính vi phân mà ông đã dùng như dy/dx,... còn được sử dụng đến ngày nay. Các từ “vi phân” và “tích phân” cũng là do ông và học trò của ông đề xuất.

Tên của Laipnit được đặt cho một dãy núi ở phần trông thấy và cho một miệng núi lửa ở phần không trông thấy của Mặt Trăng.

RIMAN (Riemann)

Riman sinh ngay 17 – 9 – 1826 trong một làng ngỏ ở Đức. Riman lớn lên trong một gia đình nghèo, nhưng đầm ấm. Riman vốn tính nhút nhát. Lớn lên ông khắc phục được nhược điểm này bằng cách chuẩn bị rất cẩn thận khi phải nói trước đám đông. Tính nhát nhát này hoàn toàn tương phản với tư duy khoa học rất dũng cảm của ông.

Cậu bé Riman học vỡ lòng dưới sự hương dẫn của cha cậu. Ngay trong những buổi học đầu, cậu bé đã biểu lộ một khát vọng học tập mãnh liệt. cậu rất thích học lịch sử, đặc biệt là lịch sử nước Ba Lan. Mới 5 tuổi, cậu đã luôn yêu cầu cha kể về những cuộc đấu tranh anh hùng của dân tộc Ba Lan.

Lên 6 tuổi, cậu học Số học. Thiên tài toán học tự nhiện của cậu đã sớm bộc lộ. Không những cậu giải được tất cả các bài toán cha cậu ra, cậu còn tự đặt ra những bài toán khó để đố các anh, em cậu.

Năm lên 10, cậu học số học và hình học với một thầy giáo, nhưng ông này thường không suy nghĩ nhanh bằng cậu, và cậu thường tìm ra được những lời giải hay hơn.

159

Năm 14 tuổi, Riman vào học ở trường trung học. Ông hiệu trưởng nhà trường nhận ngay khả năng về toán của cậu. Ông cho phép cậu mượn sách trong thư viện riêng của ông để đọc. Riman thưa với ông cho cậu mượn những cuốn sách không quá dễ. cậu chọn trước hết “Lý thuyết số” của Lơgiăngdrơ (Legendre). Đó là một quyển sách dày 859 trang, nội dung rất khó. 6 ngaỳ sau, cậu mang sách đến trả. Ông hiệu trưỏng hỏi: “em đã học được đến đâu rời?”. Riman đưa ra một nhận xét để thay cho câu trả lời: “Đây là một quyển sách rất hay, em đã hiểu hết”. Điều này hoàn tòan đúng vì đến kì thi, cậu đã trả lời một cách xuất sắc những câu hỏi về nội dung cuốn sách, mặc dù suốt mấy tháng cậu không đọc lại.

Năm 1845, vừa 19 tuổi, để vâng lời cha, Riman ghi tên vào học khoa ngôn ngữ và thần học của trường đại học Gơtinghen, song vẫn tiếp tục nghe giảng các giáo trình về toán như về lý thuyết phương trình và lý thuyết tích phân. Riman gửi thư cho cha xin phép được đổi môn học. Người cha độ lượng đồng ý, điều này làm cho Riman hết sức vui mừng.

Sau một năm học tập ở Gơtinghen, Riman chuyển sang học ở Berlin để được làm quen với toán học mới mẻ và sinh động của Jacôbi (Jacobi) , Đirichlê (Dirichlet), Stain(Stein) và Aizenstain (Eiseinstein).

Năm 1851, 25 tuổi, Riman bảo vệ luận án tiến sĩ trước một hội đồng khoa học do Gauxơ (Gauss) làm chủ khảo. Gauxơ đáng giá rất cao luận án này.

Năm 1859, 33 tuổi, Riman được cử thay Đirichlê, người kế tục thứ nhất của Gauxơ làm giáo sư toán học tại trường đại học Gơtinghen. Năm 1860 Riman được mời tham gia Viện hàn lâm khoa học Pháp.

Riman mất ngày 20-7-1866 lúc ông mới 40 tuổi.

Tên của Riman được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng.

160

CHƯƠNG IV. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Hoán vị . Chỉnh hợp . Tổ hợp

Công thức nhị thức Newton

BÀI 1. HOÁN VỊ . CHỈNH HỢP . TỔ HỢP

 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân

     Quy tắc cộng và quy tắc nhân có vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng đa dạng trong Đại số tổ hợp. Dưới đây ta sẽ giới thiệu hai quy tắc đó. Ta sẽ thừa nhận chúng, không chứng minh.

     a) Quy tắc cộng

     Để giới thiệu quy tắc cộng, ta xét ví dụ đơn giản sau:

     Ví dụ: Có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó?

     Giải: Có 8 cách chọn 1 quyển sách và 6 cách chọn 1 quyển vở, khi chọn sách thì không chọn vở và ngược lại, cho nên hiển nhiên có 8 + 6 = 14 cách chọn một trong các quyển đã cho.

     Ví dụ trên minh họa quy tắc cộng trong trường hợp có hai đối tượng như sau:

     Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.

161

     Dưới dạng tổng quát, quy tắc cộng được phát biểu như sau:

     Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , m2 cách chọn đối tượng x2 ,…… mn cách chọn đối tượng xn và  nếu  cách  chọn  đối  tượng  x i  không  trùng  với  bất  kỳ  cách  chọn  đối  tượng  x j  nào  (i khác j; i,j = 1, 2, …. , n) thì có m 1­­ + m 2 + … + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.

     Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?

     Giải: Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 3 số khác nhau có một chữ số là 1, 2, 3. Vậy trong trường hợp này có 3 cách lập.

     Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 6 số khác nhau có hai chữ số khác nhau là 12, 13, 21, 23, 31, 32. Vậy trong trường hợp này có 6 cách lập.

     Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 6 số khác nhau có ba chữ số khác nhau là 123, 132, 213, 231, 312, 321. Vậy trong trường hợp này có 6 cách lập.

     Các cách lập trên đôi một trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng có cả thảy 3 + 6 + 6 = 15 cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ ba chữ số 1, 2, 3.

     b) Quy tắc nhân

     Để giới thiệu quy tắc nhân, ta xét ví dụ đơn giản sau:

     Ví dụ: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có thể đi bằng ôtô hoặc tàu hỏa. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C?

     Giải: Có 4 cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B, ứng với mỗi cách đi đó, có 2 cách đi từ tỉnh B đến tỉnh C (hình 37). Vì vậy có cả thảy 4 . 2 = 8 cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C qua tỉnh B.

162

     Ví dụ này minh họa quy tắc nhân trong trường hợp có hai đối tượng như sau:

     Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, ứng với mỗi cách chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y,  m .  n cách chọn cặp đối tượng (x ; y).

     Dưới dạng tổng quát, quy tắc nhân được phát biểu như sau:

     Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , sau đó với mỗi cách chọn x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 , sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3, v.v…, cuối cùng  với mỗi cách chọn x1, x2, x3,… xn – 1 như thế, có mn cách chọn đối tượng xn  thì có m1­­m2…m n cách chọn dãy x1, x2, x3,… xn.

     Ta còn có thể phát biểu quy tắc nhân dưới dạng ngắn gọn hơn như sau:

     Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách, bước 2 có m2 cách, … , bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1m2…mn cách khác nhau.

     Ví dụ: Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất, nhì, ba, biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt huy chương?

     Giải: Mỗi đội đều có thể đạt huy chương. Vậy có 18 cách trao huy chương vàng. Sauk hi trao huy chương vàng thì mỗi đội trong 17 đội còn lại còn có thể nhận huy chương bạc. Vậy có 17 cách trao huy chương bạc. Sau khi trao huy chương vàng và bạc thì mỗi đội trong 16 đội còn lại cỏ thể nhận được huy chương đồng. Vậy có 16 cách trao huy chương đồng.

     Như vậy, theo quy tắc nhân, có cả thảy 18.17.16 = 4896 cách trao ba loại huy chương vàng, bạc và đồng cho 18 đội.

 2. Hoán vị

      1) Định nghĩa. Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n lớn hơn hoặc bằng 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

 163

Ví dụ

     1) Cho A = {a ; b}. Có 2 hóan vị của hai phân tử đã cho là ab và ba.

     2) Cho A = {a ; b ; c}. Các hoán vị của ba phần tử đã cho là abc, acb, bac, bca, cab, cba.

     2) Số hoán vị của n phần tử

     Định lý. Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn , thì ta có:

Pn = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1

     Chứng minh. Để lập một hoán vị của n phần tử a1, a2, …, an ta làm như sau:

     Chọn một phần tử đứng ở vị trí 1: có n cách chọn.

     Sau đó chọn một phần tử đứng ở vị trí 2: có (n – 1) cách chọn.

     ……………

     Cuối cùng sau khi đã chọn n – 1 phần tử, thì chỉ còn một phần tử đứng ở vị trí thứ n. Vậy có 1 cách chọn.

     Theo quy tắc nhân ta có:

Pn = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1

     Kí hiệu n! = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 (n! đọc là n giai thừa), ta có Pn = n! hay có n! hoán vị của n phần tử.

     Vậy số hoán vị của n phần tử được cho bởi công thức

Pn = n! = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1        (1)

     Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}. Số hoán vị của các phần tử của A là: P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24.

164

     Các hoán vị đó là:

                           1234,     1243,     1324,     1342,     1423,     1432

                           2134,     2143,     2314,     2341,     2413,     2431

                           3124,     3142,     3214,     3241,     3412,     3421

                           4123,     4132,     4213,     4231,     4312,     4321

     3. Chỉnh hợp

     1) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần  tử. Mỗi bộ gồm k (1 <= k <= n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là  một  chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

     Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c}. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của A là:

(a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b).

     Có 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử

     Ví dụ 2: Lập tất cả các số tự nhiên có  2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ.

     Giải: Các chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Một số có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng lẻ rõ ràng là 1 chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số lẻ. Ta có thể tìm được tất cả các số đó theo sơ đồ sau:

     2) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử

     Định lý:  Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn thì ta có:

Akn = n(n – 1) …(n – k + 1)       (2)

165

     Chứng minh. Để lập 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử , ta thực hiện các phép chọn.

     Bước 1: Chọn 1 phần tử ở vị trí 1. Có n khả năng.

     Bước 2: Trừ phần tử đã chọn, còn n – 1 phần tử có thể chọn để đặt ở vị trí 2. Có (n – k + 1) khả năng.

     ……

     Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(n – 1)…(n – k + 1)   chỉnh hợp chập k của n phần tử.

     Ví dụ 1: Tính số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.

     Giải: Theo công thức (2) ta có:

             A32 = 3. (3-2+1) = 3.2 = 6.

     Ví dụ 2: Tính số chỉnh hợp chập 3 của 5 số 1, 2, 3, 4, 5.

     Giải: Theo công thức (2) ta có:

              A35 = 5.(5-1) (5-3+1)= 5.4.3 = 60.

     Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá bóng luân lưu 11m, biết rằng cả 11 cầu thủ ( kể cả thủ môn) đều có khả năng như nhau?

     Giải. Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập 5 của 11. Do đó số khả năng chọn là:

                       A511 = 11.10.9.8.7 = 55440.

 166

Chú ý

1)     Ta có thể viêt biểu thức của Ank cách khác :

     Ank  = n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1) = n(n – 1)…(n – k + 1)(n – k)…2.1 / (n – k)…2.1         

     =>              Ank  = n! / (n – k)!                           (3)

     2) Để tiện cho việc kí hiệu, người ta quy ước:

0! = 1

      Với quy ước đó, trong trường hợp đặc biệt k = n, công thức (3) cho là:

Ann = n! / 0! = n! = Pn

     Chú ý. Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó.

     4. Tổ hợp

     Ví dụ. Có 6 thẩy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi cần 2 giám khảo. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?

     Giải. Để tiện ta gọi các thầy giáo là A, B, C, D, E, G. Ta có thể ghép các đôi giám khảo như sau:     AB,          AC,          AD,          AE,          AG

                                     BC,          BD,          BE,          BG

                                                     CD,          CE,          CG

                                                                      DE,          DG

                                                                                      EG

     Vậy có cả thảy 15 cách ghép đôi 6 thầy giáo để hỏi thi.

      1) Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 =< k =< n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

167

     2)Số các tổ hợp chập k của n phần tử

     Định lý. Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Ckn thì ta có

Ckn = n! / k!(n – k)!                 (4)

     Ví dụ 1. Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau 1 lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

     Giải. Số trận đấu là:             C220 = 20.19 / 2.1 = 190.

     Ví dụ 2. Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?

     Giải. Một thập giác có 10 đỉnh . Qua mỗi cặp đỉnh có một và chỉ một đường thẳng. Mỗi đoạn thẳng nối cặp đỉnh đó có thể là đường chéo hoặc là cạnh của hình thập giác lồi. Do đó số đường chéo là:

s = C210 – 10 = (10.9 / 2.1) – 10 = 45 – 10 = 35.

     3) Các hệ thức giữa các số Cnk

     1)        Cnk = Cnk – 1

     2)        Cn – 1k – 1 +   Cn – 1k = Cnk

     Chứng minh

     1) Ta có

     2)

168

BÀI TẬP

     1. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập lập được bao nhiêu chữ số có 4 chữ số?

     2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

     3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều là chẵn?

     4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

     5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

     6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị đựơc 2 vở kịch, 3 điệu múa, và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ nói trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn , biết rằng chất lượng các vở kịch, các điệu múa và các bài hát là như nhau?

     7. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối từ thành phố B đến thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D?

     8. Tính các số sau:

             a) P4                b)P6                 c) P7 / A73

     9. Giản ước các biểu thức:

             a) B =                                     b) (A64 + A54) / A44

169

     10. Tính các số sau:

             a) C63          b) C54         c) C55         d) C2523 – C1513 – 3C107

     11. Giải phương trình

             a)                                    b) Ax2 = 2               c) 3Px = A3x

     12. Giải phương trình

                                        1 / C4x – 1 / C5x = 1 / C6x

     13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và và khác 0 biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8?

     14. Chứng minh rằng:

            a) Cnk =

            b) Cnk = Cn – 1k – 1 + Cn – 2k – 1 + … + Ck – 1k – 1    (k < n)

     15. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?

     16. Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác đều lồi?

     17. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho:

          a) Một người nhận được 1 đồ vật, còn hai người kia mỗi người nhận được 2 đồ vật?

          b) Mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật?

170

B ÀI 2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN

     1. Công thức nhị thức Niutơn

     Các công thức quen thuộc

                              (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

                              (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

có thể viết dưới dạng

                             (a + b)2 = C20a2 + C21ab + C22b2

                             (a + b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33b3

     Một cách tổng quát, với mọi số tự nhiên n >= 1 và với mọi cặp số (a ; b), ta có công thức sau đây, gọi là công thức nhị thức Niutơn

                   (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan – kbk + … + Cnnbn          (1)

    Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n

    + Khi n = 1, ta có

                              (a + b)1 = a + b = C10a + C11b

     Vậy công thức (1) là đúng.

     + Với giả thiết (1) là đúng , khi m = n, tức là ta có

                             (a + b)m = Cm0am + Cm1am- 1b + … + Cmkam– kbk + … + Cmmbm  

     Ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng khi n = m + 1, tức là ta có

        (a + b)m + 1 = Cm + 1 0am + 1 + Cm + 11amb + … + Cm + 1kam + 1 –  kbk + … + Cm + 1m + 1bm + 1   (2)

171

Thật vậy, ta có:

(a + b) m+1 = (a+ b)m(a + b) =

Vậy công thức nhị thức Niutơn (1) là đúng với mọi số tự nhiên n >= 1.

Dùng dấu, ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dưới dạng sau

Ví dụ. Tính (3x – 4)5

Để tính được dễ dàng và chắc chắn, ta nên sắp đặt các phép tính như sau:

Ta viết trên dòng thứ nhất các lũy thừa của 3x theo bậc giảm từ 5 đến 0, trên dòng thứ hai các lũy thừa của -4 với số mũ tăng từ 0 đến 5, trên dòng thứ ba các hệ số nhị thức rồi nhân theo cột.

172

2. Các tính chất của công thức nhị thức Niutơn

1) Số các số hạng của công thức bằng n + 1.

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức (n – k) + k = n.

3) Số hạng tổng quát có dạng

Tk + 1 = Cnk a n-k bk  ( k = 0, 1, …, n)

(Đó là số hạng thứ k + 1 trong sự khai triển của nhị thức (a + b)n )

4) Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì Cnk = Cnn-k.

5) Ta có thể viết công thức nhị thức Niutơn dưới dạng tường minh hơn như sau:

6) 2n = (1 + 1)n

7) 0 = (1 – 1)n

3. Tam giác Pascan (Pascal)

Có thể săp xếp các hệ số của khai triển (1) thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascan)

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

173

Chú ý. Trong khung trên, ta có

BÀI TẬP

1. Khai triển

a) (x + 3)5

b) (x – 2)6

c) (2x + 1)5

d) (x – 2y)6

e) (x + 1/x)7

2. Tìm hệ số các lũy thừa của x trong khai triển các tích

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d)(x + e)

Suy ra từ đó khai triển của (x + a)5

3. Tính tổng sau đây

4. Chứng minh rằng

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

1. Giản ước biểu thức

a)

b)

174

2. Giải bất phương trình (ẩn là n thuộc N*)

3. Giải phương trình (ẩn là n thuộc N , k thuộc N)

4. Có bao nhiêu số chẵn có hai chữ số?

5. Một chi đoàn thanh niên co 50 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 đoàn viên phụ trách ba nhóm thiêú nhi (mỗi đoàn viên phụ trách một trong ba nhóm đó)?

6. Trong một cuộc đua ngựa, có 12 con ngựa cùng xuất phát. hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại:

a) ba con ngựa về nhất, nhì, ba?

b) ba con ngựa về đích đầu đầu tiên?

7. Chứng minh hệ thức:

CHỈ DẪN LỊCH SỬ CHƯƠNG IV

Ngành toán học chuyên nghiên cứu lý thuyết tổ hợp xuất hiện vào thế kỷ XVIII. Trong một thời gian dài, ngành này nằm ngoaì hướng phát triển của toán học và những ứng dụng của nó. Chỉ sau khi xuất hiện máy tính điện tử và sự phát triển rực rỡ của toán học hữu hạn, ngành toán học này mới được nghiên cứu đầy đủ.

Ngày nay, các phương pháp tổ hợp được ứng dụng trong lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, trong thống kê, xác suất, trong lý thuyết quy hoạch toán học, trong toan1 học tính toán, tronh hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, lý thuyết biểu diễn nhóm, lý thuyết các đại số không kết hợp v.v...

175

PASCAN (PASCAL)

Pascan (1623 – 1662 ) là nhà toán học, vật lý học và triết học người Pháp. Pascan lúc nhỏ là cậu bé thần đồng. Cha cậu nhận thấy điều này. Không muốn sớm làm mệt óc con, ông cấm cậu bé Pascan học toán. Song điều này càng kích thích tính tò mò của cậu. Năm 12 tuổi, một hôm cậu hỏi cha: “Hình học là gì?”. Cha cậu giải thích sơ qua cho cậu hiểu. Pascan rất lấy làm thích thú. Cậu liền bước theo con đường đúng là thiên hướng của mình. Không cần sách vở, một mình cậu chứng minh được rằng tổng các góc trong một tam giac bằng hai góc vuông. Ở tuối 16, Pascan viết công trình đầu tiên của mình về các thiết diện cônic.

Pascan viết hàng loạt công trình về các chuỗi số và các hệ số nhị thức. Pascan đã đưa ra bảng các hệ số của sự khai triển của (a + b)n dưới dạng một tam giác, ngaỳ nay gọi là “tam giác Pascan”. Pascan đã tìm ra các hệ số nhị thức bằng phương pháp quy nạp toán học, đó là một trong những phát minh quan trọng của ông. Điều mới mẻ ở đây là Pascan phát hiện ra rằng cá hệ số nhị thức chính là số các tổ hợp chập k của n phần tử, và Pascan đã dùng chúng để giải những bài toán của lý thuyết xác suất.

Một cống hiến lớn nữa của Pascan là việc khởi thảo phép tính các đại lượng vô cùng bé.

Về mặt kĩ thuật, ngay từ năm 1642. lúc mới 19 tuổi, Pascan đã sáng chế ra một máy tính, cách đây khoảng hơn 10 năm, các nhà tin học đã đặt tên cho một ngôn ngữ máy tính rất phổ biến là ngôn ngữ Pascan.

Về vật lý, Pascan đã nghiên cưú áp suất của khí quyển và các vấn đề thủy tĩnh học.

Tên của Pascan đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng.

176

MỤC LỤC

CHƯƠNG I - ĐẠO HÀM           3

1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm     3

2. Các quy tắc tính đạo hàm       13

3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản      22

4. Đạo hàm cấp cao      37

5. Vi phân     40

Ôn tập chương 1             42

Chỉ dẫn lịch sử chương I – Niutơn         44

 CHƯƠNG II - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM     47

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số         47

2. Cực đại và cực tiểu          53

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số         61

4. Tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số             66

5. Tiệm cận     71

6. Khảo sát hàm số          78

7. Một số bài toán liên quan đến khào sát hàm số      98

Ôn tập chương II     104

Chỉ dẫn lịch sử chương II – Fecma          109

CHƯƠNG III - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN         111

1. Nguyên hàm         111

2. Tích phân             119

3. Các phương pháp tính tích phân             129

4. Ứng dụng hình học và vật lý của tích phân                143

Ôn tập chương III          156

Chỉ dẫn lịch sử chương III – Laipnit – Riman         157

CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ TỔ HỢP    160

1. Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp        160

2. Công thức nhị thức Niutơn         170

Ôn tập chương IV            173

Chỉ dẫn lịch sử chương IV – Pascan        174

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục- Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Ban Biên tập:
NGÔ THÚC LANH (chủ biên)
NGÔ XUÂN SƠN - VŨ TUẤN

Biên tập nội dung: PHẠM BẢO KHUÊ

Biên tập tái bản: TRẦN LƯU THỊNH

Trình bày bìa: BÙI VIỆT DŨNG

Biên tập mĩ thuật: ĐOÀN HỒNG, NGUYỄN BÍCH LA

Biên tập kĩ thuật: NGUYỄN TIẾN DŨNG

Sửa bản in: TRẦN MAI ĐAN

Sắp chữ: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC)

Chịu trách nhiệm xuất bản:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI.
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO.

GIẢI TÍCH 12. Mã số: 3H204T6. Số XB: 1517/461-05. Số in: 30/HĐĐT. In xong và nộp lưu chiểu tháng 1 năm 2006.