ĐỀ ĐÁP ÁN CHUYEN TOÁN QN 2018-2019

Câu 1 (2,0điểm).

a)     Cho biểu thức A =

Với a>0; b>0 và ab 1

Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của A khi

b)     Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức x2y2 – x2 - 6y2 = 2xy

Câu 2 (2,0điểm).

a)     Giải phương trình

b)     Giải hệ phương trình

Câu 3 (2,0điểm).

 Cho hai hàm số y = 2x2 và y = . Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều.

Câu 4 (2,0điểm).

 Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3MD. Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho . Kẻ tia phân giác của , tia này cắt cạnh CD tại N.

a)     So sánh MN với AM + NC.

b)     Tính diện tích tam giác BMN theo a.

Câu 5 (2,0điểm).

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H.

a)     Chứng minh OM vuông góc với EF.

b)     Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 6 (2,0điểm).

 Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (2,0điểm).

a)     Cho biểu thức A =

Với a>0; b>0 và ab 1

Rút gọn biểu thức A =

Theo đề ta có (BĐT Cô-Si)

<=> 0

<=>  (vì a > 0; b> 0)

Dấu “=” xãy ra khi a = b = 4

=> A = = =

Vậy maxA = khi a = b = 4

b)     Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức x2y2 – x2 - 6y2 = 2xy

<=> (x2 – 6)y2 – 2xy – x2 = 0

Nếu x2 – 6 = 0 thì x không là số nguyên.

Nếu x2 – 6 0 thì / = x2 + x2(x2 – 6) = x2(x2 – 5) là số chính phương

Đặt x2 – 5 = k2 => (x – k)(x + k) = 5

Do x – k < x + k nên x – k = 1; x + k = 5 hoặc x – k = -5; x + k = -1

 => x = 3 hoặc x = -3

Với x = 3 => y = -1 hoặc y = 3.

Với x = -3 => y = 1 hoặc y = -3.

Vậy có 4 cặp (x;y) thỏa mãn đẳng thức trên là: (3;-1); (3;3); (-3;1); (-3;-3)

Câu 2 (2,0điểm).

a)            

<=> (1)

Lập phương hai vế rút gọn ta được

Lập phương hai vế rút gọn ta được

2x4 – 20x3 + 31x2 + 37x +5 = 0

(2x2 – 6x – 1)(x2 – 7x – 5) = 0

Vậy phương trình có 4 nghiệm…

a)     Giải hệ phương trình

Cộng (1) với 9x(2) ta được (2x +3 = 27 => 2x + = 3

Đặt 2x = a và = b ta có <=>

<=> => 

Câu 3 (2,0điểm).

 Cho hai hàm số y = 2x2 và y = . Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba đỉnh của tam giác đều.

Câu 4 (2,0điểm).

 Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3MD. Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho . Kẻ tia phân giác của , tia này cắt cạnh CD tại N.

Tính diện tích tam giác BMN theo a.

Câu 5 (2,0điểm).

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H.

a) Chứng minh OM vuông góc với EF.

b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 6 (2,0điểm).

 Cho ba số thực dương a, b, c. Ta có

⇔  (a + b + c)( 3(a2 + b2 + c2)

⇔  2(a2 + b2 + c2) +  c. + b. 3(a2 + b2 + c2)

⇔  c. + b. a2 + b2 + c2

⇔ c. a2 + b2 + c2

⇔ a2 + b2 + c2 +

⇔ a2 + b2 + c2 + 2abc(

Mặt khác:

a2 + b2 + c2 + 2abc( a2 + b2 + c2 + 2abc

= a2 + b2 + c2 +

Ta cần chứng minh: a2 + b2 + c2 +

⇔ (a2 + b2 + c2)(a+b+c) + (a+b+c)

⇔ a3 + b3 + c3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)

⇔ a3 + b3 + c3 + 3abc - ab(a+b) - bc(b+c) - ca(c+a) 0

⇔ a3 – a2b + b3 – b2c + c3 – c2a+ abc – ab2 + abc – bc2 + abc – ca2 0

⇔ a2(a –b) + b2(b – c) + c2(c – a) + ab(c – b) + bc(a – c) + ca(b – a) 0

⇔ a(a – b)(a – c) + b(b – c)(b – a) + c(c – a)(c – b) 0 (*)

Không mất tính tổng quát giả sử a b c >0

(*) ⇔ (a – b)(a2 – b2 – ac + bc) + c(c – a)(c – b) 0

⇔ (a – b)2(a + b - c) + c(c – a)(c – b) 0 luôn đúng

=> Đpcm.